由传递函数转换成状态空间模型——方法多!!! SISO 线性定常系统高阶微分方程化为状态空间表达式SISO ()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211)(2211110nn n n mm m a s a s a s b s b s b s G +++++++=--- 假设1+=m n外部描述←—实现问题：有了部结构—→模拟系统部描述SISO ⎩⎨⎧+=+=du cx y bu Ax x实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。

一、直接分解法因为1011111()()()()()()()()1m m m mn n n nY s Z s Z s Y s U s Z s U s Z s b s b s b s b s a s a s a ----⨯=⨯=⨯++++++++⎩⎨⎧++++=++++=----)()()()()()(1111110s Z a s a s a s s U s Z b s b s b s b s Y n n n n m m m m 对上式取拉氏反变换，则⎩⎨⎧++++=++++=----z a z a z a z u zb z b z b z b y n n n n m m m m 1)1(1)(1)1(1)(0 按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,-===n n z x zx z x ，于是有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+----===-u x a x a x a xx xx x n n n n 12113221 写成矩阵形式式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵，把这种标准型中的A 系数阵称之为友阵。

只要系统状态方程的系数阵A 和输入阵b 具有上式的形式，c 阵的形式可以任意，则称之为能控标准型。

则输出方程121110x b x b x b x b y m m n n ++++=--写成矩阵形式⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--n n m m x x x x b b b b y 121011][ 分析c b A ,,阵的构成与传递函数系数的关系。

在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空间模型的A 、b 、c 矩阵的所有元素。

例：已知SISO 系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型。

42383)()(23++++=s s s ss U s Y 解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即u x x x u x x x a a a x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100324100010100100010321321123321 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321321012]083[][x x x x x x b b b y 若选择状态变量[]Tn x x x x 21=满足下列条件（如何考虑？）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧----+++=----+++=--++=-+==------------u b u b u b y a y a y x u b u b u b y a y a y x u b u b y a y a y x u b y a y x y x m m m n n n m m m n n n n n n)2(1)1(0)2(1)1(11)3(1)2(02)3(1)2(210212011 考虑式()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211设系统的输出n x y =，依次对第一式求导，并带入第二式；对第二式求导，并带入第三式；依次类推，便得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-=+-=-----u b x a x x u b x a x x u b x a x x ub x a x n n nn n n m n n m n n 011122111121 写成矩阵形式u b b b b x x x x a a a a x x x x m m n n n n n n n I⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----01112112111210⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-n n x x x x y 121]1000[式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵。

只要系统状态空间表达式的A 阵和c 阵具有上式的形式，b 阵的形式可以任意，则称之为能观标准型从形式上看，能控标准型和能观标准型的系数阵A 是互为转置，能控标准型输入阵b 和能观标准型输出阵c 互为转置，这种互为转置的关系被称为对偶关系。

将在第六章进一步讨论。

通过以上对传递函数阵的能控标准型或能观标准型转换的讨论，对单输入系统而言，应注意如下问题：（1）传递函数转化成能控标准型的状态空间表达式，状态方程的结构只由传递函数阵的极点（特征）多项式确定，而与其零点多项式无关，零点多项式只影响输出方程的结构。

（2）从能观标准型的转换可以看出，系数阵A 的元素仅决定于传递函数极点多项式系数，而其零点多项式则确定输入阵B 的元素。

（3）只有当传递函数零点和极点多项式同阶时，即n m =，状态空间表达式的输出方程中才出现Du 项，否则D 为零阵。

例：求前例的能观标准型的状态空间模型 解：直接得到能观标准型的状态空间模型，即u x x x x x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡083310201400321321[]Tx x x y 321]100[=二、串联分解法若SISO 系统的传递函数极点互异，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式1212()()()()()()()()()()m n K s z s z s z Y s G s n m U S s p s p s p +++==≥+++例：12123121232312123()()()()()()()()11K s z s z Y s G s U S s p s p s p s z s z K s p s p s p z p z p K s p s p s p ++==+++++=⋅⋅+++⎛⎫⎛⎫--=⋅+⋅+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭图示！！[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321213232112213321100000x x x k p z p z y u x x x p k p k p z p x x x三、 并联分解法（对角标准型/约旦标准型——特征值标准型）（一）若SISO 系统的传递函数极点互异，则可求得对角标准型的模型。

当系统的极点互异时，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式1212()()()()()()()()()()m n K s z s z s z Y s G s n m U S s p s p s p +++==≥+++写成部分分式∑=+=++++++==ni ii n n p s c p s c p s c p s c s U s Y s G 12211)()()(其中，i c ，n i ,,2,1 =为待定系数，其值为))((lim i s i p s s G c i+=-λ选择状态变量为（画图示意状态变量的取法）,)()(ii p s s U s X +=n i ,,2,1 = 即)()()(s U s X p s sX i i i =+对上式拉氏反变换，得u x p xi i i =+ 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=u x p xu x p xu x p x n n n 222111 写成矩阵形式u x x x p p p xx xn n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111212121式中，系数矩阵A 为对角阵。

对角线上的元素是传递函数G （s ）的极点，即系统的特征值。

b 阵是元素全为1的n ×1矩阵。

求对角标准型模型的输出方程中c 的结构)()(1s U p s c s Y ni ii∑=+= )()()(s X p s s U i i +=∑==ni i i s X c s Y 1)()(对上式拉氏反变换，得[]Tn n i i x x x c c c x c y 2121][∑==如果系统的状态方程的A 阵是对角阵，表示系统的各个变量之间是解耦的。

多变量的系统解耦是复杂系统实现精确控制的关键问题，关于如何实现解耦控制将在第五章讨论。

系统的状态结构图如图所示。

例： 设系统的闭环传递函数如下，试求系统对角标准型的转换611686)()()(23++++==s s s s s U s Y s G 解：将)(s G 用部分分式展开321)3)(2)(1(86)(321+++++=++++=s cs c s c s s s s s G从而可得)(s G 的极点3,2,1111-=-=-=λλλ为互异的，求待定系数i c1)3)(2(86lim))((lim 1111=+++=+=-→→s s s s s G c s s λλ4)3)(1(86lim))((lim 2222=+++=+=-→→s s s s s G c s s λλ5)2)(1(86lim))((lim 3333-=+++=+=-→→s s s s s G c s s λλ得对角标准型的转换为u x x x x x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111300020001321321[][]Tx x x y 321541-=（二）对SISO 系统式，当其有重特征值时，可以得到约当标准型的状态空间模型。

此时模型的系数矩阵A 中与重特征值对应的那些子块都是与这些特征值相对应的约当块，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=i ii i λλλJ 11 设系统具有一个重特征值1λ，其重数为j ，而其余为互异的特征值，记为n j λλ,,1 +，则传递函数可以用部分分式展开成)()()()()()()()(1111111112111n ni i j j j ii j j p s c p s c p s c p s c p s c p s c p s c s G ++++++++++++++++++=++-式中，待定系数j c c c 11211,, 对应的是重极点的待定系数，其值为]))(([lim )!1(11)1()1(11j i i s i p s s G dsd i c +-=--→λ其余互异根的待定系数),,2,1(n j j i c i ++=求法同前。