第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第2课时 分数指数幂及运算
分数指数幂及运算
1.结合具体例子体会分数指数幂的过程，体会引入数学 概念的过程； 2.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算法则， 会根据根式和分数指数幂的关系和分数指数幂的运算法 则进行计算分数指数幂； 3.了解可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂。
(4)2x（ 1 3 1x1 32x2 3） 14.
2
x
分数指数幂及运算
探究点3 无理数指数幂
当幂指数是无理数时，a(a0,是 无 理 数 ）
是一个确定的实数，无理数指数幂可以由有理数指 数幂无限逼近而得到，有理数指数幂的运算法则对 无理数指数幂也成立。
5 观察下表： 2 的是否表示一个确定的实数？
(2) 如果n为奇数，an的n次方根就是a，即
nan a (n为奇数）
如果n为偶数， n a n 表示an的正的n次方根，所以当 a 0 ， 这个方根等于a，当a<0时，这个方根等于-a，
n an a a,a((aa00)),.
(3) 0的任何次方根都是0，记作 n 0 0 .
分数指数幂及运算
探究点1 分数指数幂
…
分数指数幂及运算
5 2 的近似值
9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736
…
2 的不足近似值 1.4 1.41
规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
annam(a0 ,m ,n N *,且 n1 )
注：在上述限制条件下，根式都可以写成分数指数幂的 形式。
分数指数幂及运算
正数的负分数指数幂的意义与负分数指数幂的意 义相仿，我们规定：
am na1m nn1 am (a0,m ,nN *,n1)
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指 数推广到了有理数指数。
[2 ( 6 ) ( 3 )]a 2 3 1 2 1 6 b 1 2 1 3 6 5 4 a b 0 4 a ;
(2 )(m 1 4n 8 3)8(m 1 4)8(n 8 3)8m 2n 3m 2. n 3
分数指数幂及运算
例5.计算下列各式：
(1) (325125)425; (2)3Βιβλιοθήκη a4 4 a3;3
a 5
1
;
5 a3
2
a 3
1
.
3 a2
分数指数幂及运算
2.用分数指数幂表示下列各式：
2
(1) 3 x 2 ;
x3
(2) 4(ab)3 (ab0);
3
(a b)4
(3) 3(mn)2(mn);
2
(m n)3
(4) (mn)4(mn);
(5) p6q5(p0);
(m n)2
分析：根据分数指数幂和根式的关系，以及有理数指
数幂的运算法则解决。
解： a3 aa3a1 2a31 2a7 2;
a23a2a2a2 3a22 3a8 3;
11
41 2
a3a(aa3)2(a3)2a3.
分数指数幂及运算
1.用根式表示下面各式（a>0)
1 3 3 2
a2,a4,a 5,a 3.
1
答案： a 2 a ;
a2 a 3 a2
(a0).
解：(1) (325125)425
23
1
2131
(53 52)52 53 52 52 52
1
56 56 55;
(2) aa 2 3a2a1 2a2 a2 3a21 22 3a6 56a5.
分数指数幂及运算
3.计算下列各式的值：
(1)（
36
3
）2
;
14 9 1 1
(3) a 2 a 4 a 8 ;
分数指数幂及运算
探究点2 有理数指数幂的运算性质
(1 )a ra s a r s(a 0 ,r,s Q );
(2 )(a r)s a rs(a 0 ,r,s Q );
(3 )(a b )r a r b r(a 0 ,b 0 ,r Q ).
分数指数幂及运算
例2 求值： 823;2512（ ; 1） 5（ , 16） 43. 2 81
分数指数幂及运算
2 的过剩近似值 1.5 1.42
1.415 1.414 3 1.414 22 1.414 214 1.414 213 6 1.414 213 57 1.414 213 563
…
5 2 的近似值
11.180 339 89 9.829 635 328 9.750 851 808 9.739 872 62 9.738 618 643 9.738 524 602 9.738 518 332 9.738 517 862 9.738 517 752
分数指数幂及运算
复习回顾
1.正数指数幂的运算性质：
（1） a m a n a m n(a 0 ,m ,n Z );
（2） (a m )n a m n (a 0 ,m ,n Z );
（3）（ a b )m a m b m(a 0 ,m ,n Ζ )
分数指数幂及运算
2.根式的运算性质
(1) ( n a )n a
5
p 3q 2
m3
5
(6) . m
m2
分数指数幂及运算
例4.计算下列各式（式中的字母均是正数）：
21
11
15
(1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6); (2)
1
(m4
3
n8
)8.
分析：根据有理数指数幂的运算法则和负分数指数幂的
意义求解。
21
11
15
解： (1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6)
解：
2
83
2
(23)3
32
2 3
224;
251 2(52)1 252(1 2) 511; 5
（1） 5 (21)5 25 32; 2
（ 16） 3 4 （ 2） 4(3 4) （ 2） 327.
81 3
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分数指数幂及运算
例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a>0):
a3 a; a23a2; a3a.
(2)2 331.5612;
(4) 2x（ 13 1x13 2x23） .
解：(1)（ 36） 3 2 （ 6） 23 2 （ 6） 3216;
2
(2 )2 493 31 .7 5 61 2 72 1 1 3 31 3 4 33 1 2 1 3 1 6 6 ;
1 1 1
111
5
(3)a2a4a8a2 4 8a8;