第四章 光的衍射一、基本知识点光的衍射：当光遇到小孔、狭缝或其他的很小障碍物时，传播方向将发生偏转，而绕过障碍物继续前行，并在光屏上形成明暗相间的圆环或条纹。

光波的这种现象称为光的衍射。

菲涅耳衍射：光源、观察屏（或者是两者之一）到衍射屏的距离是有限的，这类衍射又称为近场衍射。

夫琅禾费衍射：光源、观察屏到衍射屏的距离均为无限远，这类衍射也称为远场衍射。

惠更斯－菲涅耳原理：光波在空间传播到的各点，都可以看作一个子波源，发出新的子波，在传播到空间某一点时，各个子波之间可以相互叠加。

这称为惠更斯－菲涅耳原理。

菲涅耳半波带法：将宽度为a 的缝AB 沿着与狭缝平行方向分成一系列宽度相等的窄条，1AA ，12A A ，…，k A B ，对于衍射角为θ的各条光线，相邻窄条对应点发出的光线到达观察屏的光程差为半个波长，这样等宽的窄条称为半波带。

这种分析方法称为菲涅耳半波带法。

单缝夫琅禾费衍射明纹条件：sin (21)(1,2,...)2a k k λθ=±+=单缝夫琅禾费衍射暗纹条件：sin (1,2,...)a k k θλ=±=在近轴条件下，θ很小，sin θθ≈, 则第一级暗纹的衍射角为 1aλθ±=±第一级暗纹离开中心轴的距离为 11x f faλθ±±==±, 式中f 为透镜的焦距。

中央明纹的角宽度为 112aλθθθ-∆=-=中央明纹的线宽度为 002tan 2l f f faλθθ=≈∆=衍射图样的特征：① 中央明纹的宽度是各级明纹的宽度的两倍，且绝大部分光能都落在中央明纹上。

② 暗条纹是等间隔的。

③ 当入射光为白光时，除中央明区为白色条纹外，两侧为由紫到红排列的彩色的衍射光谱。

④ 当波长一定时，狭缝的宽度愈小，衍射愈显著。

光栅: 具有周期性空间结构或光学性能（透射率，反射率和折射率等）的衍射屏，统称为光栅。

光栅常数: 每两条狭缝间距离d a b =+称为光栅常数。

a 为透光部分的狭缝宽度，b 为挡光部分的宽度。

光栅衍射明纹的条件：()sin (0,1,2,...)a b k k θλ+=±=光栅光谱：用白色光照射光栅时，除了中央明纹外，将形成彩色的光栅条纹，叫做光栅光谱。

缺级：屏上光栅衍射的某一级主极大刚好落在单缝的光强为零处，则光栅衍射图样上便缺少这一级明纹，这一现象称为缺级。

缺极的条件：()sin sin a b k a k θλθλ+=±⎧⎪⎨'=±⎪⎩ 发生缺极的主极大级次：(1,2,)a bk k k a+''==⋯⋯圆孔衍射: 中央亮斑（艾里斑）外面出现一些明暗交替的同心圆环。

光能的84％集中在中央亮斑。

第一暗环对应的衍射角: 1.22Dλθ= , 式中λ是光波的波长，D 是圆孔的直径。

瑞利判据: 两个点光源经圆孔衍射后形成两个衍射花样。

能够区分两点的极限是，一个点的衍射图样的中央极大值与另一点的衍射图样的第一极小值重合，这时由两个衍射图样合成后的光强分布曲线仍有两个极大值。

该判据叫做瑞利判据。

眼睛的最小分辨角： 1.221.22d ndλλθ'==，式中λ是光在真空中的波长，n 是眼内物质的折射率，d 是瞳孔的直径，λ'是光在眼内的波长。

理想光学系统的极限分辨角: 1.22Dλϕ=, 式中D 为光学系统（如透镜）的直径。

二、典型习题解题指导4-1在单缝夫琅和费衍射实验中，波长为1λ的单色光的第三级亮纹与2630nm λ=的单色光的第二级亮纹恰好重合，计算1λ的值。

解：根据单缝衍射的明纹条件可知：sin (21)(1,2,...)2a k k λθ=±+=依题意，有1sin (231)2a λθ=⨯+ 2sin (221)2a λθ=⨯+将两式相除，代入2630nmλ=得1450nmλ=4-2用波长为λ的平行单色光进行单缝夫琅和费衍射实验，已知缝宽为5a λ=，会聚透镜的焦距400f mm =，分别求出中央明条纹和第2级明条纹的宽度。

解：（1）中央明纹的角宽度为 12θθ∆=，依据单缝衍射的暗纹条件可知 1sin a θλ= 1sin 0.2aλθ==中央明纹的宽度011122tan 2sin 160x x f f mm θθ∆==≈=（2）第2级明条纹宽度即第2级暗条纹中心与第3级暗纹中心的距离()32232tan tan x x x f θθ∆=-=-明暗暗 已知22sin 0.4a λθ== ， 33sin 0.6aλθ== 可得2tan 0.436θ= ，3tan 0.75θ=()()322tan tan 4000.750.436125.6x f mmθθ∆=-=⨯-=明4-3某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽为0.15a mm =，缝后放一个焦距为400f mm =的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两个第三级暗条纹之间的距离为8.0mm ，求入射光的波长。

解：依题意，中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离是中央明纹宽度的3倍，因此有328.0fmm aλ⨯=可得500nmλ=4-4单缝夫琅禾费衍射实验，若想将第三级暗纹处变为第一级明纹，不改变实验装置部件和入射光波长，只调整缝宽，则调整后缝宽与原来缝宽之比值为多少？解：设调整前后缝的宽度分别为1a 、2a ， 13sin 3a θλ= ()2112sin 12λθ+⨯=a依题意有 13θθ=, 因此2112=a a 4-5在圆孔的夫琅和费衍射中，设圆孔半径为0.10mm ，透镜焦距为50cm ，所用单色光波长为500nm ，求在透镜焦平面处屏幕上呈现的艾里斑半径。

解：根据圆孔衍射的公式93350010sin 1.22 1.22 3.05100.2010D λθθ---⨯≈===⨯⨯ 当θ很小时，有tan θθ≈ 而tan R fθ=， 所以234tan 5010 3.05101.525100.153R f m mmθ---==⨯⨯⨯=⨯≈4-6月球距离地面约53.8610km ⨯，设月光波长为550nm λ=，问月球表面距离为多远的两点才能直接被地面上直径为5D m =的天文望远镜所分辨？ 解：1.22Dλθ=9855010tan 3.8610 1.2251.85d f f m θθ-⨯===⨯⨯⨯=4-7波长为589nm λ=的单色光垂直照射到宽度为0.40mm 的单缝上，紧贴缝后放一个焦距为 1.0f m =的凸透镜， 使衍射光射于放在透镜焦平面处的屏上。

求：1）光屏上第一级暗条纹离中心的距离。

2）光屏上第二级明条纹离中心的距离。

3） 如果单色光以入射角i ＝30°斜射到单缝上，第二级明条纹离中央明纹中心距离。

〔提示：注意sin tan θθ≈的条件是否满足。

〕 解：1）由单缝衍射的暗纹条件 sin (1,2,...)a k k θλ== 得第一级（k ＝1）暗纹满足 1sin a θλ= ，即1sin aλθ=当θ很小时，tan sin θθθ≈≈ ，因此光屏上第一级暗条纹离中心的距离9311131.058910tan sin 1.47100.410x f f f m a λθθ---⨯⨯=≈===⨯⨯ 2）由明纹条件 sin (21)(1,2,...)2a k k λθ=±+= ，得第二级（k ＝2）明纹()2sin 2212a λθ=⨯+，即25sin 2aλθ=第二级明纹距中心的距离为332221555 1.4710tan sin 3.6810222x f f f x m a λθθ--⨯⨯=≈====⨯3）单色光倾斜入射到达单缝时，其上下两列边界光线之间已存在光程差sin a i ，对应等光程的中央主极大将移至点O ′（如图4-1所示），此时θ＝ i ＝30°。

它距中心点O 的距离为m 5770tan30o0.==f x 。

这时，衍射条纹不但相对点O 不对称，而且相对中央主极大的点O ′也不再严格对称了。

对于点O ′上方的条纹（此时入射光与衍射光位于法线两侧，且θ＞i ），满足()()()()21/2 sin sin k a i k λθλ⎧-+⎪-=⎨-⎪⎩明条纹暗条纹 对于点O 下方的条纹（此时入射光与衍射光位于法线同侧），满足()()()()21/2 sin sin k a i k λθλ⎧+⎪+=⎨⎪⎩明条纹暗条纹 对于点O ′与O 之间的条纹（此时入射光与衍射光位于法线两侧，但θ＜i ），满足()()()()21/2 sin sin k a i k λθλ⎧+⎪-=⎨⎪⎩明条纹暗条纹 需要说明的是，点O ′与O 之间的条纹与点O 下方的条纹属于中央主极大同一侧的各级条纹，不同的是前者k 值较小，后者k 值较大，且k 值在点O 附近连续变化。

图4-1① 先计算点O ′上方第二级明纹的位置：由()o 25sin30sin 2a λθ'-=-，得 25sin 0.52aλθ'=+ 该明纹距中心O 的距离225tan tan arcsin 0.50.583m 2x f f b λθ⎡⎤⎛⎫''==+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦离中央明纹中心距离2200.5830.5770.006m x x x ''∆=-=-= ② 再计算O ′点下方第二级明纹的位置：由于所求k 值较小，可考虑条纹处在O ′与O 之间，有()o25sin30sin 2a λθ''-=，即 25sin 0.52aλθ''=- 该明纹距中心的距离225tan tan arcsin 0.50.572m 2x f f b λθ⎡⎤⎛⎫''''==-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦离中央明纹中心距离2200.5720.5770.005m x x x ''''∆=-=-=- 4-8一衍射光栅，每厘米有200条透光缝，每条透光缝宽为 3210a cm -=⨯，在光栅后放一焦距为1f m =的凸透镜。

现以600nm λ=的单色平行光垂直照射光栅，求：1）透光缝a 的单缝衍射中央明纹宽度为多少？ 2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？ 解：（1）1120.06x x x fm aλ-∆=-==（2）光栅方程 sin (0,1,2,...)d k k θλ=±=其中 2110200d m -⨯=1sin d k θλ=，而1sin a θλ=因此1d ka =， 2.5k =，即单缝衍射的第一级暗纹处介于光栅衍射的第二级与第三级之间，故单缝衍射中央明纹宽度内出现'0,1,2k =±±这5个光栅衍射主极大条纹。