?
1
绕y轴一周的
曲面方程为
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
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三 柱面
定义:动直线L始终平行于一固定直线B沿另一条曲线C移动 而生成的曲面叫做柱面. 动直线L称为母线.曲线C称为柱面 的准线. 当母线与准线相互垂直时,这个柱面称为直立柱面, 简称柱面. 下面我们研究柱面方程.考虑母线平行于坐标轴的柱面.
推广到空间中,所以球心的坐标为:
x ? 1 ? (? 3) ? ? 1, y ? ? 2 ? 4 ? 1, z ? 3 ? 1 ? 2
2
2
2
由两点的距离公式可得到,球半径为
Hale Waihona Puke 系理数院学技科汉武R ? [1? (?1)]2 ? (?2?1)2 ? (3? 2)2 ? 14
所以球面方程为: (x+1)2+(y-1)2+(z-2)2=14
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同理,我们可以得到xoy,xoz平面上的曲线,它们绕轴旋转
得到旋转曲面的方程.例如在xoy平面上的曲线f(x,y)绕x轴 旋转得到的曲面方程是x不变,把y变成 ? y 2 ? z 2
x2
例3:把xoy坐标面上的椭圆 a 2
?
y2 b2
?1
绕x轴旋转一周,求所
成的旋转曲面的方程.
解: 绕x轴旋转一周,x不变,y用 ?
到所求的方程
x2 a2
?
y2 ? z2 b2
?1
y2 ? z2
代入,就得
这曲面叫做旋转椭球面.
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例4 将xoy平面上的双曲线
x2 y2 a2 ? b2 ? 1
绕x,y轴旋转一周,求其方程
解:绕x轴一周的曲面方程为
x2 a2
?
y2 ? z2 b2
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3. 空间解析几何研究的两个基本问题: (1). 已知一空间曲面,建立其方程. (2). 已知坐标x,y,z 的一个方程,研究该方程所代表的曲面
形状. 例2. 方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0.表示怎样的曲面的形状?
(x2 ? 2x ? 1)? ( y2 ? 4 y ? 4) ? (z2 ? 2z ? 1)? 6 ? 0.
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L
B C 例:方程表示怎样的曲面. 方程 x2 ? y2 ? R2 表示在xoy平面上圆心在坐标原点,半径为R的一个圆. 在空间表示一曲面. 该曲面的形状是:它不含有z坐标,因此不论空间点的z坐标, 只要其横坐标和纵坐标满足方程x2 ? y2 ? R2 该点必定在这空间曲面上.反之如果点不满足方程 x2 ? y2 ? R2 则它一定不在这空间曲面上.
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因为M,M1到z轴的距离相等,有 y1 ? x2 ? y2 ? y1 ? ? x2 ? y2
代入方程(1),得到 f (? x2 ? y 2 , z) ? 0(2)
这就是旋转曲面方程. 特点: yoz平面曲线C:f(y,z)=0,绕z轴旋转.得到的旋转曲面
. 方程z不变.而y用 ? x 2 ? y 2 代入 如果yoz平面曲线C:f(y,z)=0,绕y轴旋转.得到的旋转曲面方 方程z不变.而y用? x2 ? z2 代入
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二 旋转曲面
定义:一条平面曲线C,绕该曲线C所在的平面内一直线L旋转 一周所成的曲面,叫做旋转曲面,这条直线L叫做旋转曲面的 轴.曲线C称为旋转曲面的母线. 垂直于旋转轴的平面,如果与旋转面相交,它们的交线是中心 在轴上的圆周. 在坐标系下建立旋转曲面的方程. 设yoz平面内有一已知曲线C,方程为f(y,z)=0.将其绕z轴
M0M ? R(*)
M(x,y,z) z
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y
x
M0(x0,y0,z0)
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3.把坐标代入,转化为方程.
( x ? x 0 ) 2 ? ( y ? y 0 ) 2 ? ( z ? z 0 ) 2 ? R (**)
因为球面上任一点都适合等式(*),其坐标满足(**).从而 满足方程 (2).反之,不在球面上的点必不满足(*),其坐标不满足 (**),从而不满足方程(2). 故(2)为以M0(x0,y0,z0)为球心,R为 半径的方程.如果球心为(0,0,0), 则以球心为坐标原点(0,0,0), 半径为R的球面方程为x2+y2+z2=R2
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2 建立空间曲面方程的思想方法: 空间曲面看成流动点的轨迹. 而方程看成相应的流动坐标 所满足的等式.以此思想来建立曲面方程的方法如下: ①在所求的曲面上任找一动点M(x,y,z) ②以动点所满足的条件得到等式. ③把坐标代入,转化为方程. 下面,我们举例说明.
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旋转一周,得到一个以z轴为轴的旋转曲面.
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z
C L
y o x
现在我们利用已知曲线方程f(y,z)=0建立 旋转曲面方程. 在曲面上找一点M.它是曲线C上对应 点(同一圆上的点) M1旋转得到的.M1(0, y1,z).因为M1在C上,它满足曲线C的 方程
f(y1,z)=0 (1)
曲面代表圆心为(1,-2,-1),半径为R ? 6 的球面. 一般二次方程Ax2+Ay2+Az2+Bx+cy+Dz+E=0表示球面. 特点是①平方项系数相等.②不含交叉项.
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例3 球的一条直径的两端为(1,-2,3)和(-3,4,1),求此球面方程. 解:首先,平面几何中关于定比点及线段中点坐标的公式可
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第三节 曲面及其方程
一 曲面方程的概念
1 曲面方程是平面解析几何中曲线方程概念的推广: 定义:给定空间曲面S及三元方程F(x,y,z)=0 (1) 如果它们 有如下对应关系:①.曲面S上任一点的坐标都满足方程(1). ②.不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1). 那么,方程 (1) 就叫做曲面S的方程.而曲面S叫做方程(1)的图形.
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例1 建立球心在点M0(x0,y0,z0), 半径为R的球面方程. F(x,y,z)=0
z s
y
x ①在所求的曲面上任找一动点M(x,y,z) ②以动点所满足的条件得到等式. ③把坐标代入,转化为方程.
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1.设M(x,y,z)是球面上的任一点. 2.那么M点到球心M0(x0,y0,z0)的距离为半径R(这就是以动 点所满足的条件得到等式)