（4.1）
其中， uimt = μim + vimt ，即单因素误差的联立模型。
( ) ( ) 设 μ m = μ1m " μNm ' ， vm = v1m1 " v1mT v2m1 " v2mT " vNm1 " vNmT ' ，且
( ) ( ) μ' = μ1' " μ M ' ， ν' = v1' " vM ' ，于是，
SUR 模型的检验 Breusch 和 Pagan（1980）基于 Lagrange 乘数（Lagrange multiplier）方法提出了检验零 假设
H0： Ω 是对角矩阵
的 LM 统计量。
不含截距选
SUR 模型的 Stata 估计
以 Grunfeld(1958)数据的前 5 家公司数据为例。 Stata 命令：
假设 3：对每个个体 i，误差向量 Ui 是均值为零、具有协方差矩阵为 σi2 IT 的独立同分布
( ) 随机向量，即， E (ui ) = 0 ， E
ui u'j
=
⎧σ ⎨
2 i
IT
⎩0
(i = j) (i ≠ j) .
假设 4：模型（5.3）的系数向量 βi 是均值 β 和协方差矩阵 Σ 的独立同分布随机向量，
0.36 0.719 -.0308242 .0446818
_c ons
25.00319 6.239317
4.01 0.000
12.77435 37.23202
面板数据计量分析 白仲林
2 面板数据随机系数模型
自 Swamy（1970、1973 和 1978 等）应用面板数据的随机系数模型研究美国各州汽油需 求函数等问题以来，面板数据的随机系数模型得到了一些应用。然而，由于该类模型的参数 估计计算比较复杂，制约了它的广泛应用，经验研究主要集中于随机效应模型的使用。但是 这并不意味着随机系数模型不重要，实际上，在研究经济增长收敛理论（Durlauf，2001） 等许多经济问题时，建立面板数据随机系数模型是解决问题的合理方法（Canova，1999）。 本节主要介绍两种面板数据随机系数模型，一种是 Swamy 随机系数模型，另一种是 Hsiao 随机系数模型。
' ，m = 1, 2, …, M
显然，模型（4.3）是标准的线性 SUR 模型（Zellner，1962）。从而，可以基于 SUR
模型的两种估计方法（FGLS 估计量和迭代估计法 ITERZEF）估计模型（4.1）。
类似地，也可以讨论双因素误差的模型（4.1），即， uimt = μim + λtm + vimt 的情形。
sureg (I1 = F1 C1) (I2 = F2 C2[, noconstant]) (I3 = F3 C3) (I4 = F4 C4) (I5 = F5 C5)[ , isure]
. sureg (I1 = F1 C1) (I2 = F2 C2) (I3 = F3 C3) (I4 = F4 C4) (I5 = F5 C5)
"
xKi2
⎥ ⎥
# " #⎥
⎡X1
⎢ ， X =⎢⎢
X2 %
⎤ ⎥ ⎥， ⎥
⎢⎥ ⎣YN ⎦ NT×1
⎢⎥ ⎣ X N ⎦ NT×K
⎢ ⎣x1iT
x2iT
"
⎥ x ⎦ KiT T×K
⎢ ⎣
⎥ XN⎦
⎡ ξ1 ⎤
⎡ξ1i ⎤
⎡ u1 ⎤
ξ
=
⎢ ⎢
ξ
2
⎢#
⎥ ⎥ ⎥
， ξi
=
⎢⎢ξ2i ⎢#
⎥ ⎥ ⎥
Seemingly unrelated regression
Eq uat ion
Obs Parms
RMSE "R-sq"
chi 2
P
I1
20
2 85.19983 0.9203
261.12 0.0000
I2
20
2 90.75319 0.4487
20.06 0.0000
I3
20
2 26.13536 0.6954
46.73 0.0000
I4
20
2 12.34291 0.9122
210.78 0.0000
I5
20
2 8.391486 0.6778
39.19 0.0000
迭代估计法选项
Coef. Std. Err.
z
P>| z|
[95% Conf. Interval]
I1
F1
.1288887 .0212979
6.05 0.000
um = ( IN ⊗ιT ) μm + vm
E
⎛ ⎜ ⎝
μm vm
⎞ ⎟ ⎠
(
μ
l
'
vl
')
=
⎛σ ⎜
I 2
μ ,ml N
⎝
⎞
σ
I 2
v,ml NT
⎟ ⎠
，
m，l = 1, 2, …, M
μ ~（0，∑ μ ⊗ IN）
ν ~（0，∑v ⊗ INT），
( ) ( ) 其中，∑ μ=
σ2 μ ,ml
和∑v=
( ) 即，
βi
=
β
+ξ i
， E (ξi )
=
0；E
ξi
ξ
' j
⎧Σ
=
⎨ ⎩
0
(i (i
= ≠
j) j)
；
假设 5：对任意的 i 和 j，误差向量 ui 与系数向量 β j 独立。 于是，模型（5.3）的合并随机项 Xξ +U 的协方差矩阵
( )( ) Ω
=
E
⎡ ⎢⎣
Xξ +U
Xξ +U
⎡⎡
Σ
+ σi2
X
' i
X
i
−1
⎤ ⎥⎦
−1
.
于是，在模型（5.3）的协方差矩阵 Ω 已知的情况下， β 的 GLS 估计
( ) ∑ ∑ ∑ βˆ =
X ' Ω−1 X
−1
X ' Ω Y −1
=
⎛ ⎜⎝
N i =1
X ω X ' −1 ii i
⎞−1 ⎟⎠
N i =1
X ω Y ' −1 ii i
=
N Wi βˆ i
面板数据计量分析 白仲林
第四讲 面板数据变系数回归模型
1 确定性变系数模型——SUR 模型
单因素面板数据 SUR 模型 前面所讨论的面板数据模型属于面板数据单方程模型，常常也需要建立多方程的面板数
据模型。这里只讨论一种最简单的情形，即假设在 M 个方程中，每个单方程模型的解释变 量各不相同。对于更一般的情况，请参考 Baltagi(2008，P121-141).
.0871455 .1706319
C1
.3758285 .0327336 11.48 0.000
.3116718 .4399852
_cons -194.2639 88.39845 -2.20 0.028 -367.5217 -21.00617
I2
F2
.1169084 .0566231
2.06 0.039
假设面板数据模型
K
∑ yit = βkit xkit + uit i = 1,2," , N ； t = 1,2," ,T k =1
（5.1）
的系数向量 β 的均值向量为 β 、协方差矩阵为 Σ ，且随机向量
β = β +ξ
it
it
( i = 1,2," , N ， t = 1,2," ,T )
（5.2）
（5.4）
ωi = E ⎡⎣(Xiξi + ui )(Xiξi + ui )' ⎤⎦ = E ⎡⎣(Xiξi )(Xiξi )' + uiui' ⎤⎦ ，
ωi
=
X
i
ΣX
' i
+
σ
2 i
ITLeabharlann i = 1,2,3," , N .
5.2 Swamy 随机系数模型的估计
由于模型（5.3）的合并随机项 Xξ +U 存在异方差和序列相关性，所以，模型（5.3）
C3
.1370399 .0224845
6.09 0.000
.0929712 .1811087
_cons -21.03639 26.55502 -0.79 0.428 -73.08328 31.01049
I4
F4
.0682848 .0170288
4.01 0.000
.0349089 .1016607
C4
σ2 v ,ml
是 M×M 矩阵。
所以，M 个方程的误差向量 u 的方差协方差矩阵是
Ω= E(uu′)= ∑μ ⊗ ( IN ⊗ JT)+ ∑v ⊗ ( IN ⊗ IT)
（4.2）
( ) 其中，JT 是元素为 1 的 T×T 矩阵， u' = u1' " uM ' 是 1×MNT 的误差列向量。
面板数据计量分析 白仲林
(占总资产)比率是影响工业电力需求的重要因素。但是，考虑到宏观或产业政策的相互影响， 使得这三个模型的误差项具有相关性，因此需要将它们联立估计。
这时，面板数据模型应该设定为
K