一元二次方程
知识点一、一元二次方程的定义
1、方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程．
注：一元二次方程的定义包括三个要素： ①只含一个未知数．
②未知数的最高次数是2． ③整式方程．
例1：判断下列方程是否是一元二次方程，为什么？
（1）()
()22123a x x x a x a -+-=+； （2）()
()22221m x m x x x m ++=+-．
【变式一】求下列各题m 的值或取值范围
（1）方程()22510m x x +++=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是________．
（2）若方程()1
131m m x x +-+=是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．
（3）m =__________时，关于x
的方程2
((3)43m m x m x m -+=+是一元二次方程．
【变式二】关于x 的方程1
(1)320a a x x +--+=是一元二次方程，则（ ）
A ．1a ≠±
B ．1a =
C ．1a =-
D ．1a =±
2、一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：()200ax bx c a ++=≠ 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中2ax 是二次项，a （0a ≠）是二次项系数；bx 是一次项，b （b 为任意实数）是一次项系数；c （c 为任意实数）是常数项．
注：一元二次方程的一般形式中，0a ≠的条件十分重要，一般地，如果题目中明确说明“关于x 的一元二次方程”，都需要检验一下二次项系数是否为0．
知识点&例题
例2：下列一元二次方程中，常数项为0的是（ ）．
A ．21x x +=
B ．2250x x -+-=
C ．()()22131x x -=-
D ．()
2212x x +=+
【变式一】关于x 的一元二次方程()221510m x x m -++-=的常数项为0，则m =___________．
【变式二】已知关于x 的方程()
()22110m x m x m --++=．
（1）m 为何值时，方程为一元一次方程？
（2）m 为何值时，方程为一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数以
及常数项．
【变式三】已知关于y 的一元二次方程()
()223811m y m my y y +-=-+，求出它各项的系数，并指出参数m 的取值范围．
3、一元二次方程的根
一元二次方程的解又叫做一元二次方程的根．
若实数0x 满足2000ax bx c ++=，则称0x 为方程20ax bx c ++=的实根． 注：并不是任意的一元二次方程都有实根，如方程210x +=无实根．
例3：若0x 是方程()2200ax x c a ++=≠的一个根，设M=1ac -，()20N=1ax +，则M 与N 的大小关系正确的为（ ）
【变式一】已知1x =-是方程220170ax bx --=的一个根，求a b +的值为_________．
【变式二】若x =1是方程270x ax -+=的根，则a =______．
【变式三】已知关于x 的一元二次方程()221210m x x m -++-=有一个根是0，求m 的值．
知识点二、一元二次方程的解法
1、直接开平方法
如果()20x m m =≥，则x =，即1x =2x =
例4：用直接开平方法解方程：
（1）()2349x -= （2）()2
113x +=
【变式一】用直接开平方法解方程：
（1）22590x -= （2）2225x =
【变式二】用直接开平方法解方程：
（1）()2
19x += （2）()2
95036x -=
（1）()2
3720x ++= （2）()()2
2
2332x x +=+
例5：用配方法解下列方程：
（1）2235x x += （2）2680y y ++=
【变式一】用配方法解下列方程：
（1）2650x x -+= （2）26160y y +-=
（1）23610x x -+-= （2）21
404
x x --=
【变式三】用配方法解下列方程：
（1）20x px q ++= （2）20ax bx c ++=
3、公式法
对于一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠：当2
40b ac -≥时，方程有解x =．
例6：用公式法解下列方程：
（1）2610x x -+= （2）22370x x +-=
【变式一】用公式法解下列方程：
（1）21122x x -= （2）21124x x -=
【变式二】用公式法解下列方程：
（1）23x =- （2）2
210x -+=
（1）2232
x x x -+= （2）5(2)(2)1t t t =+--
例7：用公式法解方程：()()()()73154m m m m m -++-+=
【变式一】用因式分解法解下列方程：22320x mx m -+=
【变式二】解关于x 的方程()()24250m n x m n x n m ++-+-=．
【变式三】解关于x 的方程()22231x mx mx x m ++=+≠；
4、因式分解法
一元二次方程一般形式的左边为一个二次多项式，右边为0，若能把左边的二次多项式分解为两个一次多项式的积，也可求出方程的根．
即对一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的左边进行因式分解，可得()()0mx p nx q ++=，则原方程可化为0mx p +=或0nx q +=，这样，就把一个一元二次方程化为了两个一元一次方程，分别解这两个一元一次方程可得原方程的两根．
如2230x x --=，对方程左边进行因式分解得()()310x x -+=，故原方程有两根13x =、21x =-．
例7：用因式分解法解下列方程：
（1）220x x -= （2）22530x x +-=
【变式一】用因式分解法解下列方程：
（1）25720x x -+= （2）22
5603
x x -+-=
【变式二】已知3是关于x 的方程()2120x m x m -++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ）
A ．7
B ．10
C ．11
D ．10或11
【变式三】如果()()222223x y x y ++-=，请你求出22x y +的值
1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）．
A ．2136x +
= B ．2
0ax bx c ++= 课后作业
()()2
22213=5x
y x y +++-，则22x y +的值等于（ ）
A.4
B.-2
C.4或-2
D.-4或2
3、不论x 、y 为何实数，代数式22247x y x y ++-+的值 ( )
A ．总小于2
B ．总不小于7
C ．为任何实数
D ．不能为负数
4、若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x +m 2﹣4=0的常数项为0，则m 的值等于________．
5、已知x ＝1是一元二次方程20x mx n ++=的一个根，则2220m mn n ++=的值为________．
6、关于x 的一元二次方程()2214320m x x m m --+-+=的常数项为0，则m =___________．
7、已知关于x 的一元二次方程2220x x m m ++-=有一个实数根为1-，求m 的值及方程的另一实数根．
8、解方程．
（1）()2
14x += （2）2269(52)x x x -+=-
（3）2250x --= （4）2(3)72y y y -+=
（5）211
063
x x +-= （6）24410x x ++=
9、用公式法解下列方程：
（1）2210x ax --= （2）()()
222221ab x ax b x a b +=+＞。