立体几何中几类典型问题的向量解法空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法。

它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题。

一、利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离（1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点P 与平面内任一点M 构成的向量MP 的坐标，那么P 到平面的距离cos ,n MP d MP n MP n•=•<>=（2）求两点,P Q 之间距离，可转化求向量PQ 的模。

（3）求点P 到直线AB 的距离，可在AB 上取一点Q ，令,AQ QB PQ AB λ=⊥或PQ 的最小值求得参数λ，以确定Q 的位置，则PQ 为点P 到直线AB 的距离。

还可以在AB 上任取一点Q 先求<AB ,cos ，再转化为><,sin ，则PQ ><,sin 为点P 到直线AB 的距离。

(4)求两条异面直线12,l l 之间距离，可设与公垂线段AB 平行的向量n ，,C D 分别是12,l l 上的任意两点，则12,l l 之间距离CD n AB n•=例1：设(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7),(5,4,8)A B C D --，求点D 到平面ABC 的距离例2：如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。

点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==)20(<<a 。

（Ⅰ）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小； （Ⅲ）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB例3：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求异面直线11A C 与1AB 间的距离例4：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3,2,AB BC CC ===求平面11A BC 与平面1ACD 的距离。

点评：若n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线段，且B α∈，则点A 到平面α的距离AB n d n•=，平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，变为斜线在法向量上的射影。

二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。

（1）设12,l l 是两条异面直线，,A B 是1l 上的任意两点，,C D 是直线2l 上的任意两点，则12,l l 所成的角为arccosAB CD AB CD••（2）设AB 是平面α的斜线，且,B BC α∈是斜线AB 在平面α内的射影，则斜线AB 与平面α所成的角为arccosAB BC AB BC••。

设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则AB 与平面α所成的角为arccos2AB n AB n AB nAB nπ••-••，或者arcsin。

yy（3）设12,n n 是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则121212,cos n n n n arc n n •<>=•就是二面角的平面角或补角的大小。

例5：在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，EF 分别是'',BC A D 的中点， （1）求直线'AC DE 与所成角；（2）求直线AD 与平面'B EDF 所成的角， （3）求平面'B EDF 与平面ABCD 所成的角例6：如图，四棱锥P ABCD-中，底面为矩形，PD ⊥底面，，E ，F 分别、的中点. （Ⅰ）求证：⊥平面；，求与平面所成角的大小.例7：如图，PA ABC ⊥平面，,1,AC BC PA AC BC ⊥===A PB C --的大小。

点评：如果,AB CD 分别是二面角l αβ--两个面内的两条直线，且,,A l C l ∈∈,AB l CD l ⊥⊥，则二面角的大小为,AB CD <>xz转化转化例8：如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，∠= 90°，⊥面，= = = 1，21=AD．求面与面所成的二面角的正切值．点评：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题，（1）当法向量12n n与的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量12n n与的夹角的大小。

（2）当法向量12n n与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量12n n与的夹角的补角12,n nπ-<>。

三、利用向量知识解决平行与垂直问题。

例9：如图, 在直三棱柱－A1B1C1中，＝3，＝4，1＝4，5AB=,点D是的中点，（I）求证：⊥1；（）求证：A1C平面1；点评：平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；例10．如图，在长方体—A1B1C1D1，中，1=1，2，点E在棱上移动.（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为的中点时，求点E到面1的距离；（3）等于何值时，二面角D1——D的大小为4π..四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。

例11．如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，13,4,5,4AC BC AB AA====（1）求证1;AC BC⊥（2）在AB上是否存在点D使得1?AC CD⊥（3）在AB上是否存在点D使得11//A C CDB平面SBACDzxyDBAA1D11B1A1CBCD1A1B五、专题突破：1、如图：已知二面角l αβ--的大小为120，点,,A B AC l αβ∈∈⊥于点C ，BD l D ⊥于，且1AC CD DB ===，求 （1）直线AB CD 与所成角的大小，（2）直线AB CD 与的距离。

2、如图，在四棱锥P —中，⊥底面，底面为正方形，，E 、F 分别是、的中点. （Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）在平面内求一点G ，使⊥平面，并证明你的结论； （Ⅲ）求与平面所成角的大小.3、如图, 在直三棱柱－A 1B 1C 1中，∠90°，13, 16为侧棱1上一点, 1AM BA ⊥． （1）求证: ⊥平面1A BC ； （2）求二面角B －－C 的大小； （3）求点C 到平面的距离．4、如图，1111ABCD A B C D -是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。

（Ⅰ）求证：1BD 平面1C DE ； （Ⅱ）求二面角1C DE C --的大小（Ⅲ）在侧棱1BB 上是否存在点P ,使得CP ⊥平面1C DE ？证明你的结论。

5、如图，在直三棱柱—A 1B 1C 1中，∠90°，1=2. （I ）证明：1⊥1；（）求点B 到平面1C 1的距离.lA C BD ABCABCM（）求二面角C 1—1—A 1的大小6、( 2006年湖南卷）如图4,已知两个正四棱锥与的高分别为1和24.(Ⅰ)证明⊥平面; (Ⅱ)求异面直线与所成的角; (Ⅲ)求点P 到平面的距离.7、（2006年全国卷）如图，在直三棱柱－A 1B 1C 1中，＝，D 、E 分别为1、1的中点． （Ⅰ）证明：为异面直线1与1的公垂线； （Ⅱ）设1＝＝，求二面角A 1－－C 1的大小．参考答案：例1：解：设平面ABC 的法向量(,,),0,0n x y z n AB n AC =•=•=，所以Q P A DCB图4ABCDE A 1 B 1 C 1(,,)(2,2,1)0(,,)(4,0,6)0x y z x y z •-=⎧⎨•=⎩，32202460x y z x zx z y z ⎧-+==-⎧⎪∴⎨⎨+=⎩⎪=-⎩ 2,(3,2,2)z n =-=-则，cos ,n AD ∴<>=所以设D 到平面ABC 的距离为d，cos ,d AD n AD =•<>==例2：解：建立如图所示空间直角坐标系.O xyz -(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1),F BC 2(1AM AC -==,(1,0)BN BF AN ABAF a a ==-+= ,0,MN AN AM a a =-=(2)MN a a ∴=(2)由(MN a =min ,22a MN == （3）21,(1,01),22a MN ==-又11(0,1,1),(0,1,1)22MA MB =--=-所以可求得平面MNA 与平面MNB 的法向量分别为12(1,1,1),(1,1,1)n n =--=，所以121cos ,3n n <>==-，所以1arccos 3θπ=-例3：解：如图建立坐标系，则111(1,0,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)A A B C111(0,1,1),(1,1,0)AB AC ∴==-，设MN 是直线11A C 与1AB1111(0,,),(,,0)AN AB AM uAC u u λλλ=+==-则11(,,0)(0,0,1)(0,,)(,MN MA AA AN u u u λλλ=++=--++=y11120203,21103MN A C u u MN AB u λλλ⎧=-⎪⎧•=-=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-=-•=⎩⎪⎪⎩=-⎪⎩，1113(,,)3333MN MN =-⇒= 例4： 解：111111//,,//BC AD AD ACD BC ACD ⊂∴平面平面，同理11//,A B ACD 平面又11,A BBC B =∴111平面A BC //平面ACD ，建立直角坐标系D xyz -，14,3,2AB BC CC ===，11(3,0,2),(3,4,0),(0,4,2)A B C11(0,4,2),(3,0,2)A B BC ∴=-=-,设(,,)n x y z =为平面11A BC向量，则110,420,n A B n A B y z ⊥⇒•=⇒-= 由110320n BC n BC x z ⊥⇒•=⇒-+=， 不妨设12211,,,(,,1)2332z y x n =∴==∴= 二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。

例5：解：（1）如图建立坐标系，则'(0,0,),(,,0),(0,,0),(,,0)2aA a C a a D a E a '(,,),(,,0)2a AC a a a DE a ∴=-=-，'''15cos ,15AC DE AC DE AC DE•∴<>==• 故'AC DE 与所成的角为 （2）,ADE ADF ∠=∠所以AD 在平面'B EDF 内的射影在EDF ∠的平分线上，又'B EDF 为菱形，'DB ∴为EDF ∠的平分线，故直线AD 与平面'B EDF 所成的角为'ADB ∠，建立如图所示坐标系，则'(0,0,0),(,0,),(0,,0)A B a a D a ，'(0,,0),(,,)DA a DB a a a ∴=-=-，'''3cos ,3DA DB DA DB DA DB •∴<>==• 故AD 与平面'B EDF 所成角为arccos3y由''(0,0,0),(0,0,),(,0,),(0,,0),(,,0)2aA A aB a a D a E a 所以平面ABCD 的法向量为'(0,0,)m AA a ==下面求平面'B EDF 的法向量，设(1,,)n y z =，由'(,,0),(0,,)22a a ED a EB a =-=-，'0210n ED y z n EB ⎧•==⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩•=⎪⎩，(1,2,1)n ∴= 6cos ,m n n m m n•∴<>==•，所以平面'B EDF 与平面ABCD 所成的角点评：（1）设12,l l 是两条异面直线，,A B 是1l 上的任意两点，,C D 是直线2l 上的任意两点，则12,l l 所成的角为arccosAB CD AB CD••（2）设AB 是平面α的斜线，且,B BC α∈是斜线AB 在平面α内的射影，则斜线AB 与平面α所成的角为arccosAB BC AB BC••。