常数变易法例题
对应齐次方程为 分离变量得 两边积分有
令y C( x)sin x.
C ( x) 2 x
cot xdx y． Ce Celn sin x C sin x
则有: y C( x)sin x C( x) cos x
C( x) x 2 C
代入原非齐次方程， 得
ln(1 x )(1 y ） ln(Cx )
2 2 2
2 2 2 (1 x )(1 y ) Cx 因此， 通解为
CR
于是， 所求特解为
(1 x )(1 y ) 10x
2 2
2
例题
例 衰变问题 : 衰变速度与未衰变原子含量 M 成 正比,已知 M
t 0
M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量
故所求通解为
y ( x C)sin x
2
公式法例题
P( x) cot x,
Q( x) 2 x sin x.
根据公式有:
cot xdx cot xdx ye ( 2 x sin xe dx C )
e ln sin x ( 2 x sin x e ln sin x dx C ) 1 sin x ( 2 x sin x dx C ) sin x sin x ( 2 xdx C ) sin x ( x 2 C ).
一阶线性非齐次方程解法
讨论: 设y=f(x)是解, 则
df ( x) P( x) f ( x) Q( x) dx
df ( x ) Q( x ) 变形 P ( x ) dx , f ( x) f ( x)
Q( x ) dx P ( x )dx , 积分 ln f ( x ) f ( x)
积分得 c( x ) Q( x )e 非齐方程通解 y e
P ( x )dx
dx C ,
P ( x )dx
P ( x )dx
( Q( x )e
dx C )
例
求解微分方程
y y cot x 2 x sin x.
y y cot x 0
1 dy cot xdx y
第二讲 一阶微分方程的解法
教学目的：掌握常见一阶微分方程的求解 方法 难 点：一阶线性非齐次微分方程的 通解 重 点：可分离变量的微分方程、齐 次方程和一阶线 性微分方程
主视图
一阶微分方程 解法
可分离变量法 齐次微分方程 一阶线性 微分方程 伯努利方程
解题步骤
一阶齐次 微分方程
一阶非齐次 微分方程 通解
a 2 xy [ C (ln x ) ] 1. 所以， 原方程通解为 2 回主视图
通解
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
ye
P ( x )dx
P ( x ) dx
( Q( x )e
e
P ( x )dx
dx C )
Ce
P ( x ) dx
对应齐次 方程通解 所以
2 tan u
x
2
.
ln sin u 2 ln x ln c ln cx .
2
sin u cx . 把变量代回得微分方程的解为
y sin cx 2 . x
例题
例
2 2 ( y 3 x ）dy 2 xydx 0 求解微分方程 满足初始条件 y x0 1 的特解．
代入原式
du du f ( u) u u x f ( u), 即 . dx dx x
可分离变量的方程
当 f (u) u 0时, 得
du dx f ( u) u x
例题
例 求解微分方程
解
y 令u ， 则 dy xdu udx， x du dx
y y y 2 tan . x x
分离变量法
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的原函 数, G( y ) F ( x ) C 为微分方程的通解.
例题
dy 2 xy 的通解. 例 求解微分方程 dx
dy 解 分离变量 2 xdx , y
两端积分得 dy y 2 xdx x du 则 u y , dy dy
x 1 3 2 2 y dx y 3x x dy 2 xy 2 y
2
y 令u , x
du 1 5u 2 y dy 2u
2u 1 1 5u 2 du y dy
1 1 2 ln(1 5u ) ln y ln C 5 5
3 y y dy 3 1 y C xe e dy C 2 2y 3 以条件 C x 2, y 1 代入， 得 2 3 dy y
因此， 所求特解为
3 y2 x y 2 2
回主视图
回主视图
当Q( x ) 0, 上方程称为一阶线性非齐次方程.
例如 dy y x 2 , dx x sin t t 2 , 线性的;
dx
dt
yy 2 xy 3, y cos y 1,
非线性的.
回主视图
一阶线性齐次微分方程解法
线性齐次方程
dy P ( x ) y 0. dx
例题
例 求微分方程 ( y 2 6x) y 2 y 0 满足初始条件 y
x 2
1的特解．
解 这个方程不是未知函数 y 与 y 的线性方程， 但是可以将它变形为
dx 6 x y 2 dy 2y
dx 3 y x dy y 2
dx
若将 x 视为 y 的函数， 则对于 x( y ) 及其导数 dy 而言， 方 程(11)是一个线性方程， 由通解公式(10)得
当n 0,1时，方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
解法: 经过变量代换化为线性微分方程.
即令 z y1n ,则上式化为 1 dz P( x) z Q( x) 1 n dx
从而化为一阶线性方程
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) dx
du 1 1 1 dx u
du 1 dx u
分离变量， 并两边积分
u 2 x C
2
微分方程的通解为
( x y) 2 2x C
回主视图
一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 上方程称为一阶线性齐次方程.
f ( x) e
Q( x ) dx f ( x)
e
p( x )dx
, 记 c( x ) e
Q( x ) dx f ( x)
,
非齐方程通解形式 y f ( x ) c( x ) e
p( x )dx
回主视图
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
微分方程的通解为 y 5 5x 2 y 3 C 将初始条件 y x0 1 代入通解中， 得到 C 1 所求特解为
y 5x y 1
5 2 3
例
求解微分方程
dy 1 1 dx x y
例题
dy du 1 解 令 x y u, 则 y x u, dx dx
设解为
y c( x )e
P ( x )dx
C c( x )
y c( x )e P ( x )dx c( x )[ P ( x )]e P ( x )dx ,
dy P ( x ) y Q( x )得 将y和y代入原方程 dx
P ( x )dx c ( x )e Q( x ),
ln y x 2 C1
x2
y ce 为所求通解.
例题
2 2 ( 1 y ) dx xy ( 1 x )dy 0 满足初始条件 例 求微分方程 y(1) 2 的特解．
解
分离变量， 得
y 1 y x 1 dy dx dy dx 2 2 1 y2 x(1 x 2 ) 1 y x 1 x 1 1 1 2 2 两边积分 ln(1 y ) ln x ln(1 x ) ln C 2 2 2
非齐次方程特解
P ( x ) dx Q( x )e dx
dy P ( x ) y Q( x )的通解是 dx
对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和.
回主视图
伯努利方程
一般地,形如 dy
dx
P ( x ) y Q( x ) y
n
( n 0,1)
的方程,称为伯努利(Bernoulli)方程.
dy y P ( x )dx ,
(使用分离变量法)
dy P ( x )dx , y
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
回主视图
线性非齐次方程
dy P ( x ) y Q( x ). dx
常数变异法
可分离变量法
如果一阶微分方程能化为
g( y )dy f ( x )dx 则称为可分离变量的微分方程. 4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx 解法 设函数 g ( y )和 f ( x ) 是连续的,两边积分得
g( y )dy f ( x )dx
M M 0 e t
解题步骤
利用微分方程解决实际问题的步骤：