芜湖一中2013年高一自主招生考试数 学 试 卷一、选择题(本大题共7个小题,每小题6分,共42分) 1.在△ABC 中,∠C=90°,∠B 的平分线交AC 于D .则AD BCAB -=:A .B sinB .B cosC .B tanD .Btan 12.在分别标有号码2,3,4,…,10的9张卡片中,随机取出两张卡片,记下 它们的标号,则较大标号被较小标号整除的概率是: A .367 B .185 C .92 D .41 3.已知梯形ABCD 的四个顶点的坐标分别为(1,0)A -,(5,0)B ,(2,2)C ,(0,2)D ,直线2y kx =+将梯形分成面积相等的两部分,则k 的值为:A . 23-B .29-C .47-D .27-4.如图,三个全等的正方形内接于圆,正方形的边长为16,则圆的半径为:A .333B .165C .162D .5175.若自然数n 使得作竖式加法)2()1(++++n n n 时均不产生进位现象,便 称n 为“好数”.如因为12+13+14不产生进位现象,所以12是“好数”;但 13+14+15产生进位现象,所以13不是“好数”,则不超过100的“好数”共有: A .9个 B .11个 C .12个 D .15个 6.函数232||+-=x x x y 的图象与x 轴的交点个数是: A .4B .3C .1D .07.已知实数a 、b 满足|2||3|10)6()1(22--+-=-+-b b a a ,则22b a +的最大值为:A .50B .45C .40D .10 二、填空题(本大题共6个小题,每小题7分,共42分)8.已知关于x 的方程k x x +=有两个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 9.函数845422+-+++=x x x x y 的最小值为 .10.如图,点A 、C 都在函数)0(33>=x xy 的图象上,点B 、D 都在 x 轴上,且使得△OAB 、△BCD 都是等边三角形,则点D 的坐标为 .11.若实数a 、b 分别满足0882=++a a ,0882=++b b ,则ab b b a a +的值为 . xy12.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,)2,(n Q 是图象上的一点,且BQ AQ ⊥,则a 的值为 .(第12题图) (第13题图①) (第13题图②)13.将两个相似比为1:2的等腰直角三角形如图①放置,小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.绕点C 旋转小直角三角形,使它的斜边与AB 交于点E ,CD 的延长线与AB 交于点F ,如图②.若1,2==BF AE ,则EF = .三、解答题(本大题共5个小题,计66分,写出必要的推算或演算步骤) 14.(本题12分)一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车.问再过多少分钟,货车追上了客车? 15.(本题12分)已知n m ,为整数,给出如下三个关于x 方程: ①2(6)70x m x n +-+-=②230x mx n -+-=③2(4)50x m x n +-+-=若方程①有两个相等的实数根,方程②③有且仅有一个方程有两个不相等的实数根,求2013)(n m -的值.O PC B A y x 16.(本题14分)已知如图,抛物线22++=bx ax y 与x 轴相交于B (1x ,0)、C (2x ,0)(,1x 2x 均大于0)两点, 与y 轴的正半轴相交于A 点. 过A 、B 、C 三点的⊙P 与y 轴相切于点A ,其面积为425π. (1)请确定抛物线的解析式;(2)M 为y 轴负半轴上的一个动点,直线MB 交⊙P 于点D .若△AOB 与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似,求MB •MD 的值.(先画出符合题意的示意图再求解).17.(本题14分)如图,已知菱形ABCD ,∠B=60°.△ADC 内一点M 满足∠AMC=120°,若直线BA 与CM 交于点P ,直线BC 与AM 交于点Q ,求证:P 、D 、Q 三点共线.18.(本题14每名学生互赠一张贺卡,且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡,每位管理员也回赠舍长一张贺卡,这样共用去了51张贺卡,问这间宿舍里住有多少名学生?芜湖一中2013年高一自主招生考试数学参考答案二、填空题(本大题共6个小题,每小题7分,共42分)8.410<<k 9.5 10.)0,62( 11.212- 12.12-13.3三、解答题(本大题共5个小题,计66分,写出必要的推算或演算步骤)14.解:设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S 千米,小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ,,(千米/分),并设货车经x 分钟追上客车,由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-S c b x S c a S b a )(2)(15)(10 …………………………………………………………………………6分 ∴30b c S -=(), ∴30=x . ……………………………………………………10分 故30-10-5=15(分).答:再过15分钟,货车追上了客车.……………………………………………………12分 15.解:依题意得⎪⎩⎪⎨⎧≤--->--=---)3(0)5(4)4()2(0)3(4(1) 0)7(4)6(222 n m n m n m 或⎪⎩⎪⎨⎧>---≤--=---)3(0)5(4)4()2(0)3(4(1) 0)7(4)6(222 n m n m n m ……4分由(1)得24128n m m =-+-代入(2)、(3)得335≤<m 或无解………………7分又m ,n 为整数,2m ∴=或3=m当2m ∴=时,3n =;当3=m 时,419=n (舍)2m ∴=,3n =则1)(2013-=-n m ………… …12分 16.(1)解:根据题意知:圆半径PA=25,取BC 中点为E ,连接PB ,PE ,则BC PE ⊥ 53DMOP C B AyxDMO P C BAyx从而知:)0,4(),0,1(C B …………………………………………………………3分 将B ,C 两点坐标代入抛物线方程,可得: 抛物线的解析式是:225212+-=x x y ……………………………………6分(2)根据题意∠OAB=∠ADB ,所以△AOB 和△ABD 相似有两种情况①∠ABD 和∠AOB 对应,此时AD 是⊙P 的直径 则AB=5,AD=5,BD=25AMB Rt ∆ ∽DAB Rt ∆∴MA :AD=AB :BD即MA=25=⋅BD AD AB 又AMB Rt ∆ ∽DMA Rt ∆ ∴MA :MD=MB :MA即MB·MD=MA2=425……………………………………………………10分②∠BAD 和∠AOB 对应,此时BD 是⊙P 的直径,所以直线MB 过P 点∵B (1,0),P ()2,25∴直线MB 的解析式是:3434-=x y∴M 点的坐标为(0,43-)∴ AM=103 由△MAB ∽△MDA 得MA :MD=MB :MA∴MB·MD=MA2=1009………………………………………………14分17.证:连结DQ PD ,.易证PAC ∆∽AMC ∆,AMC ∆∽ACQ ∆,……………………3分∴MC AC AM PA =,MC QCAM AC =. ∴QCPA AC ⋅=2,………………………………………………7分∵DC AD AC ==, ∴QCADDC PA =,∴PAD ∆∽DCQ ∆,…………………………………………………………………………10分 ∴CDQ APD ∠=∠,∴︒=∠+∠+∠180CDQ ADC PDA ,∴P 、D 、Q 三点共线.……………………………………………………………………14分 18.解:这间宿舍住着x 名学生,y 名管理员),(N y x ∈,由题意得51)1(=++-y xy x x , ………………………………………………………4分化简得051)1(2=-+-+y x y x , 则196)3(2056)51(4)1(222+-=+-=---=∆y y y y y , ∵N x ∈,∴∆必为完全平方数. ………………………………………………………6分设)(196)3(22N k k y ∈=+-, 则196)3)(3(-=--+-k y k y ,其中k y +-3和k y --3具有相同的奇偶性,且k y k y --≥+-33,∴⎩⎨⎧-=--=+-98323k y k y ① 或⎩⎨⎧-=--=+-23983k y k y ② 或⎩⎨⎧-=--=+-143143k y k y ③ …10分 由方程组①得45-=y ,不合题意,舍去;由方程组②得51=y ,此时,原方程为0502=+x x ,解得0,5021=-=x x (舍去); 由方程组③得3=y ,此时,原方程为04822=-+x x ,解得8,621-==x x (舍去);综上所述,6=x .答:这间宿舍里住有6名学生.…………………………………………………………14分。