2019年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡中相应的位置上．）1．﹣2019的倒数是（）A．2019 B．C．﹣D．﹣20192．下列运算正确的是（）A．（a3）2＝a5B．a3+a2＝a5C．（a3﹣a）÷a＝a2D．a3÷a3＝13．如图，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成位似图形，且四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积之比为1：9，则它们的位似比为（）A．1：9 B．1：3 C．3：1 D．1：814．下列调查中，适宜采用普查方式的是（）A．了解一批圆珠笔的寿命B．了解全国九年级学生身高的现状C．检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件D．考察人们保护海洋的意识5．图中所示几何体的俯视图是（）A．B．C．D．6．抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x+3）2﹣2 C．y＝（x+2）2+3 D．y＝（x+2）2﹣37．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°，BC＝3，则的长为（）A．πB．2πC．4πD．6π8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P在直线AB上方，且满足S△PAB：S矩形ABCD＝1：3，则使△PAB为直角三角形的点P有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分.）9．函数中，自变量x的取值范围是．10．001A型航空母舰是中国首艘自主建造的国产航母，满载排水量65000吨，数据65000用科学记数法表示为．11．在不透明的袋子中有2个白球，3个红球，除颜色外完全相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是．12．因式分解：a3﹣4a＝．13．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是°．14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，CF＝1，DF交CE于点G，且EG＝CG，则BC＝．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为．16．如图，在5×7的网格中，若△ABC的三条边共经过4个格点，则tan B 的值为．17．如图，若∠B＝30°，∠C＝45°，∠BDC＝150°，且BD＝CD＝5，则AC等于．18．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD ⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD＝k，已知AB＝2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是．三、解答题（共10题，满分96分．在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图）19．（8分）计算或化简：（1）﹣（﹣1）0+（）﹣2﹣4sin45°．（2）（2+a）（2﹣a）+（a+1）220．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中a＝．21．（8分）青少年沉迷于手机游戏，严重危害他们的身心健康，此问题已引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对12﹣35岁的“王者荣耀”玩家进行了简单的随机抽样调查，绘制出以下两幅统计图．请根据图中的信息，回答下列问题：（1）这次抽样调查中共调查了人；（2）扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角的度数是；（3）据报道，目前我国12﹣35岁“王者荣耀”玩家的人数约为2000万，请估计其中12﹣23岁的人数．（4）根据对统计图表的分析，请你为沉迷游戏的同学提一个合理化建议．22．（8分）“特色江苏，美好生活”，第十届江苏省园艺博览会在扬州举行．圆圆和满满同学分析网上关于园博会的信息，发现最具特色的场馆有：扬州园，苏州园，盐城园，无锡园．他们准备周日下午去参观游览，各自在这四个园中任选一个，每个园被选中的可能性相同．（1）圆圆同学在四个备选园中选中扬州园的概率是．（2）用树状图或列表法求出圆圆和满满他们选中同一个园参观的概率是多少？23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任一点，AD＝AE 且∠BAC＝∠DAE．（1）若ED平分∠AEC，求证：CE∥AD；（2）若∠BAC＝90°，且D在BC中点时，试判断四边形ADCE的形状，并说明你的理由．24．（10分）为绿化美化城市环境，打造“绿色扬州，生态扬州”，市政府计划将某46000米的道路进行绿化，施工队在绿化了22000米后，将每天的工作量增加为原来的 1.5倍，结果提前8天完成了该项绿化工程．该项绿化工程原计划每天完成多少米？25．（10分）一辆货车从甲地出发以50km/h的速度匀速驶往乙地，行驶1h后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地，轿车行驶0.8h 后两车相遇，图中折线ABC表示两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）的函数关系．（1）甲乙两地之间的距离是km，轿车的速度是km/h；（2）求线段BC所表示的函数表达式；（3）在图中画出货车与轿车相遇后的y（km）与x（h）的函数图象．26．（10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是40元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是50元时，销售量是600件，而销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞50），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品牌玩具获得利润w 元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x 销售量y （件）① 销售玩具获得利润w （元）②（2）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于54元，且商场要完成不少于400件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？27．（12分）阅读理解题定义：如果四边形的某条对角线平分一组角，那么把这条对角线叫“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”．如图1：在四边形ABDC 中，对角线BC 平分∠ACD 和∠ABD ，那么对角线BC 叫“美妙线”，四边形ABCD 就称为“美妙四边形”．问题：（1）下列四边形中是“美妙四边形”的有 个．①平行四边形②矩形③菱形④正方形A.1B.2C.3D.4（2）四边形ABCD是“美妙四边形”，AB＝3+，∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，求四边形ABCD的面积．（3）如图2，若△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，将△ABC扩充成以AC为“美妙线”的“美妙四边形”ABCD，试求D到BC的距离．28．（12分）【操作体验】如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°，如图②，小明的作图方法如下：第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；第二步：连接OA，OB；第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1，P2；所以图中P1，P2即为所求的点．（1）在图②中，连接P1A，P1B，说明∠AP1B＝30°；【方法迁移】（2）如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC ＝45°，（不写做法，保留作图痕迹）．【深入探究】（3）已知矩形ABCD，BC＝2．AB＝m，P为AD边上的点，若满足∠BPC ＝45°的点P恰有两个，则m的取值范围为．（4）已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC＝135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为．2019年江苏省扬州市邗江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡中相应的位置上．）1．【分析】直接利用倒数的定义进而得出答案．【解答】解：﹣2019的倒数是：﹣．故选：C．【点评】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．2．【分析】A、利用幂的乘方法则即可判定；B、利用同类项的定义即可判定；C、利用多项式除以单项式的法则计算即可判定；D、利用同底数的幂的除法法则计算即可．【解答】解：A、（a3）2＝a6，故错误；B、∵a3和a2不是同类项，∴a3+a2≠a5，故错误；C、（a3﹣a）÷a＝a2﹣，故错误；D、a3÷a3＝a0＝1，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了整式的运算，对于相关的法则和定义一定要熟练．3．【分析】根据位似变换的性质得到四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，根据相似多边形的性质计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1关于点O成位似图形，∴四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积之比为1：9，∴它们的位似比为1：3，故选：B．【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似的定义、相似多边形的性质是解题的关键．4．【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【解答】解：A、了解一批圆珠笔的寿命适宜采用抽样调查方式，A错误；B、了解全国九年级学生身高的现状适宜采用抽样调查方式，B错误；C、检查一枚用于发射卫星的运载火箭的各零部件适宜采用普查方式，B 正确；D、考察人们保护海洋的意识适宜采用抽样调查方式，D错误；故选：C．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面看可得到三个矩形左右排在一起，中间的较大，故选D．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．6．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y＝（x+3）2+2，故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．7．【分析】作直径BD，连接OC、CD，由圆周角定理得出∠BCD＝90°，∠D＝∠A＝60°，∠BOC＝120°，由三角函数求出BD＝6，得出半径OB＝BD＝3，再代入弧长公式进行计算即可．【解答】解：作直径BD，连接OC、CD，如图所示：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，又∵∠D＝∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，sin D＝，∴BD＝＝＝6，∴OB＝BD＝3，∴的长＝＝2π；故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理、弧长公式、三角函数等知识；熟练掌握圆周角定理，求出直径是解题的关键，8．【分析】分三种情况：∠PAB＝90°；∠PBA＝90°；∠APB＝90°；进行讨论即可求解．【解答】解：如图所示：∠PAB＝90°时，满足S△PAB：S矩形ABCD＝1：3，使△PAB为直角三角形的点P有1个；∠PBA＝90°时，满足S△PAB：S矩形ABCD＝1：3，使△PAB为直角三角形的点P有1个；∠APB＝90°时，满足S△PAB：S矩形ABCD＝1：3，使△PAB为直角三角形的点P有2个．故使△PAB为直角三角形的点P一共有4个．故选：D．【点评】考查了矩形的性质，关键是分三种情况：∠PAB＝90°；∠PBA ＝90°；∠APB＝90°；得到使△PAB为直角三角形的点P的个数．二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分.）9．【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x﹣1≠0，解可得答案．【解答】解：根据题意可得x﹣1≠0；解得x≠1；故答案为：x≠1．【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．10．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将65000用科学记数法表示为：6.5×104．故答案是：6.5×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵袋子中共有5个小球，其中红球有3个，∴任意摸出一个球，摸到红球的概率是，故答案为：．【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．12．【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．故答案为：a（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．13．【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π（cm），设圆心角的度数是n度．则＝4π，解得：n＝120．故答案为120．【点评】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．14．【分析】通过全等三角形△DEG和△FCG，可得出CF＝DE＝1；根据DE是△ABC的中位线，可求出DE：BC＝1：2．【解答】解：∵D、E分别是AB和AC的中点∴DE∥BC，DE＝BC∴△ADE∽△ABC，△GED≌△GCF∴DE＝CF＝1∴CF＝BC∴BC＝2故答案为2．【点评】本题考点了三角形的中位线定理及全等三角形的判定及性质，证得三角形全等是解题的关键．15．【分析】在RT△AOB中，求出AO的长，根据旋转的性质可得AO＝CD＝4、OB＝BD、△OBD是等边三角形，进而可得RT△COE中∠COE ＝60°、CO＝2，由三角函数可得OE、CE．【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，∵OB＝2，AB⊥x轴，点A在直线y＝x上，∴AB＝2，OA＝＝4，∴RT△ABO中，tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝60°，又∵△CBD是由△ABO绕点B逆时针旋转60°得到，∴∠D＝∠AOB＝∠OBD＝60°，AO＝CD＝4，∴△OBD是等边三角形，∴DO＝OB＝2，∠DOB＝∠COE＝60°，∴CO＝CD﹣DO＝2，在RT△COE中，OE＝CO•cos∠COE＝2×＝1，CE＝CO•sin∠COE＝2×＝，∴点C的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．【点评】本题主要考查在旋转的情况下点的坐标变化，熟知旋转过程中图形全等即对应边相等、对应角相等、旋转角都相等的应用是解题的切入点也是关键．16．【分析】根据在直角三角形中，正切为对边比邻边，可得答案．【解答】解：如图：连接A与格点，由图可知∠AHB＝90°，∴tan B＝＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．解题关键是在图形中构造直角三角形．17．【分析】延长CD交AB于G，根据外角的想知道的∠BDG＝30°，求得BG＝DG，过G作GE⊥BD于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：延长CD交AB于G，∵∠BDC＝150°，∴∠BDG＝30°，∴∠B＝∠BDG＝30°，∴BG＝DG，过G作GE⊥BD于E，∴BE＝DE＝，∴BG＝DG＝，∴CG＝5+，过A作AF⊥AG于F，∵∠C＝45°，∴△AFC是等腰直角三角形，∴CF＝AF，∵∠CGA＝∠B+∠BDG＝60°，∴GF＝AF，∴AF+AF＝CG＝5+，∴AF＝5，∴AC＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了三角形的外角性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．18．【分析】过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，由△BCE的面积是△ADE的面积的2倍以及E是AB的中点即可得出S△ABC＝2S△ABD，结合CD＝k即可得出点A、B的坐标，再根据AB＝2AC、AF＝AC+BD即可求出AB、AF的长度，根据勾股定理即可算出k的值，此题得解．【解答】解：过点B作直线AC的垂线交直线AC于点F，如图所示．∵△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，E是AB的中点，∴S△ABC＝2S△BCE，S△ABD＝2S△ADE，∴S△ABC＝2S△ABD，且△ABC和△ABD的高均为BF，∴AC＝2BD，∴OD＝2OC．∵CD＝k，∴点A的坐标为（，3），点B的坐标为（﹣，﹣），∴AC＝3，BD＝，∴AB＝2AC＝6，AF＝AC+BD＝，∴CD＝k＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及勾股定理，构造直角三角形利用勾股定理巧妙得出k值是解题的关键．三、解答题（共10题，满分96分．在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图）19．【分析】（1）根据实数的混合计算解答即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式解答即可．【解答】解：（1）原式＝（2）原式＝4﹣a2 +a2+2a+1＝5+2a．【点评】此题考查平方差公式，关键是实数的混合计算以及平方差公式和完全平方公式解答．20．【分析】现将每项进行因式分解÷﹣，然后进行化简得到，再将a＝代入化简后的式子计算即可．【解答】解：原式＝÷﹣＝•﹣＝﹣＝，当a＝时，原式＝＝1；【点评】本题考查因式分解，分式的计算，代入求值．能够进行准确的因式分解，分式的加减运算是解题的关键．21．【分析】（1）根据30﹣35岁的人数除以所占的百分比，可得调查的人数；（2）根据18﹣23岁的人数除以抽查的人数乘以360°，可得答案；（3）根据总人数乘以12﹣23岁的人数所占的百分比，可得答案；（4）根据对统计图表的分析，提出合理化建议即可．【解答】解：（1）这次抽样调查中调查的总人数为：330÷22%＝1500（人）；（2）扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角的度数是360°×＝108°，故答案为：108°；（3）根据题意得：2000×＝1000（万人），答：其中12﹣23岁的人数有1000万人；（4）放下手机，让青少年认真学习，不再沉迷游戏！【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．【分析】（1）依据在这四个园中任选一个，每个园被选中的可能性相同，即可得到在四个备选园中选中扬州园的概率是；（2）依据树状图可得有16种等可能的结果，其中圆圆和满满他们选中同一个园参观的结果有4种，进而得出圆圆和满满他们选中同一个园参观的概率是．【解答】解：（1）在这四个园中任选一个，每个园被选中的可能性相同．∴在四个备选园中选中扬州园的概率是，故答案为：；（2）画树状图分析如下：扬州园A，苏州园B，盐城园C，无锡园D．共有16种等可能的结果，其中圆圆和满满他们选中同一个园参观的结果有4种，∴圆圆和满满他们选中同一个园参观的概率是＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）易证∠ADE＝∠DEC，即可证明CE∥AD；（2）四边形ADCE是正方形．根据“AE∥CD，AE＝CD”推知四边形ADCE是平行四边形．又因为∠ADC＝90°，易得四边形ADCE是正方形．【解答】解：（1）证明：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED．又∵ED平分∠AEC，∴∠DEC＝∠AED．∴∠ADE＝∠DEC．∴CE∥AD；（2）四边形ADCE是正方形，理由如下：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°．又∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠DAE＝180°．∴AE∥CD．又∵∠BAC＝90°且D是BC的中点，∴AD＝CD．∴AE＝AD．∴AE＝CD∴四边形ADCE是平行四边形．∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是正方形．【点评】考查了正方形的判定与性质，根据有一内角为直角的平行四边形是正方形判定四边形ADCE是正方形．24．【分析】利用原46000﹣22000＝24000米2的工作时间﹣现46000﹣22000＝24000米2工作时间＝8天这一等量关系列出分式方程求解即可【解答】解：设该项绿化工程原计划每天完成x米，根据题意得：﹣＝8解得：x＝1000经检验，x＝1000是原方程的解．答：该绿化项目原计划每天完成1000米．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是能够找到等量关系并列出方程，解分式方程时一定要检验．25．【分析】（1）根据函数图象可以解答本题；（2）根据函数图象中的数据可以求得线段BC所表示的函数表达式；（3）根据题意和函数图象可以中画出货车与轿车相遇后的y（km）与x （h）的函数图象．【解答】解：（1）由题意可得，甲乙两地之间的距离是150km，轿车的速度是；（150﹣50×1.8）÷0.8＝75km/h，故答案为：150，75；（2）点B的纵坐标是：150﹣50×1＝100，∴点B的坐标为（1，100），设线段BC所表示的函数表达式是y＝kx+b，，得，∴线段BC所表示的函数表达式是y＝﹣125x+225；（3）货车到达乙地用的时间为：150÷5＝3（小时），轿车到达甲地用的时间为：150÷75＝2，因为货车提前1小时出发，所以它们同时到达目的地，货车与轿车相遇后的y（km）与x（h）的函数图象如右图所示．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．26．【分析】（1）利用已知结合销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具，表示出涨价后的销量即可，进而得出w与x的函数关系；（2）利用“玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于400件的销售任务”进而得出不等式组求出x的取值范围，再利用二次函数性质求出最值即可即可．【解答】解：（1）①：y＝﹣10x+1100，②：w＝﹣y（x﹣40）＝10x2+1500x﹣44000；（2）由题得，解得：54≤x≤70，w＝10x2+1500x﹣44000＝﹣10（x﹣75）2+12250，∵a＝﹣10＜0，对称轴是直线x＝75，∴当54≤x≤70时，ω随x增大而增大．∴x＝70时取最大值，最大值为12000，答：商场的最大利润为12000元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及不等式组的应用，根据题意得出x的取值范围是解题关键．27．【分析】（1）根据各个四边形的性质可知：菱形和正方形的每一条对角线平分一组对角，可得结论；（2）根据四边形ABCD是“美妙四边形”，分两种情况：①当AC是美妙线时，②当BD是美妙线时，先证明△ABC≌△ADC，则S四边形ABCD＝2S△ABC代入可得结论；（3）作辅助线，构建相似三角形，证明△MDA∽△NCD，列比例式：＝，设AM＝3x，则DN＝4x，MD＝4﹣4x，CN＝3x+3，可得结论．【解答】解：（1）∵菱形和正方形的每一条对角线平分一组对角，∴菱形和正方形是“美妙四边形”，有2个，故答案为：B；（2）分两种情况：①当AC是美妙线时，如图1，∵AC平分∠BAD、∠BCD，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝∠BAD＝30°，∴BC＝＝+1，∵∠B＝90°，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，∴∠D＝90°，∴AD＝AD，∠B＝∠D，∠CAB＝∠CAD，∴△ABC≌△ADC（AAS），∴S四边形ABCD＝2S△ABC＝2×＝6+4；②当BD是美妙线时，如图2，过D作DH⊥AB，∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BH，设AH＝a，则DH＝a，BH＝a，∴a+a＝3+，∴a＝，∴DH＝3，同理得：△ABD≌△CBD（ASA），∴S四边形ABCD＝2S△ABC＝2×AB×DH＝3（3+）＝9+3；综上所述：S＝6+4或9+3；（3）如图，过D作MN∥BC交BA延长线于点M，且CN⊥MN，过D作DH⊥BC于H，∵AC是“美妙四边形”ABCD的“美妙线”，∴AC平分∠BAD、∠BCD，∴∠B＝∠ADC＝90°，由题意，得∠M＝∠N＝90°，∠MDA+∠MAD＝90°，∠MDA+∠CDN＝90°，∴∠MAD＝∠CDN，∴△MDA∽△NCD，∴＝，设AM＝3x，则DN＝4x，MD＝4﹣4x，CN＝3x+3，∴，x＝，∴DH＝CN＝3x+3＝，即D到BC的距离是．【点评】本题考查四边形综合题、全等、相似三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、新定义：“美妙四边形”“美妙线”的理解和运用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．28．【分析】（1）先根据等边三角形得：∠AOB＝60°，则根据圆周角定理可得：∠AP1B＝30°；（2）先作等腰直角三角形BEC、BFC，再作△EBC的外接圆，可得圆心角∠BOC＝90°，则所对的圆周角都是45°；（3）先确定⊙O，根据同弧所对的圆周角相等可得AD在四边形GEFH 内部时符合条件；（4）先确定⊙O，根据圆周角定理正确画出∠BPC＝135°，利用勾股定理求OF的长，知道A、P、O在同一直线上时，AP最小，则PQ的值最小，求AE的长，即是AP的长，可得PQ的最小值．【解答】解：（1）∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，由图②得：∠AP1B＝∠AOB＝30°；（2）如图③，①以B、C为圆心，以BC为半径作圆，交AB、DC于E、F，②作BC的中垂线，连接EC，交于O，③以O为圆心，OE为半径作圆，则上所有的点（不包括E、F两点）即为所求；（3）如图④，同理作⊙O，∵BE＝BC＝2，∴CE＝2，∴⊙O的半径为，即OE＝OG＝，∵OG⊥EF，∴EH＝1，∴OH＝1，∴GH＝﹣1，∴BE≤AB＜MB，∴2≤m＜2+﹣1，即2≤m＜+1，故答案为：2≤m＜+1；（4）如图⑤，构建⊙O，使∠COB＝90°，在优弧上取一点H，则∠CHB＝45°∴∠CPB＝135°，由旋转得：△APQ是等腰直角三角形，∴PQ＝AP，∴PQ取最小值时，就是AP取最小值，当P与E重合时，即A、P、O在同一直线上时，AP最小，则PQ的值最小，在Rt△AFO中，AF＝1，OF＝3+1＝4，∴AO＝＝，∴AE＝﹣＝AP，∴PQ＝AP＝（﹣）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题是圆的综合题，也是阅读材料问题，运用类比的思想依次解决问题，本题熟练掌握圆周角定理是关键，是一道不错的几何压轴题．第31页/共31页。