宁波市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）2．某学校有2200名学生,现采用系统抽样方法抽取44人,将2200人按1,2,…,2200随机编号,则抽取的44人中,编号落在[101,500]的人数为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．103．的展开式中的第7项是常数,则正整数n 的值为( )A ．16B ．18C ．20D ．224．《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上取三个不同的点()()()()()(),,,,,a f a b f b c f c ，均存在()()(),,f a f b f c 为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[]0,1B ．20,⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．20,⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,2⎡⎤⎢⎥⎣ 5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为12，4，则输出的n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）A ．5种B ．4种C ．9种D ．20种7．已知等比数列{a n }中，2341a a a =，67864a a a =，则5a =（ ） A ．±2 B ．－2C ．2D ．48．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．19．甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.1．若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为（ ） A ．0. 36B ．0. 49C ．0. 51D ．0. 7510．如图，可导函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为()y g x =，设()()()h x g x f x =-，)'(h x 为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极大值点B ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极小值点C ．0'()0h x ≠，0x 不是()h x 的极值点D ．0'()0h x ≠，0x 是()h x 是的极值点11．2019年6月7日，是我国的传统节日“端午节”。

这天，小明的妈妈煮了7个粽子，其中3个腊肉馅，4个豆沙馅。

小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为（ ） A ．17B ．13C ．37D ．31012．曲线()cos sin cos xf x x x =-在点33,44M f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（ ） A ．12 B ．12-C ．22-D ．22二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．小明和小刚去上海迪士尼游玩，他们约定游玩飞越地平线、雷鸣山漂流、创极連光轮等n 个游戏，并且各自独立地从m 个游戏中任选()n n m ≤个进行游玩，每个游戏需要1小时，则最后1小时他们同在一个游戏游玩的概率是__________．14．若复数满足，则z 的模等于______．15．若()f x 为R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=-，对于下列命题：①()20f =；②()f x 是以4为周期的周期函数；③()f x 的图像关于0x =对称；④(2)()f x f x +=-.其中正确命题的序号为_________16．命题“1x ∃<使得21x ≥”是______命题. （选填“真”或“假”） 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600名顾客的支付方式进行了统计，数据如下表所示： 支付方式 微信 支付宝 购物卡 现金 人数200150150100现有甲、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立，假设以频率近似代替概率. （1）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率； （2）记为三人中使用支付宝支付的人数，求的分布列及数学期望.18．有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件.求: （1）第一次抽到次品的概率；（2）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.19．（6分）甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区一模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：（1）计算x ，y 的值；（2）若规定考试成绩在[]120150,为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率； （3）若规定考试成绩在[]120150,内为优秀，由以上统计数据填写下面22⨯列联表，若按是否优秀来判断，是否有95%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.20．（6分）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X ，求X 的分布列与数学期望.21．（6分）设,a b ∈R ，已知1x ，2x 为关于x 的二次方程220x ax b ++=两个不同的虚根， （1）若2b =，求实数a 的取值范围； （2）若122x x -=，12211x x x x +=，求实数a ，b 的值. 22．（8分）集合A={x|-3≤x ＜5}，B={x|-2＜x ＜7} （1）求A∩B, A ∪B （2）（∁R A ）∩B ．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 2．B 【解析】 【分析】先求出每一个小组的人数，再求编号落在[101,500]的人数. 【详解】每一个小组的人数为，所以编号落在[101,500]的人数为.故选：B 【点睛】本题主要考查系统抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 3．B【解析】 【分析】利用通项公式即可得出． 【详解】的展开式的第7项﹣9，令 ＝0，解得n ＝1．故选：B ． 【点睛】本题考查了二项式定理的应用、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．A 【解析】 【分析】由题意，三点的纵坐标中两个较小数之和小于等于2，可得m 2﹣m+2≤2，即可得出结论． 【详解】易知221m m -+>，所以()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上的最小值为(1)1f =.由题意可知，当()2222f x x x =-+=，∴0x =或2，22201m m m ∴-+≤∴≤≤，，故选A. 【点睛】本题考查新定义，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键． 5．A 【解析】 【详解】分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）． 详解：模拟程序的运行，可得12,4,1,18,8a b n a b =====， 不满足结束循环的条件a b ≤，执行循环体，2,27,16n a b ===；不满足结束循环的条件a b ≤，执行循环体，813,,322n a b ===； 不满足结束循环的条件a b ≤，执行循环体，2434,,644n a b ===；满足结束循环的条件a b ≤，退出循环，输出n 的值为4，故选A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 6．C 【解析】 【分析】分成两类方法相加. 【详解】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C. 【点睛】本题考查分类加法计数原理. 7．C 【解析】 【分析】根据等比数列性质得3a ，7a ，再根据等比数列性质求得5a . 【详解】因为等比数列{}n a 中，2346781,64a a a a a a ==，所以33371,64a a ==，即以371,4a a ==， 因此25a =374a a =，因为5a ，3a 同号，所以5 2.a =选C. 【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 8．C 【解析】 【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ． 【详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ． 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解． 9．C 【解析】 【分析】乙至少赢甲一局的对立事件为甲两局不输，由此能求出乙至少赢甲一局的概率． 【详解】乙至少赢甲—局的概率为10.70.70.51P =-⨯=. 故选C 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10．B 【解析】 【分析】由图判断函数()h x 的单调性，结合()y g x =为()y f x =在点P 处的切线方程，则有'0()0h x =，由此可判断极值情况. 【详解】由题得，当0(,)x x ∈-∞时，()h x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()h x 单调递增，又''000()()()'0h x g x f x =-=，则有0x 是()h x 的极小值点，故选B . 【点睛】本题通过图象考查导数的几何意义、函数的单调性与极值，分析图象不难求解. 11．B 【解析】 【分析】设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”，事件B 为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，计算P（A ）、()P AB 的值，从而求得(|)P B A 的值． 【详解】由题意，设事件A 为“取出两个粽子为同一种馅”， 事件B 为“取出的两个粽子都为腊肉馅”，则P （A ）22342737C C C +==， 23271()7C P AB C ==， ()1(|)()3P AB P B A P A ∴==． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查古典概型和条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 12．B 【解析】 【分析】求导后代入即可得出答案。