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【数学】数学 一元二次方程的专项 培优练习题附答案

答:m的值是20.
点睛:本题是一元二次方程的应用,第二问有难度,正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键.
2.解方程:
【答案】
【解析】试题分析:先对方程的右边因式分解,直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.
试题解析:因式分解,得
开平方,得
,或
解得
3.已知关于x的一元二次方程 (m为常数)
探究二:
(4)如图⑤,在a×2×1个小立方块组成的长方体中,棱AB上有 条线段,棱AC上有1+2= =3条线段,棱AD上只有1条线段,则图中长方体的个数为 ×3×1= .
(5)如图⑥,在a×3×1个小立方块组成的长方体中,棱AB上有 条线段,棱AC上有1+2+3= =6条线段,棱AD上只有1条线段,则图中长方体的个数为______.
(1)求证:不论m为何值,方程总有两个不等的实数根;
(2)若方程有一个根是2,求m的值及方程的另一个根.
【答案】(1)见解析;
(2)即m的值为0,方程的另一个根为0.
【解析】
【分析】
(1)可用根的判别式,计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4>0,则方程有两个不相等实数解,于是可判断不论m为何值,方程总有两个不相等的实数根;
解得t=0,
所以m=0,
即m的值为0,方程的另一个根为0.
【点睛】
本题考查根的判别式和根于系数关系,对于问题(1)可用根的判别式进行判断,在判断过程中注意对△的分析,在分析时可借助平方的非负性;问题(2)可先设另一个根为t,用根于系数关系列出方程组,在求解.
4.已知两条线段长分别是一元二次方程 的两根,
(1)解方程求两条线段的长。
(2)若把较长的线段剪成两段,使其与另一段围成等腰三角形,求等腰三角形的面积。
(3)若把较长的线段剪成两段,使其与另一段围成直角三角形,求直角三角形的面积。
【答案】(1)2和6;(2) ;(3)
【解析】
【分析】
(1)求解该一元二次方程即可;
(2)先确定等腰三角形的边,然后求面积即可;
(2)如图③,在3×1×1个小立方块组成的长方体中,棱AB上共有1+2+3= =6条线段,棱AC,AD上分别只有1条线段,则图中长方体的个数为6×1×1=6.
(3)依此类推,如图④,在a×1×1个小立方块组成的长方体中,棱AB上共有1+2+…+a= 线段,棱AC,AD上分别只有1条线段,则图中长方体的个数为______.
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.“父母恩深重,恩怜无歇时”,每年5月的第二个星期日即为母亲节,节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们.
(1)经过和花店卖家议价,可在原标价的基础上打八折购进,若在花店购买80个礼盒最多花费7680元,请求出每个礼盒在花店的最高标价;(用不等式解答)
(2)后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降价25%,学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒,但实际购买过程中,“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨 m%,购买数量和原计划一样:“美团”网上的购买价格比原有价格下降了 m元,购买数量在原计划基础上增加15m%,最终,在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了 m%,求出m的值.
(6)依此类推,如图⑦,在a×b×1个小立方块组成的长方体中,长方体的个数为______.
探究三:
(7)如图⑧,在以a×b×2个小立方块组成的长方体中,棱AB上有 条线段,棱AC上有
条线段,棱AD上有1+2= =3条线段,则图中长方体的个数为 × ×3= .
试题解析:(1)解:解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x•80≤7680,x≤120;
解法二:7680÷80÷0.8=96÷0.8=120(元).
答:每个礼盒在花店的最高标价是120元;
(2)解:假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,由题意得:120×0.8a(1﹣25%)(1+ m%)+a[120×0.8(1﹣25%)﹣ m](1+15m%)=120×0.8a(1﹣25%)×2(1+ m%),即72a(1+ m%)+a(72﹣ m)(1+15m%)=144a(1+ m%),整理得:0.0675m2﹣1.35m=0,m2﹣20m=0,解得:m1=0(舍),m2=20.
(2)设方程的另一个根为t,利用根与系数的关系得到2+t= ,2t=m,最终解出关于t和m的方程组即可.
【详解】
(1)证明:
△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4,
∵无论m为何值时m2≥0,
∴m2+4≥4>0,
即△>0,
所以无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)设方程的另一个根为t,
根据题意得2+t= ,2t=m,
(3)设分为两段分别是 和 ,然后用勾股定理求出x,最后求面积即可.
【详解】
解:(1)由题意得 ,
即: 或 ,
∴两条线段长为2和6;
(2)由题意,可知分两段为分别为3、3,则等腰三角形三边长为2,3,3,
由勾股定理得:该等腰三角形底边上的高为:
∴此等腰三角形面积为 = .
(3)设分为 及 两段
∴ ,
∴ ,
∴面积为 .
【点睛】
本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识,考查知识点较多,灵活应用所学知识是解答本题的关键.
5.(问题)如图①,在a×b×c(长×宽×高,其中a,b,c为正整数)个小立方块组成的长方体中,长方体的个数是多少?
(探究)
探究一:
(1)如图②,在2×1×1个小立方块组成的长方体中,棱AB上共有1+2= =3条线段,棱AC,AD上分别只有1条线段,则图中长方体的个数为3×1×1=3.
【答案】(1)120;(2)20.
【解析】
试题分析:(1)本题介绍两种解法:
解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x•80≤7680,解出即可;
解法二:根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费,再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价;
(2)先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额:120a(1﹣25%)(1+ m%),在“美团”网上的购买实际消费总额:a[120(1﹣25%)﹣ m](1+15m%);根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了 m%”列方程解出即可.
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