第二章 导数与微分一 导数（一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求（ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。

（ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。

Ⅱ 基本题型（ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分）（1）0)(='C （2）21)1(x x-=' （3）xx 21)(='（4）x x sin )(cos -=' （5）a a a xx ln )(=' （6）1)(-='μμμx x（ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。

解：xy 1'=，1)1('==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y =在)1,1(点处的切线方程。

解：43x y =，41'43-=x y ，43)1('==k y切线方程为1)1(43+-=x y ，即4143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示4．填空题（每题4分）（1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化速度为 )('t T（2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )('t N Ⅲ 疑难题型（ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性（1）（7分）|sin |x y =解：在0=x 处连续但不可导（2）（7分）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin x x x x y 解：0)0(lim 0==→f y xxx x x x x ∆=∆-∆∆→∆→∆1sinlim 01sinlim00不存在， 所以)(x f 在0=x 处连续但不可导6．（8分）已知：⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,0,)(2x x x x x f ，求).(),0(),0(),0(x f f f f ''''-+解：)0(-'f =10lim )0()0(lim 00-=--=-+--→→xx x f x f x x ='+)0(f 00lim )0()0(lim 200=-=-+++→→xx x f x f x x ，不存在)0('f ∴ ∴⎩⎨⎧<->=0,10,2'x x x x f ）（（ⅱ）用导数定义解决的有关抽象函数的题型（自学）7．（7分）设1)0(,0)0(='=f f ，求xx f x f x )3()2(lim 0--→．解：x x f x f x )3()2(lim 0--→=xf x f f x f x )0()3()0()2(lim 0+---→=x f x f x )0()2(lim 0-→+xf x f x )0()3(lim 0+--→=)0(2f 5)0(3=+f8．（7分）对任取的y x ,，总有)()()(y f x f y x f +=+，且)(x f 在0=x 处可导， 求证：)(x f 在),(+∞-∞上处处可导。

解：)()()(y f x f y x f +=+Θ，取0==y x 0)0(=∴f x)x (f )x (f )x (f lim x )x (f )x x (f lim)x (f x x '∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆00Θ )0()0()(lim'0f xf x f x =∆-∆=→∆ 即)(x f 在),(+∞-∞上处处可导。

（二） 初等函数求导（见A §2.2, §2.3）；（B §2.2） Ⅰ 内容要求（ⅰ）记忆基本导数表，掌握四则求导法则及复合求导法则，了解反函数求导法则。

（ⅱ）了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶及二阶导数的求法，自学求函数n 阶导数的一般表达式。

Ⅱ 基本题型（ⅰ）初等函数一阶及二阶导数的计算题型 9. 求下列函数的一阶导数（每题4分）（1）22x y x ⋅=， x x y x x⋅+⋅=+12'22ln 2（2）x e y x cos 3= )sin (cos 3'x x e y x-=（3）x x y ln = xx xx x x x x y 2ln 22ln '-=-=， （4）xx y arccos arcsin = 22222')(arccos 1arccos arcsin )(arccos 1arcsin 11.arccos x x x x x x xx x y -+=-+-=22)(arccos 12x x -=π（5）22x y = 2ln 222ln 21'22⋅=⋅=+x x y x x（6）x ey x6cos 2-= )6sin 126(cos 212'x x e y x+-=-（7）11arctan-+=x x y 11)1()1()1()11(11222'+-=-+--⋅-++=x x x x x x y （8）)ln(22a x x y ++=，222222'1)1(1ax ax x ax x y +=++++=10. 求下列函数在给定点处的函数值（每题6分） （1）θθθρcos 21sin +=，求4πθθρ=d d解：θθθθθρsin 21cos sin -+=d d θθθsin 21cos +=4πθθρ=d d )2(824282ππ+=+=（2）x x y +=，求).1(y ' 解：xx x x xx xy ++=++=4122211'，823)1('=y （3）|sin |11|sin |11x x y -++=，求).3(πy '解：)2,0(π∈x Θ，x xx y 2sec 2sin 11sin 11=-++=∴x x y tan sec 42'=，3163tan3sec4)3(2'==πππy（4）)tan ln(sec x x y +=，求).6(πy '解：x x x x xx y sec )sec tan (sec tan sec 12'=++=3326sec)6('==ππy 11. 求下列函数的二阶导数（每题7分） （1）x xy ln 1+=12'--+-=x x y ，23"2---=x x y （2）x y tan = x y 2'sec =，x x y tan sec 22"=（3）x e y x 2= 222'2x e xe y x x -=，322")244(x x x e y x +-=（4）)ln(22a x y += 22'2a x x y +=，222222)a x ()x a (y "+-= （5）x x y +-=11ln111111212'-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=x x x y 22")1(2--=x xy（6）)ln(22a x x y -+=，22'1ax y -=，2322")(a x x y --=Ⅲ 提高题型（ⅰ）有关抽象函数的求导问题12．（7分）设函数)(x f 和)(x g 可导，且0)()(22≠+x g x f ，试求：[].)()(22x g x f dxd +解：[]22''22.)()(gf g g f f x g x f dxd +⋅+⋅=+13．（7分）设)(x f 二阶可导，设)(cos )(sin 22x f x f y +=，求).(),(x y x y ''' 解：)(cos 2sin )(sin 2sin )(2'2'x xf x xf x y -='=)](cos )(sin [2sin 2'2'x f x f x -[][])(cos )(sin 2sin )(cos )(sin 2cos 2)(2"2"22'2'x f x f x x f x f x x y ++-=''14．（7分）试从y dy dx '=1导出：.)(322y y dy x d '''-= 解：3'"'2'"'''22)(1.)()1()1()(y y y y y dxdy y y dy d dy dx dy d dy x d x -=-==== （ⅱ）有关n 阶导数的计算题型（自学）15. 求下列函数n 阶导数的一般表达式（每题7分） （1）ax y +=1 1)()(!)1(--+-=n n n a x n y （2）3212--=x x y =)(n y [])1()1()1()3(!)1(41+-+-+---n n n x x n)1131(41)(+--=x x x y ，[]22')1)(1()3)(1(41)(--+----=x x x y='')(x y []33)1)(2)(1()3)(2)(1(41--+------x x=)("'x y []44)1()3()3)(2)(1(41--+-----x x（3）)1ln(x y += n n n x n y --+--=)1()!1()1(1)(（4）)2cos 1(21sin 2x x y -== )22cos(21)(πn x y n n +-=- （5）xxe y = x n e n x y)()(+=（二） 隐函数、参数方程所确定函数的求导问题及相关变化率问题（A 见§2.4）；（B 见§2.3） Ⅰ 内容要求（ⅰ）掌握隐函数和参数方程所确定函数的一阶导数，并学会计算简单的二阶导数。

（ⅱ）学会对数求导法。

*（ⅲ）学会解决一些简单实际问题中的相关变化率问题。

Ⅱ 基本题型（ⅰ）涉及隐函数和参数方程所确定函数的一阶导数问题 16. 求由下列方程所确定的隐函数)(x y y =的导数dxdy： （1）（7分）0333=-+axy y x解：0)(333''22=+-+xy y a y y x ，axy x ay ax y x ay y --=--=2222'3333 （2）（7分）yxe y -=1解：''y xe e y yy--=，21'-=+-=y e xee y y yy 17．（7分）求曲线323232a yx =+在点)42,42(a a 处的切线方程及法线方程。