F.凹规划……………………………………………………………………22 F.1.1 凸集…………………………………………………………22 F.1.2 凸函数………………………………………………………22 F.1.3.凹函数………………………………………………………2…………………..24 F.3.拟凹函数、拟凸函数……………………………………………..25
从这样的角度看规划问题，我们可以将研究的重点放在目标函数的性质和 可行集的性质两个部分。
x2
S
grad f
f(x)=k
x1 图 A.1
B.梯度向量
梯度 grad f 的概念一般和目标函数的等值线（面）的变化有关。我们分两 种情况来从梯度的角度看最优化问题。
B.1.无约束极值问题：
一维情况下： df (x) = f ' (x) ⋅ dx
此时，目标函数值的变化，是两部分的乘积，第一部分是导数，第二部分是 x 的微分，或者说是 x 的变化，可以取正也可以取负。
若 f '(x) > 0 ，则可以取 dx > 0 ，使得 df (x) > 0 ，即通过点 x 的移动，可以
使目标函数值增加；若 f '(x) < 0 ，则可以取 dx < 0 ，从而 df (x) > 0 ，目标函数
H.比较静态分析……………………………………………………………33 H.1.基本思想 …………………………………………………………33 H.2.一般方法……………………………………...……………………34
I. 包络定理…………………………………………….…………………….36 I.1.最大值函数…………………………………………………………36 I.2.包络定理……………………………………………………………37 I.3.拉格朗日乘子的含义………………………………………………39 I.4.包络定理的应用……………………………………………………40
2
A.最优规划问题：
max f (x)
x
s.t. g(x) = c
这样一个规划问题可以用来表达一个在一定资源约束情况下的经济决策问
题，其中 f (x) 称为目标函数， x为选择变量， g(x) 为约束函数。如果用集合 S
＝{x|g(x)=c}表示约束，则此规划问题可以看作是在集合 S（可以看作是欧氏空 间的一个子集，称为可行集）上选择一个点 x（或向量），使得目标函数 f(x)的 值最大。如下图，在二维情形下，S 表示可行集，f(x)=k 表示目标函数的等值线， 则上述规划问题就变成了在 S 中找一点，使得目标函数的等值线达到一个最高 的位置。
dx1 df (x) = f x ⋅ dx = ( f1,L, f n )M = f1dx1 + L + fn dxn
dxn
B.1.1 几何意义：向量的内积 x,y 是两个向量，其内积定义为： y1
E.1 无约束极值问题…………………………………………………14 E.1.1 泰勒展开…………………………………………………..14 E.1.2 二次型…………………………………………………….16
E.2 等式约束极值问题……………………………………………….17 E.3 不等式约束问题………………………………………………….21
3
值还可以继续增加。因此，当 f(x)取得极值，即目标函数值不再增加时，上述 情形不可能发生，即有 f '(x) = 0 。
含义：一维无约束极值问题中，目标函数的梯度就是导数，表示目标函数 值变化（增加）的方向。
多维情形下： df (x) = f x ⋅ dx
此时， f x 即为 f (x) 在点 x 处的梯度向量，为横向量（ f1,L, fn ) ，其中每一个分 量为偏导数； dx 为纵向量，表示 x 的变化。上式表示目标函数 f (x) 的变化可以 用梯度向量和 dx 的内积来衡量：
他是个顽皮的孩子，不肯就安分的待在身旁；我们要做的是，不能让他的玩耍脱离我 们的视线。
1 欢迎指出错误及评论。qufeng@ 1
目录
A.最优规划问题…………………………………………………..………..3 B.梯度向量…………………………………………………………………3
B.1.无约束极值问题…………………………………………………..3 B.1.1 向量的内积…………………………………………………4
B.2.约束极值问题……………………………………………………..6 B.2.1 雅克比矩阵…………………………………………………8 B.2.2 隐函数定理…………………………………………………8 B.2.3 超平面………………………………………………………9
C.等式约束极值的拉格朗日求解法……………………………………..10 D.非线性规划问题的求解：库恩－塔克条件…………………………..11 E.二阶条件………………………………………………………………..14
G.最优化问题的解…………………………………………………………28 G.1.基本概念…………………………………………………………..28 G.1.1 紧集…………………………………………………………28 G.1.2.函数的连续…………………………………………………28 G.1.3 韦氏定理……………………………………………………28 G.2.解的存在性和唯一性……………………………………………..29 G.2.1.存在性定理…………………………………………………29 G.2.2 唯一性定理…………………………………………………30 G.3 分离……………………………………………………………….31
A Brief Lecture Notes on Optimization for Microeconomic Analysis1
冯曲
复旦大学经济学院 中国经济研究中心
第一稿 2003 年 1 月
一切匠心都归功于 Dixit, Chiang, Takayama 等杰出的前辈；所有的错误、遗漏为编者所有。