抽象函数的周期与对称轴1.函数()y f x =的图象的对称性（自身）:定理1: 函数()y f x =的图象关于直2a b x +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=。

特殊的有：①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=。

②函数()y f x =的图象关于y 轴对称（奇函数）)()(x f x f =-⇔。

③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称。

定理2：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++；特殊的有： ① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。

② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。

③函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。

○4)()(x b f x a f --=+则)(x f 的图象，以)0,2(ba +为对称中心。

证：方法一：要证原结论成立只需证)2()2(x b a f x b a f -+-=++令2a b x x -+=代入)()(x b f x a f --=+ 则)2()2(x b a f x b a f -+-=++方法二：设)(x f y =它的图象为C; C y x P ∈∀),(00则P 关于点)0,2(b a +的对称点),(00y x b a P --+')()]([)]([)(0000x f x b b f x b a f x b a f -=---=-+=-+∵00)(y x f = ∴00)(y x b a f -=-+ ∴ C P ∈'定理3：（性质） ①若()y f x =的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么()f x 为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。

②若()y f x =的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么()f x 为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。

③若()y f x =图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a ≠b ），则()f x 是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。

④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。

2.两个函数图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称.特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--3.若)(x f 是偶函数，则必有[])()(b ax f b ax f +-=+；若)(x f 是奇函数，则必有[])()(b ax f b ax f +--=+若)(b ax f +为偶函数，则必有)()(b ax f b ax f +-=+；若)(b ax f +是奇函数，则必有)()(b ax f b ax f +--=+2.函数的周期性的主要结论： 结论1：如果()()f x a f x b +=+（a b ≠），周期T a b=-结论2：如果()()f x a f x b +=-+（a b ≠），周期2T a b=-证：令a x x-= ∴ )()(a b x f x f -+-= ① 令b x x -= ∴ )()(x f b a x f -=-+ ②由①②得：)]([)]([a b x f b a x f -+-=-+- ∴ )]([)]([a b x f b a x f -+=-+ ∴ ab T -=2结论3：如果定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =、x b =对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-结论4：如果偶函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a = 结论5：如果奇函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a=结论6：如果函数同时关于两点(),a c 、(),b c （a b ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-结论7：如果奇函数()f x 关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a=结论8：如果函数()f x 的图像关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，且关于直线x b =（a b ≠）成轴对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a b =-结论9：如果1()()f x p f x +=或1()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p =结论10：如果1()()21()p f x f x f x ++=-或1()()21()p f x f x f x -+=+，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p = 结论11：如果()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期典型例题1：设)(x f 是定义在R 上的函数，R x ∈∀均有0)2()(=++x f x f 当11≤<-x 时12)(-=x x f ，求当31≤<x 时，)(x f 的解析式。

解：由R x ∈∀有)2()(+-=x f x f 得4=T设]3,1(∈x 则]1,1()2(-∈-x)()2()42()2(x f x f x f x f -=+=+-=-∴ 52]1)2(2[)2()(+-=---=--=x x x f x f∴31≤<x 时52)(+-=x x f例2：已知)(x f 满足)2()2(-=+x f x f ，)4()4(x f x f -=+，当26-≤≤-x 时，c bx x x f ++=2)(且13)4(-=-f ，若)3(bf m =，)2(cf n =，)11(f p =求m 、n 、p 的大小关系？解：4=T，对称轴4=x ∴ 4-=x 也为一条对称轴∴42-=-b∴8=b 464(4)134c f --==- ∴ 3=c ∴ )38(f m =，)23(f n =，)3()11(f f p ==∴ p m n >>练习：设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x +=-,当－1≤x ≤0，1()2f x x =-，则f(8.6)= _______ 解： x = 0，x =1是y = f (x) 对称轴。

T=2 ∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3例3：定义在R 上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）（第十二届希望杯高二 ） (A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数 解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x =0即y 轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

故选(A) 例4：设定义域为R 的函数()y f x =、()y g x =都有反函数，并且(1)f x -和1(2)gx --函数的图像关于直线y=x 对称，若(5)1999g =那么(4)f =（C ）。

A 1999；B 2000；C 2001；D 2002。

解：(1)f x -和1(2)gx --函数的图像关于直线y=x 对称(1)(x)2f x g -=+ ∴有(51)(5)2f g -=+例5：若函数y=f(x)的图像有一个对称中心A(a ,c)和一条对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。

解析∵y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， ∴f (x) + f (2a －x) =2c ，用2b －x 代x 得： f (2b －x) + f [2a －(2b －x) ] =2c ………………（*）又∵函数y = f (x)图像直线x =b 成轴对称， ∴ f (2b －x) = f (x)代入（*）得：f (x) = 2c －f [2(a －b) + x]…………（**），x=2（a －b ）－x 得 f [2 (a －b)+ x] = 2c －f [4(a －b) + x]代入（**）得： f (x) = f [4(a －b) + x],故y = f (x)是周期函数。

练习1：若函数3)()(a x x f +=R x ∈∀有)1()1(x f x f --=+求)2()2(-+f f 。

解： )1()1(x f x f --=+知)(x f 图象关于)0,1(对称而3)()(a x x f +=的对称中心)0,(a P - ∴ 1-=a ∴3)1()(-=x x f 则26)3(1)2()2(3-=--=-+f f2 已知)(x f 是定义在R 上的函数且满足1)1()(=-+x f x f ，当]1,0[∈x 时有2)(x x f =则○1)(x f 是周期函数且周期为2○2当]2,1[∈x 时，22)(x x x f -=○343)5,2004(=-f 其中正确的是○1○2○3 3.对于)(x f y =，R x ∈有下列命题。

○1在同一坐标系下，函数)1(x f y +=与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。

○2若)1()1(x f x f -=+且)2()2(x f x f +=-均成立，则)(x f 为偶函数。

○3若)1()1(+=-x f x f 恒成立，则)(x f y =为周期函数。

○4若)(x f 为单调增函数，则)(x a f y =（0>a 且1≠a ）也为单调增函数，其中正确的○2○3 4.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=求)35(πf 的值。