倾斜角α 锐角 0° 钝角
90°
2.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝
tan α的单调性，如图所示：
(1)当α取值在
0，π2
内，由0增大到
π 2
α≠π2
时，k由0增大并趋向于正无穷大；
(2)当α取值在π2，π内，由π2α≠π2增大到π(α≠π)时，k由负无 穷大增大并趋近于0.
解决此类问题，常采用数形结合思想．
[易错提醒]
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函 数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分 0，π2 与 π2，π 两种情况讨论．由正切函数图象可以看 出，当α∈ 0，π2 时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝ π2 时，斜率 不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．
两直线的位置关系
解析：设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3.由题图易知 0<α3<α2<90°<α1<180°，∴tan α2>tan α3>0>tan α1， 即k2>k3>k1. 答案：k2>k3>k1
(3)已知直线l1：x＝－2，l2：y＝
1 2
，则直线l1与l2的位置关系
是________．
答案：垂直
(4)已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2， 则实数a的值为________． 解析：由题意，得a－a 3＝－2，解得a＝2. 答案：2
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[全析考法]
直线的倾斜角与斜率
1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具 体如下：
斜率k k＝tan α>0 k＝0 k＝tan α<0 不存在
－1≤sin α≤1，所以－1≤k≤1.设直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜
角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范
围是0，π4∪34π，π.
(2)如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点 A(0，－1)，当m≠0时，kQA＝32，kPA＝－2， kl＝－m1 .
∴－m1 ≤－2或－m1 ≥32. 解得0<m≤12或－23≤m<0； 当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点． ∴实数m的取值范围为－23，12. [答案] (1)B (2)－23，12
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． ( × )
(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．
(× )
(4)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2. ( × )
(5)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.
(× )
2．填空题 (1)若过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12，则m＝ ________. 答案：－2 (2)如图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2， k3，则k1，k2，k3的大小关系为________．
当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2
如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有 两条直 l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1 .
线垂直 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜
率为0时，l1⊥l2
[基本能力]
1．判断题
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置． ( √ )
＝0，若l1∥l2，则a的值为
()
A．－16
B．6
C．0
D．0或－16
(2)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1) 和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．
[解析] (1)由l1∥l2，得－3a－2a(3a－1)＝0，即6a2＋a＝0， 所以a＝0或a＝－16，经检验都成立．故选D.
两直线位置关系的判断方法 (1)已知两直线的斜率存在 ①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距 不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在 若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相 等时，两直线平行；否则两直线重合．
[例2] (1)已知直线l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2
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01 突破点(一) 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系
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1．直线的倾斜角
[基本知识]
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向 与直线l 向上方向 之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l 与x轴 平行或重合 时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是 [0，π) ．
2．直线的斜率公式
(1)定义式：若直线l的倾斜角α≠π2，则斜率k＝ tan α .
(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，
y2－y1 则l的斜率k＝ x2－x1 .
3．两条直线平行与垂直的判定
两条直 线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1， k2，则有l1∥l2⇔ k1＝k2 .
第九章 解析几何
第一节 直线与方程
本节主要包括3个知识点： 1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系； 2.直线的方程； 3.直线的交点、距离与对称问题.
突破点(一) 直线的倾斜角与斜率、两直线的 位置关系
突破点(二) 直线的方程
012453
突破点(三) 直线的交点、距离与对称问题
全国卷5年真题集中演练——明规律
[例1] (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π)
B.0，π4∪34π，π
C.0，π4
D.0，π4∪π2，π
(2)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直
线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是
________． [解析] (1)因为直线xsin α＋y＋2＝0的斜率k＝－sin α，又
(2)l1的斜率k1＝1－3a－－02＝a. 当a≠0时，l2的斜率k2＝－2aa－－0－1＝1－a2a. 因为l1⊥l2， 所以k1k2＝－1，即a·1－a2a＝－1，解得a＝1. 当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2， 0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2. 综上可知，实数a的值为1或0. [答案] (1)D (2)1或0