0.4 0 ( x)
标准正态分布表(附表2)
0.3
0.2
10 X ~ N(0,1),则EX 0, DX 1. 0.1
200( x)是偶函数；
300(a) 1 0(a)
-a -3 -2 -1
a1 2 3
计算概率：X~N(0,1) 1 PX a 0a;
2 Pa X b (b) (a);
0
0
X~N(0,1), 0(a) P{ X a}, 0(a) 1 0(a) 例1 设r.v. X ~N(0,1),求:
P{X 1.96} , P{X 1.96} , P{ X 1.96} , P{ X 1.96}, P{1 X 2)}
解 P{ X 1.96} 0(1.96) 0.975 （直接查正态分布表）
热噪声电流强度； 学生的考试成绩；
6.X ~ N (, 2 ), 则 aX b ~ N (a b, a2 2 )
7.一种重要的正态分布 －－标准正态分布
7.一种重要的正态分布 －－标准正态分布
当 0， 1时, 正态分布N (0,1)称为标准正态分布,
0(x)
1
x2
e 2,
2
0( x) P{X x},
即X ~ E( ) ,则对于a 0,b 0,有
P{X a b | X a} P{X b}
P{ X
a b, X P{X a}
a}
P{X a P{X
b} a}
e (ab) ea
eb
1 ex x 0
F(x)
0
x0
X 寿命，则上式表明，，如果已知寿命长于a年，
则再活b年的概率与年龄 a无关， 指数分布是“永远年轻”的
§2.4 常用的连续型分布
本节知识要点：
1.掌握均匀分布、指数分布、正态分布的概率模型及其数字特征；
2. 熟练掌握正态变量标准化，会查标准正态分布函数表.
一、均匀分布
1.Def .
如果r.v.X的密度函数为f
(x)
b
1
a
0
a xb 其它
则称X服从[a‚b]上的均匀分布，记作 X ~ U[a,b].
0
a
P{a X b} P{a X b} P{a X b}
P{a
X
b}
F (b)
-
F(a)
0
b
0
a
P{ X
a}
1
F (a)
1
0
a
0.4 0( x)
0.3 0.2
正态分布表
0.1
1
0 0
1 2
(2) 0(a) 1 0(a)
-3 -2 -1 0 1
3
a
0
a
23
例1 某元件寿命X服从指数分布,其平均使用寿命为1000h,
求该元件使用1000h没有坏的概率.
解 EX 1000
(1000)1
F
(
x)
1
e
x 1000
x0
0
x0
例1 某元件寿命X服从指数分布,其平均使用寿命为1000h,
求该元件使用1000h没有坏的概率.
解 EX 1000
(1000)1
2
DX 2
“钟形曲线”( x)( x)
30 若固定，改变，则对应f(x) 的形状不变，只是位置变化；
40 若固定，越小，曲线的顶峰越高， 曲线越陡峭，形状变了；
(x)
50
( x)dx 1
4. 正态分布的分布函数： X ~ N (, 2 )
x
( x) (t)dt
5.可用正态变量描述的实例极多： 各种测量的误差； 人体的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；
2.X ~ U[a,b],则X的分布函数
0
F
(
x)
x b
a a
1
xa a xb xb
3. EX a b 2
DX (b a)2 12
分子带 平方！
二、指数分布
1.Def .若r.v.X的密度函数为 ex
f (x) 0
x 0 ，＞0
x0
则称X服从参数为的指数分布，记为 X ~ E( )
例2 r.v.X ~ N (10,22 ),求P{10 X 13}, P{ X 13},
P{ X 10 2}.
解 P{10 X 13} F (13) F (10)
P{ X
a}
F (a)
0
a
0
13
Hale Waihona Puke 210010
2
10
0
(1.5)
0
(0)
0.9332 0.5 0.4332
1.Def .若r.v.X的密度函数为
(x)
1
e ,
(
x )2 2 2
2
x
其中，为常数，且 0,则称X服从参数为和的
正态分布 , 记作X ~ N (, 2 ) .
2. EX DX 2
2. X ~ N (, 2 ) EX
3.( x)的特征： 10关于x 对称 20 在x 处取得最大值 1
2.X ~ E( ),则X的分布函数
1 ex x 0
F(x)
0
x0
3. EX 1
DX
1
2
共同特征： 倒数
当x 0时, F ( x) 0;
当x 0时
F(x) p{X x}
x 0
etdt 1 ex
4.应用 指数分布常用作各种“寿命”分布的近似.
指数分布是唯一具有“无记忆性”的连续型分布，
，求、、.
解
P{ X
1.6}
F (1.6)
0
1.6
1
0
1.6
0.036
0
1.6
0.964
P{ X
5.9}
F (5.9)
0
5.9
0.758
查表得
1.6
1.8
5.9
0.7
3.8,
3
P{ X
0}
1
P{ X
0}
1
0
0
3.8 3
1
0 (1.27)
1 (1 0(1.27)) 0(1.27) 0.898
P{X 1.96} 0(1.96) 1 0(1.96) 0.025
（正态分布表无负值,先变形）
P{ X 1.96} P{1.96 X 1.96} 0(1.96) 0(1.96) 0(1.96) [1 0(1.96)] 20(1.96) 1 0.95
P{ X 1.96} 1 P{ X 1.96} 0.05
P{1 X 2} 0(2) 0(1) 0.9773 0.8413 0.1360
一般正态分布的概率如何计算？
8. N (, 2 )与N (0,1)的关系
称为对X的标准化
10若X ~ N (, 2 )，则 X ~ N (0,1)
20 若X ~
N (,
2 )，则P{ X
a}
F (a)
于是 x1645355758
查查查表表表得得得55500011.4.433, ,于于是是3535故故X~XN~(N3(030003355322)5)2)又又又
P{
x
X
x}FP{(| Xx) |Fx(}2x)0(x)01x0.9 0
x
}
20(x
)
1
0.9
即0(x
)
1.9 2
0.95
查表得 x
1.645
于是 x
查表得 x
1.645
F
(
x)
1
e
x 1000
x0
0
x0
P{ X 1000} 1 P{X 1000} 1 F (1000) e1
例2 若有3个这样的元件使用1000h,求至少有一个损坏的概率.
解 设A {3个元件至少有一个损坏}， 各个元件的寿命是否超过1000h是独立的，
A {3个元件都没有损坏} ，P(A) (e1)3 e3 ,
所以P(A) 1 e3 .
例4 某电子元件的使用寿命 若发现该元件使用了500小时
X
~
f
(x)
1 1000
1x
e 1000
x 0 没有损坏,求它还可以继续使用
解
PX
1500
X
0
500
x0
P{X
1000小时的概率.
“无记忆性”
1000 500 | X 500}
P{X 1000} e1 三、正态分布 高斯分布
P{ X 13} 1 P{X 13} 1 F (13) 1 0(1.5) 0.0668
P{ X 10 2} P{8 X 12} F (12) F (8)
0
12
2
10
0
8
10 2
0
(1)
0
(1)
20(1) 1 2 0.8413 1 0.6826
例3 设r.v. X~N（²), 已知 P{X
例4 某元件的寿命X近似服从正态分布N( 2 ) 已知其
寿命在250小时以上的概率和寿命不超过350小时的概率均
为9236% 为使其寿命在x和x之间的概率不小于09 x
至少为多大？
解 由P{X250}P{X350} 得 250 350 300
2
P{X 3P5{0X} F35(03}50P){X03 03050353000300}005(500)0.9236