证明几何不等式证法举例
四川省广元市宝轮中学 唐明友
几何不等式的证明是初中数学一个难点，所用知识不外乎有：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；同一三角形中，大角对打边，大边对大角以及三角形内角和定理等知识，下面就其证明思路进行分析。
一.中线加倍法
例1.如图，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，求证：A D<2
AC
AB +
证明：延长AD 至E ，使DE=DA ，连接CE
∵DA=DE,DC=DB,∠1=∠2，∴△AB D ≌△EC D ，∴AB=EC 在△ACE 中AE<CE+AC,即2AD<AB+AC ，∴A D<
2
AC
AB +
评注：注意到结论可变形为2AD<AB+AC ，考虑将2AD 、AB 、AC 转化到一个三角形中，从而想到用中线加倍法作辅助线解决。
二.三角形中位线搭桥
例2.在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，求证：EF<2
BD
AC +
证明：取AB 中点G ，连接GE 、GF
∵E 、G 分别是AD 、AB 的中点，∴GE 是△ABD 的中位线，即
GE=
21BD ，同理GF=21
AC 。
在△GEF 中，EF<GE+GF ∴EF<21BD+21AC, ∴EF<2
BD AC +
评注：观察结论右边2BD AC +可变形为21AC+
2
1
BD ，已知又有某些边的中点，根据
谚语“遇到中点找中点”，进而构造三角形的中位线即可达到目的。
三.运用直角三角形斜边上的中线性质
例3.在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，A C ⊥BD 于O ，求证AB+CD>AD+BC 证明：分别取AB 、CD 的中点E 、F ，连接OE 、OF 、EF
∵A C ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点∴OE 、OF 分别是Rt △ABO 、Rt △CDO 斜边上的中线，即OE=
21AB,OF=2
1CD, 又EF 是梯形ABCD 的中位线，可得EF=2
BC
AD +
在△OEF 中，OE+OF>EF ，即21AB+21CD>2
BC
AD +
∴AB+CD>AD+BC
评注：由结论的右边AD+BC 可联想到梯形的中位线，确定取AB 、CD 的中点E 、F,再由A C ⊥BD 可得一些直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，便迎刃而解了。
四.平移法
例4.如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，BE=CF ，求证：EF<BC 证明：平移EB 至FD ，连接BD ，过F 作FG 平分∠DFC 交BC 于G,连接DG 。
由平移的性质得EF=BD ，BE=DF
∵BE=CF ，∴DF=CF,又∠1=∠2，FG=FG ，∴△DFG ≌CFG ， ∴DG=CG
在△DBG中，BD<BG+DG，即BD<BG+GC=BC
∴EF<BC
评注：本题是利用平移将两条相等线段BE、CF集中到
一起，再通过平移的性质和三角形全等构造出△DBG，最后
运用三角形边的性质获得解决。
五.翻折法
例5.在△ABC中，AB>AC,AD⊥BC于D,P为AD上任意一点，求证：PB-PC>AB-AC
证明：将△ADC翻折1800至△ADF，连接PF，因AD⊥BC，由轴对称的性质得
AF=AC,PF=PC,在△ABE中，AE+BE>AB ①
在△EFP中，EP+EF>PF ②
①+②得：AE+BE+EP+EF>AB+PF，即AF+PB>AB+PF，
∴AC+PB>AB+PC
因此PB-PC>AB-AC
评注：通过翻折变换把AC、PC转化到AF和PF，
然后将AB、BP分别放到如图中两个阴影三角形中，
再运用三角形边的性质变形而证明结论
六.旋转法
例6.在△ABC中，AB=AC，P是三角形内一点，且∠APB>∠APC,求证：PC>PB
证明：以A为中心，把△APB逆时针旋转∠BAC的角度，变成△AP，C，
连接PP，,由旋转地性质可得△APB≌△AP，C
∴∠APB=∠AP，C，PB=P，C,AP=AP，，∴∠1=∠2
∵∠APB>∠APC，即∠2+∠4>∠1+∠3，∴∠4>∠3
∴在△CPP，中可得PC>P，C，∴PC>PB
评注：旋转△APB到△AP，C，利用旋转的性质和等腰三角形性质构造出△CPP，，再根据“大角对打边”证明本题，其思路清晰明了。
七.截补法
例7.在△ABC中，AB>AC,D是∠BAC的角平分线上任意一点，
求证AB-AC>DB-DC
证明：在AB上截取AE=AC，连接DE
∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，又AE=AC,AD=AD，∴△AED≌△ACD，
∴DE=DC
在△BDE中BE>BD-DE,而BE=AB-AE=AB-AC
∴AB-AC>DB-DC
评注：观察结论左边AB-AC，且有∠1=∠2，便可采用截长补短
得到这个差BE，再根据全等三角形的性质进行转化，从而构造出△BDE，
运用三角形边的性质得证。
八.面积法
例8.如图，G为△ABC的重心，EF过点G且与AB、AC分别交于E、F,求证：EG≤2GF 证明：连接AG,再连接BG并延长交AC于D。
∵G是重心，∴BG=2GD
∴
GF EG =AGF AEG S S ∆∆=GDF
AGD BEG
ABG S S S -S ∆∆∆∆+≤
AGD ABG S S ∆∆=GD
BG
=2
∴EG ≤2GF
评注：注意BG=2GD 是三角形重心的性质。
本题在 运用面积法解题时，用到了同高不同底的三角形面积比 的性质和分子增大分母缩小的放缩法，最后运用三角形 重心的性质顺利获得解决。
九.利用平行线
例9.已知:P 是边长为1的正三角形ABC 内任意一点，设m=PA+PB+PC ，求证：2
3
<m<2 证明：在△ABP 中PA+PB>AB=1,同理PB+PC>1,PC+PA>1 ∴2(PA+PB+PC)>3,即m>
2
3
① 过P 作DE ∥BC 分别交AB 、AC 于D 、E,则△ADE 也是正三角形， ∴AD=DE=AE ，又∠1>∠2，∠2=∠3，得∠1>∠3，故AD>PA 在△PBD 、△PCE 中，BD+PD>PB, PE+CE>PC
∴BD+PD+PE+CE>PB+PC,继而AD+BD+PD+PE+CE>PA+PB+PC ∴AB+AC>m,亦即m<2 ② 由①、②得：
2
3
<m<2 评注：本题较难，特别是第二步需要作平行线，将原正三角形分割出小正三角形，再运用有关性质转化，望认真体会。
十.反证法
例10.如图，在凸四边形ABCD 中，已知AB+BD ≤AC+CD,求证：AB<AC 证明：假设AB ≥AC ，则∠1≥∠ABC
由此可知∠BCD>∠1≥∠ABC>∠DBC ，即∠BCD>∠DBC ∴BD>CD ，∴AB+BD>AC+CD
这与已知条件“AB+BD ≤AC+CD ”相矛盾 ∴AB<AC
评注：当直接证明较困难时，可以考虑运用反证法，这也是解题中的化归策略之一。