在数学这个领域中, 肯定一个命题需要严格的 逻辑推理证明, 否定一个命题只需举出一个例子予 以否定, 这种例子通常称为反例. 构造反例的过程 与正向逻辑推理的过程恰好是反向的, 所以可通过 举反例、启发学生构造反例来培养学生的逆向思维
收稿日期: 2008 - 05 - 25; 修改日期: 2008 - 07 - 06. 作者简介: 宁雪梅( 1979 - ) , 女, 内蒙古通辽人, 博士, 讲师, 主要从事
混合偏导数
2z yx
及
2z xy
在区域D
内连续,
那么在
该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.
该定理是说, 在连续的条件下二阶混合偏导数
与求导的次序无关. 更一般地, 在连续的条件下,
多元函数的高阶混合偏导数与求导的次序无关.
我们知道, 如果一元函数在某点具有导数, 则
它在该点必定连续, 但对于多元函数, 即使各偏导
第 14 卷第 1 期 2011 年 1 月
高等数学研究 ST U DIES IN CO LL EGE M A T H EM A T ICS
V ol. 14, No . 1 Jan. , 2011
二阶导数的几何意义
白克志
( 柳州职业技术学院 公共基 础部, 广西 柳州 545006)
摘 要 对一元函数二阶导数的几何 意义进行阐释, 认为一元函数的二阶导数是描述函数 对应曲线的曲率的
函数 y = f ( x ) 在点 x 0 处导数的几何意义是曲 线y = f ( x ) 在点( x 0 , f ( x 0 ) ) 处的切线的斜率[ 3] : 73 . 若曲线 y = f ( x ) 在点( x , f ( x ) ) 处的切线与 x 轴正
向的夹角为 , 则有
f ( x) = tan .
运筹学研究. Email: ningxu emei@ bjf u. edu. cn. 徐凤琴( 1965 - ) , 女, 北京人, 博士, 副教授, 主要从事数理 统计研究. Email: fqxu@ b jfu. edu. cn .
能力. 通过列举反例可使学生澄清对某些概念的模
糊认识, 深刻的理解知识, 增强思维的严谨性.
通过反例培养学生的逆向思维
宁雪梅1 , 徐凤琴1 , 张 旭2
( 1. 北京林业大学 理学院 数学系, 北京 100083; 2. 南京航空航天大学 理学院 数学系, 江苏 南京 210014)
摘 要 针 对二 元函 数混 合偏 导数 存在 且相 等, 但 未必 连 续的 命 题, 给 出反 例 说 明. 寻找 反 例 的 具体 过
( 1)
上式两边对 x 求导, 可得
f ( x) =
sec2
d dx
=
(1+
tan2
)
d dx
=
[1+
f
2(x)]
d dx
.
想要由此来说明二阶导数的几何意义是很牵强的.
为了给二阶导数的几何意义一个合理的说明, 还需作进一步的讨论.
设曲线上点 A 处的切线与x 轴正向的夹角为 ,
曲线上点 B 处的切线与x 轴正向的夹角为 + , 弧
[ 3] 盛祥耀. 高等 数学: 上册 [ M ] . 北京: 高等教 育出 版社 期 2011 年 1 月
高等数学研究 ST U DIES IN CO LL EGE M A T H EM A T ICS
V ol. 14, No . 1 Jan. , 2011
2
=
1+ f 2(x) .
dx ds
=
1
.
1+ f 2( x)
将上式代入( 2) 式, 可得
d ds
=
[
1
+
f f
( x) 2( x)]
3 2
.
曲率 ( x ) 通常取正数, 故有
或改写为
( x) =
|f [1+ f
(x) | 2(x)]
3 2
,
|
f
(x) | =
[ 1+
f
2(
x
)
]
3 2
( x).
数在某点都存在, 也不能保证函数在该点是连续.
这时, 自然会想到一个问题, 同时学生也会提出这
The Geometrical Meaning of Second Derivatives
BAI Ke zhi
( Depar tment o f Basics, L iuzhou Vo cat ional & T echnical College, L iuzhou 545006, P RC)
AB 的长度为 s, 则称 s 为弧 A B 的平均曲率. 若点 B 沿曲线无限趋近于点A , 即 s 无限趋近于零时, 称
d ds
为曲线在点
A
处的曲率[ 3] : 163- 166 , 记为
( x).
将( 1) 式改写为
= arctanf ( x ) .
上式两端对变量 s 求导, 可得
收稿日期: 2010 - 03 - 19; 修改日期: 2010 - 12 - 27. 作者简介: 白克志( 1956 - ) , 男, 广西永福 人, 副教授, 从事高 等数学
历史上最著名的反例是魏尔斯特拉斯的一个点
点连续却点点不可微的例子, 从而严格弄清了函数
连续性与可微性的关系[ 1] .
以下通过一个实际反例说明, 寻找反例的过程
就是对学生的逆向思维进行培养和训练的过程.
在多元函数偏导数的学习过程中, 常常会接触
到如下定理:
定理 1[ 2] 如果函数 z = f ( x , y ) 的两个二阶
参考文献
[ 1] 刘玉 琏, 傅 沛仁, 林 玎, 等. 数 学分 析讲 义: 上 册 [ M ] . 4 版. 北京: 高等教育出版社, 2003: 197 198.
[ 2] 盛骤, 吴迪光, 张光天. 高等数学[ M ] . 3 版. 杭州: 浙江 大 学出版社, 1999: 112 113; 198.
一个重要指标: 二阶导数的绝对值与曲线曲率成 正比; 在驻点处, 二阶导数的绝对值与曲率相等.
关键词 二阶导数; 几何意义; 曲率
中图分类号 O172. 1
文献标识码 A
文章编号 1008 1399( 2011) 01 0094 02
关于一元函数二阶导数的物理意义, 一般教科 书上都会有比较清晰的说明[ 1] , 而它的几何意义则 从未被提及. 通过确定一元函数二阶导数在某区间 内是大于零或小于零, 可以判定相应曲线在该区间 的凹凸方向[ 2] : 112- 113 . 这说明一元函数二阶导数与相 应曲线的弯曲程度存在某种关系. 下面尝试给出一 元函数二阶导数的几何意义的说明.
程启 示: 在 数学 教学 中, 可 以通 过有 意识 的列 举 反 例, 启 发 学 生构 造 反 例, 来培 养 学 生 的逆 向 思 维 能力 , 从
而提 高教 学质 量.
关键词 反例; 逆向思维; 二阶混合偏导数; 连续
中图分类号 O13
文献标识码 A
文章编号 1008 1399( 2011) 01 0095 02
与数学模型的教学与研究. Email: bkz 0130@ 126. com.
d ds
=
1+
1 f
2
(
x
)
f
(x)
dx ds
.
( 2)
由于[ 2] : 198
( ds) 2 = ( dx ) 2 + ( dy ) 2 ,
所以
ds =
( dx ) 2 + ( dy ) 2 ,
ds dx
=
故有
1+
dy dx
Keywords: second derivative, geomet rical meaning , curvat ur e
数学是思维的体操, 通过数学课教学可以提高 学生的思维能力, 进而提高学生的数学素养, 有利 于培养和开发学生的创造性活动.
逆向思维的培养是提高学生思维能力的一个重 要方面. 逆向思维是一种发散思维, 是从原问题的 相反方向、否定方向或已有思路的相反方向进行思 考的一种思维, 即 由果索因、知本求源 . 那么, 如 何在高等数学的教学过程中将知识的传授与逆向思 维能力的培养很好地结合在一起, 从而提高数学课 的教学质量, 这一直是众多老师关心的问题.
Abstract: Ex pounding on t he g eo metr ical sig nif icance of t he second derivat ive of a o ne variable f unction, t his paper regards t he second derivative as an im por tant t ool for describing the curvat ure of the co rresponding curve, since t he magnit ude o f t he second derivative is pro port ional to t he curvat ur e, and is equal t o the curv at ure, in part icular, at t he st at ionary point .
在驻点处, 即当 f ( x 0) = 0 时, 有
| f (x0 ) | = ( x0). 综上, 从几何角度讲, 函数 y = f ( x ) 的二阶导 数 f ( x ) 是描述曲线 y = f ( x ) 的曲率的一个重要 指标. 二阶导数的绝对值 | f ( x ) | 与曲率 ( x ) 的大 小成正比; 在驻点 x 0 处, 即当 f ( x 0) = 0 时, 二阶导 数的绝对值 | f ( x 0 ) | 与曲率 ( x 0 ) 相等.