对所有结点的各位移分量进行了统一的编号，称为结点位移的整 体编码。
结构力学 4.单元杆端位移局部编码
每个单元有两个杆端，分别称为1、2端，单元的状态由杆端 位移决定，所以定义单元位移由杆端位移构成
上标e为单元编号，对一般单元，每个杆端同样有3个方向的位移 分量，uei,vei,θei，于是单元有6个杆端位移分量
结构力学
9.3 单元刚度方程和单元刚度矩阵
1. 单元局部坐标系
结构中每个杆件的位置、方向各不相同，为了便于讨论杆 件本身杆端力与杆端位移间的关系，对每个单元分别建立单元 局部坐标系。 在局部坐标系下，可表示出杆端力分量分别为轴向力、横向力、 弯矩，杆端位移分量分别对应轴向位移、横向位移、转角位移。
向量中的六个元素的序号1到6，是在每个单元中各自编码，单元 之间不相关，所以称为单元杆端位移分量的局部编码。
5.定位向量
把每个单元的两个杆端与相应结点对应连接就可搭成原结构， 连接后，单元杆端将取得与相应结点相同的位移，即每一个杆端 位移分量，都等于与它对应的结点位移分量。对一个单元，在杆 端位移分量的位置上，写出对应的结点位移的整体编码，形成的 向量，就称为单元的定位向量。
结构力学
9.4 结构的整体刚度方程和整体刚度矩阵
上式称为结构的整体刚度方程，其中K称为结构的整体刚度 矩阵。 总体刚度矩阵是一个方阵，其阶数与结构结点位移分量总 数相同。它的分量是由单元刚度矩阵的系数叠加构成的。叠加 规律是：单元刚度矩阵的元素，按照它所处的局部行和列号， 对应单元的定位向量，在总刚度矩阵中落到新的行和列上。 总刚度矩阵的特点： (1)刚度矩阵的系数是物理量，由结构本身的长度、截面尺寸、 材料性质、连接方式等决定，与载荷、变形等量无关。 (2)总刚度系数kij表示结构沿第j个整体结点位移方向产生单位 位移Δj=1，其他所有结点位移等于0时，在第i结点位移方向所 需要施加的力(与传统位移法相同)。
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9.2 结构离散化及位移、力的表示与编码
1. 单元划分
划分单元的条件：内部没有载荷的等截面直杆。 单元与单元或支承的连接点称为结点。习惯上用①、②、③等 表示单元序号，1、2、3等表示结点序号，例如图9.1所示的桁 架和刚架结构的划分。
图9.1
结构力学 2.位移、力的正方向规定
为了统一(如力的正、负号可直接代入平衡方程等)，在矩阵 位移法中，对于所有的外力、结点位移、杆端力、杆端位移等矢 量，规定坐标系的正方向为它们的正方向。 本章采用左手坐标系，用oxy表示结构平面，z轴为截面惯性轴方 向。转角位移、力矩、弯矩以顺时针方向为正(即左手螺旋轴与z 相同为正。
结构力学
(3)对称性：总刚度系数由单元刚度系数叠加构成，单元刚度系 数本身有对称性，由定位向量确定的位置也是对称位置。由反力 互等定理同样可验证。 (4)稀疏性；一般情况下，总刚度矩阵中有很多的“0”元素。这 是因为当结点、杆件很多时，会有很多结点间没有杆件相连，当 使结构仅在其中一个结点产生位移，而其他所有位移为“0”时 ，这些不相关的结点上就不需要施加任何结点力。在编码合理的 情况下，总刚度矩阵的非“0”元素可集中分布在主对角线两侧 一定宽度的带状区域内，利用这个特性，可节省很多计算资源。
，得到结点位移向量△。 ，绘内力图或作其他分析。
(5)求解总刚度方程
(6)用式(9-34)计算各单元的杆端内力
(2)单元分析，先形成局部坐标系中的单元刚度矩阵
再形成整体坐标系中的单元刚度矩阵Ke，用式(9-24)。
，用式(9-10)。
(3)整体分析，依定位向量，将单元刚度矩阵“对号入座”集成总刚度 矩阵K。 (4)计算非结点载荷引起的单元固端力 ，用式(9-33)进行坐标转换
并改符号得
，也依定位向量叠加计入结点载荷向量F。
2. 局部坐标系下的单元刚度方程和单元刚度矩阵
单元刚度方程，指方程
可简记为
结构力学
局部坐标系下的单元刚度矩阵
结构力学 3.单元刚度矩阵的性质
(1)单元刚度系数的意义。 中的元素称为单元刚度矩阵的系 数，代表单元杆端位移与其所引起的杆端力的关系，数值上等 于单位杆端位移引起的杆端力的大小。通常用下标i，j分别表 示元素在矩阵中所处的行、列号。 (2)单元刚度系数仅与单元的横截面积A、惯性矩I、弹性模量E 和长度l有关。 (3) 是对称矩阵，它的对称性指其元素有关系： (4) 即| 是奇异矩阵， 是奇异矩阵指其行列式的值等于零， |=0。
4.单元的坐标转换矩阵
由于杆件在复杂结构中的方向并非完全相同，所以各杆的杆端 力、杆端位移在整体坐标系下方向不一定相同，必须将它们统 一后才可讨论位移的连续和力的平衡。
结构力学
简写成
式中T称为单元坐标转换矩阵。
5. 整体坐标系下的单元刚度矩阵
整体坐标系下单元杆端力与杆端位移间的关系—刚度方程：
简写为 其中Ke称为整体坐标系下的单元刚度矩阵。
结构力学
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6
概 述 结构离散化及位移、力的表示与编码 单元刚度方程和单元刚度矩阵 结构的整体刚度方程和整体刚度矩阵 非结点荷载的等效化 计算步骤和算例
结构力学
9.1 概
述
由于计算机应用的发展和普及，以传统结构力学方 法作为理论基础，以矩阵表示作为表达形式，以电算逻 辑作为分析顺序的矩阵分析方法，成为当今结构分析的 重要方法。 矩阵位移法是有限单元法的雏形，因此有时也称为 杆件结构的有限元法。其要点是：为了确定结点位移与 载荷的关系，先把整体结构拆开，然后再将这些单元和 结点按实际情况集合成整体。 在矩阵位移法中，单元分析的任务是归纳典型单元 模型，建立单元刚度方程，形成单元刚度矩阵；整体分 析的主要任务是寻求由单元刚度矩阵形成整体刚度矩阵 的规律，建立整体位移法方程，从而求出解答。
结构力学
【例9.3】试求图9.2(a)所示连续梁的整体刚度矩阵。 解： 给出单元、结点、结点位移编号如图 9.2(b)所示，各单元的定位向量分别为 各单元的单元刚度矩阵分别为：
图9.2
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把单元刚度矩阵依次定位叠加于总刚度矩阵： 计入单元①的中间结果
计入单元②的中间结果
计入单元③的最后结果
显然，它的刚度方程展开式，与位移法的典型方程相同。
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9.5 非结点荷载的等效化
计算步骤： 1. 在局部坐标系下计算单元的等效载荷 2. 将固端力转换到结构(整体)坐标系
3. 等效结点载荷FP
结构力学
9.6 计算步骤和算例
矩阵位移法的基本步骤如下： (1)整理原始数据，对结点位移进行整体编码，得到单元定位向量等。 直接的结点载荷按它对应的结点位移编码，直接计入整体结点载荷向量 F中。
3.结点位移整体编码
对结构整体建立坐标系oxyz，则每个结点都有确定的位置坐标。
下标I表示结点编号，上标T表示矩阵转置。
结构力学
对结构所有的结点位移，统一用矢量Δ表示，称为结构整体位 移，简称结构位移或整体位移。Δ中各分量的顺序首先是结点 编号，然后是每个点本身的x,y,z顺序，即
对应结点载荷用矢量F表示，它的排序与位移排序相同