基 本 内 容
备 注
其中， 为常数，则称X服从参数为 和 的对数正态分布，记作
对数正态分布的分布函Байду номын сангаас为
若 则
（四）Weibull分布
定义：若随机变量X的概率密度函数为
其中， 为常数，则称X服从参数为 的Weibull分布，记作
Weibull分布的分布函数为
——形状参数
——位置参数
——尺度参数
Weibull分布概括了许多典型的分布。
易知 。
即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。
例3设随机变量X~N(0,1)，查表计算：
(1) P(X≤2.5)；(2) P(X>2.5)；(3) P(|X|<2.5).
解(1)P(X≤2.5) =Φ(2.5) =0.
(2)P(X>2.5) =1- P(X≤2.5) =1-Φ(2.5) =0.
ⅲ)当x1≤x2时，F(x1)≤F(x2)；（单调性）
iv) F(x)是连续函数
注：iv)与离散型随机变量不同，
离散型随机变量的分布函数有有限个或无限可列个间断点。
例1设随机变量X的分布函数为F(x)=A+B arctanx,
求（1）系数A，B（2）P(-1<X<1)；（3）密度函数f(x)
分析：主要是应用分布函数的性质。
(3)P(|X|<2.5) =P(-2.5<X<2.5) =Φ(2.5)-Φ(-2.5) =2Φ(2.5)-1
=2×0.-1 =0.
引理若 则
证 的分布函数为
令 得 可知
基 本 内 容
备 注
于是，若 则它的分布函数 可写成：
对于任意区间 ，有
注：可以通过标准正态分布表计算任何正态分布的分布函数值或有关概率。
分析设学生考试成绩X~N( )，首先应求出 及 之值，然后根据录取人数占总人数的比例，再应用正态分布概率公式算出实录最低分。
解设学生成绩X~N( )，由题设知应有
从而得
即
查表得 解之得
故知，X~N( )
又设该大学实录线为a，由题设知：
即
查表得
即是说该大学的实录线约为512分。
（三）对数正态分布
定义：若随机变量X的概率密度函数为
(3)求常数C，使之满足P{X<C}=0.05,即
基 本 内 容
备 注
例5某重点大学招收研究生800人，按考试成绩从高分至低分依次录取。设报考该大学的考生共3000人，且考试成绩服从正态分布，已知这些考生中成绩在600分以上的有200人，重点线（500分）以下的2075人,问该大学的实录线（即录取最低分）是多少？
本次课小结：
介绍了连续型随机变量的概念,连续型随机变量概率密度函数的概念及其性质.介绍了几种常见的连续型随机变量的分布，其中最主要的是正态分布。
为常数，则称X为服从参数为 的正态分布，记作 其图象为（右图）。其中： 称为位置参数， 的图形关于 对称， 影响 的最大值及曲线的形状。分布函数为
基 本 内 容
备 注
性质：
1.曲线关于 对称，这表明对于任意 有
2.当 时，
（2）标准正态分布
特别地，当 时，称X服从标准正态分布，
记为 相应的概率密度函数和分布函数分别记为
1)f(x)≥0
2)
3)
特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 （但{X=x}并不一定是不可能事件）
因此P(a≤X≤b)= P(a<X<b)= P(a≤X<b) = P(a<X≤b)=F(b)-F(a)
4）若f(x)在点x处连续，则
分布函数性质
i) 0≤F(x)≤1；
ii)F(-∞)=0,F(+∞)=1；
例如，设X~N(1,4)，则
例4设某商店出售的白糖每包的标准全是500克,设每包重量X(以克计)是随机变量,X~N(500,25),求:
(1)随机抽查一包,其重量大于510克的概率;
(2)随机抽查一包,其重量与标准重量之差的绝对值在8克之内的概率;
(3)求常数C,使每包的重量小于C的概率为0.05。
连续型随机变量的分布
（一）连续型随机变量及其概率密度函数
1.定义：对于随机变量X的分布函数F(X)，若存在非负函数f(x),使对于任意的实数x，有 ，则称X为连续性随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。
注：F(x)表示曲线下x左边的面积，曲线下的整个面积为1。
2.密度函数f(x)的性质：注：f(x)不是概率。
解（1）由F(-∞)=0,F(+∞)=1得
解之，得
（2）由(1)知F(x)=
基 本 内 容
备 注
故得P（-1<X<1）=F(1)-F(-1)
(3) f(x)
例2设随机变量X的概率密度为 试确定常数k，并求其分布函数F(x)和P{X>0.1}.
解：由 得
当 时，
当 时，
于是，
（二）正态分布
（1）设随机变量X的概率密度函数为