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常用逻辑用语同步练习(教师版)

常用逻辑用语同步训练一、基础知识:知识点一:命题1. 定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的语句叫做命题.(1)命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示,如p,q,r,m,n等.(2)命题有真假之分,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题(3)命题“”的真假判定方式:①若要判断命题“”是一个真命题,需要严格的逻辑推理;有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。

如:一定推出.②若要判断命题“”是一个假命题,只需要找到一个反例即可.2. 逻辑联结词:“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.(1)不含逻辑联结词的命题叫简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.(2)复合命题的构成形式:①p或q;②p且q;③非p(即命题p的否定).(3)复合命题的真假判断(利用真值表):非真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假①当p、q同时为假时,“p或q”为假,其它情况时为真,可简称为“一真必真”;②当p、q同时为真时,“p且q”为真,其它情况时为假,可简称为“一假必假”。

③“非p”与p的真假相反.注意:(1)逻辑连结词“或”的理解是难点,“或”有三层含义,以“p或q”为例:一是p成立且q不成立,二是p不成立但q成立,三是p成立且q也成立。

可以类比于集合中“或”. (2)“或”、“且”联结的命题的否定形式:“p或q”的否定是“p且q”;“p且q”的否定是“p或q”.(3)对命题的否定只是否定命题的结论;否命题,既否定题设,又否定结论。

典型例题例1.判断下列语句是不是命题,若是,判断出其真假,若不是,说明理由。

(1)矩形难道不是平行四边形吗?(不是)(2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?(不是) (3)若2a+4>0,则a>-2. (是) (4)5>x (不是)(5)平行四边形的两组对边分别平行。

(是) 例2、下列命题是真命题的为( A )A .若yx 11=,则y x = B .若21x =,则1x = C .若y x =,则y x =D .若y x <,则 22y x =例3、已知命题:p 所有有理数都是实数,命题:q 正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的 ( D )A .()p q ⌝∨B .p q ∧C .()()p q ⌝∧⌝D .()()p q ⌝∨⌝例4、若p 是真命题,q 是假命题,则( D )(A )p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题 (C)p ⌝是真命题 (D)q ⌝是真命题知识点二:四种命题1. 四种命题的形式:用p 和q 分别表示原命题的条件和结论,用p 和q 分别表示p 和q 的否定,则四种命题的形式为:原命题:若p 则q ; 逆命题:若q 则p ; 否命题:若p 则q ; 逆否命题:若q 则p. 2. 四种命题的关系:①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性,是命题转化的依据和途径之一.②逆命题否命题,它们之间互为逆否关系,具有相同的真假性,是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外,四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.典型例题例5.写出“若2=x 或3=x ,则0652=+-x x ”的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定,并判其真假。

解: 逆命题:若0652=+-x x ,则2=x 或3=x ,是真命题; 否命题:若2≠x 且3≠x ,则0652≠+-x x ,是真命题; 逆否命题:若0652≠+-x x ,则2≠x 且3≠x ,是真命题。

命题的否定:若2=x 或3=x ,则0652≠+-x x ,是假命题。

例6. 写出命题“已知是实数,若ab=0,则a=0或b=0”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其真假。

解析: 逆命题:已知是实数,若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题; 否命题:已知是实数,若ab ≠0,则a ≠0且b ≠0,真命题; 逆否命题:已知是实数,若a ≠0且b ≠0,则ab ≠0,真命题。

知识点三:充分条件与必要条件:1. 定义:对于“若p 则q ”形式的命题: ①若p q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件; ②若pq ,但qp ,则p 是q 的充分不必要条件,q 是p 的必要不充分条件;③若既有p q ,又有qp ,记作pq ,则p 是q 的充分必要条件(充要条件).2. 理解认知:(1)在判断充分条件与必要条件时,首先要分清哪是条件,哪是结论;然后用条件推结论,再用结论 推条件,最后进行判断.(2)充要条件即等价条件,也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”. “必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语. 3. 判断命题充要条件的三种方法(1)定义法:(2)等价法:由于原命题与它的逆否命题等价,否命题与逆命题等价,因此,如果原命题与逆命题真假不好判断时,还可以转化为逆否命题与否命题来判断.即利用与;与;与的等价关系,对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法. (3) 利用集合间的包含关系判断,比如A B 可判断为AB ;A=B 可判断为AB ,且BA ,即AB.如图:“”“,且”是的充分不必要条件.“”“”是的充分必要条件.典型例题例7、下列选项中,p 是q 的必要不充分条件的是 ( A ) (A )p: a c +>b+d , q: a >b 且c >d(B )p: a >1,b>1 q:()(01)xf x a b a a =->≠,且的图像不过第二象限 (C )p: x=1, q: 2x x = (D )p: a >1, q:()log (01)a f x x a a =>≠,且在(0,)+∞上为增函数例8使a b >成立的充分而不必要的条件是 ( A )(A )1a b +> (B )1a b -> (C )22a b > (D )33a b >例9.若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( A )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件例10、“|X|=|Y|”是“X=Y ”的 ( A )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件知识点四:全称量词与存在量词:1. 全称量词与存在量词:(I) 全称量词及表示:表示全体的量词称为全称量词。

表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等,通常用符号“”表示,读作“对任意”。

含有全称量词的命题,叫做全称命题。

全称命题“对M 中任意一个x ,有p(x)成立”可表示为”“)(,x p M x ∈∀,其中M 为给定的集合,p(x)是关于x 的命题. (II )存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词。

表示形式为“有一个”,“存在一个”, “至少有一个”,“有点”,“有些”等,通常用符号“”表示,读作“存在”。

含有 存在量词的命题,叫做特称命题 特称命题“存在M 中的一个x ,使p(x)成立”可表示为“”,其中M 为给定的集合,p(x)是关于x 的命题.2. 对含有一个量词的命题进行否定: (I )对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p :”“)(,x p M x ∈∀,他的否定)(x p M x p ⌝∈∃⌝,:: 全称命题的否定是特称命题。

(II )对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p :)(x p M x ,∈∃:,他的否定:”“)(,x p M x ⌝∈∀ 特称命题的否定是全称命题。

注意:(1)命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定(否定一次),而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定(否定二次)。

(2正面词等于大于小于是都是 一定是 至少一个 至多一个 否定词 不等于 不大于 不小于 不是 不都是一定不是一个也没有至少两个典型例题例11.已知命题p :x ∀∈R ,||0x ≥,那么命题p ⌝为 ( C )A .x ∃∈R ,||0x ≤B .x ∀∈R ,||0x ≤C .x ∃∈R ,||0x <D .x ∀∈R ,||0x < 例12.已知命题 :p x ∀∈R ,2x ≥,那么命题p ⌝为 ( B ) A .2x x ∀∈≤R , B .2x x ∃∈<R , C .2x x ∀∈≤-R , D .2x x ∃∈<-R , 例13.下列命题中的真命题是 ( D )A .R x ∈∃使得5.1cos sin =+x xB . x x x cos sin ),,0(>∈∀πC .R x ∈∃使得12-=+x x D . 1),,0(+>+∞∈∀x e x x例14.已知命题p :0x ∃∈R ,200220x x ++≤,那么下列结论正确的是 ( B )A .0:p x ⌝∃∈R ,200220x x ++> B .:p x ⌝∀∈R ,2220x x ++>C .0:p x ⌝∃∈R ,200220x x ++≥ D .:p x ⌝∀∈R ,2220x x ++≥知识点五:求参数的取值范围:例15.已知p :40x m +<,q :220x x -->,若p 是q 的一个充分不必要条件,求m 的取值范围.例16.命题p :关于x 的不等式2240x ax ++>对任意x R ∈恒成立; 命题q :函数(1)y a x b=-+在R 上递增。

若p q ∨为真,而p q ∧为假,求实数a 的取值范围。

二、题型分析题型一:命题、真命题、假命题的判断例1:下列语句是命题的是 ( A )A .梯形是四边形B .作直线ABC .x 是整数D .今天会下雪吗例2.下列说法正确的是 ( B )A .命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B .语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C .命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D .语句“当a >4时,方程x 2-4x +a =0有实根”是假命题变式练习:下列命题是真命题的是 ( D )A .{∅}是空集 B.{}x ∈N||x -1|<3是无限集C .π是有理数D .x 2-5x =0的根是自然数 题型二:复合命题的结构例3将下列命题改写成“若p ,则q ”的形式,并判断命题的真假:(1)6是12和18的公约数; (真)(2)当a >-1时,方程ax 2+2x -1=0有两个不等实根;(真)(3)已知x 、y 为非零自然数,当y -x =2时,y =4,x =2. (假)变式练习:指出下列命题的条件p 与结论q ,并判断命题的真假:(1)若整数a 是偶数,则a 能被2整除; (真) (2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形;(假) (3)相等的两个角的正切值相等.(假)题型三:命题真假判断中求参数范围例4、已知p :x 2+mx +1=0有两个不等的负根,q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0(m ∈R)无实根,求使p 为真命题且q 也为真命题的m 的取值范围.题型四:四种命题的等价关系及真假判断例5.命题“若△ABC 有一内角为π3,则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题 ( D )A .与原命题同为假命题B .与原命题的否命题同为假命题C .与原命题的逆否命题同为假命题D .与原命题同为真命题例6.命题“若f (x )是奇函数,则f (-x )是奇函数”的否命题是 ( B )A .若f (x )是偶函数,则f (-x )是偶函数B .若f (x )不是奇函数,则f (-x )不是奇函数C .若f (-x )是奇函数,则f (x )是奇函数D .若f (-x )不是奇函数,则f (x )不是奇函数例7.若“x >y ,则x 2>y 2”的逆否命题是 ( C )A .若x ≤y ,则x 2≤y 2B .若x >y ,则x 2<y 2C .若x 2≤y 2,则x ≤yD .若x <y ,则x 2<y 2例8..给出下列命题:①命题“若b 2-4ac <0,则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)无实根”的否命题; ②命题“△ABC 中,AB =BC =CA ,那么△ABC 为等边三角形”的逆命题; ③命题“若a >b >0,则3a >3b >0”的逆否命题;④“若m >1,则mx 2-2(m +1)x +(m -3)>0的解集为R”的逆命题. 其中真命题的序号为__ ______.变式练习.若命题p 的逆命题是q ,命题q 的否命题是r ,则p 是r 的 ( B ) A .逆命题 B .逆否命题 C .否命题 D .以上判断都不对题型五:问题的逆否证法例9.判断命题“若m >0,则方程x 2+2x -3m =0有实数根”的逆否命题的真假.题型六:判断条件关系及求参数范围例10.“x =2k π+π4(k ∈Z)”是“tan x =1”成立的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件例11、设A 是B 的充分不必要条件,C 是B 的必要不充分条件,D 是C 的充要条件,则D 是A 的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件 例12、已知命题:方程有两个不等的负根,命题:无实根,若或为真命题,且为假命题,求实数的取值范围.解析:由已知可知,,解得,,解得 …….4分或为真,且为假为真,为假,或为真,为假,即或,…….8分解得或,综上,实数的取值范围是或. …….12分变式练习1:已知条件:p :y =lg(x 2+2x -3)的定义域,条件q :5x -6>x 2,则q 是p 的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件变式练习2: 已知p :12≤x ≤1,q :a ≤x ≤a +1,若p 的必要不充分条件是q ,求实数a 的取值范围.题型七、充要条件的论证例13.求证:0≤a <45是不等式ax 2-ax +1-a >0对一切实数x 都成立的充要条件.题型八、命题真假值的判断例14.如果命题“p ∨q ”与命题“非p ”都是真命题,那么 ( )A .命题p 不一定是假命题B .命题q 一定为真命题C .命题q 不一定是真命题D .命题p 与命题q 的真假相同 变式练习:判断由下列命题构成的p ∨q ,p ∧q ,非p 形式的命题的真假:(1)p :负数的平方是正数,q :有理数是实数; (2)p :2≤3,q :3<2;(3)p :35是5的倍数,q :41是7的倍数.题型九、命题的否定与否命题例15.命题“若a <b ,则2a <2b”的否命题为________,命题的否定为________.变式练习1:“a ≥5且b ≥3”的否定是____________;“a ≥5或b ≤3”的否定是____________.变式练习2: 命题“对任何x ∈R ,|x -2|+|x -4|>3”的否定是________. 题型十、全称命题与特称命题相关小综合题例17.若命题p :∀x ∈R ,ax 2+4x +a ≥-2x 2+1是真命题,则实数a 的取值范围是 ( ) A .a ≤-3或a >2 B .a ≥2 C .a >-2 D .-2<a <2变式练习1: 已知命题p :∃x 0∈R ,tan x 0=3;命题q :∀x ∈R ,x 2-x +1>0,则命题“p 且q ”是________命题.(填“真”或“假”)变式练习2: 已知命题p :∃x ∈R ,使tan x =1,命题q :x 2-3x +2<0的解集是{x |1<x <2},下列结论:①命题“p ∧q ”是真命题;②命题“p ∧¬q ”是假命题;③命题“¬p ∨q ”是真命题;④命题“¬p ∨¬q ”是假命题,其中正确的是( ) A .②③ B .①②④ C .①③④ D .①②③④ 题型十一、综合训练典型题例18.设命题p :实数x 满足x 2-4ax +3a 2<0,其中a >0,命题q :实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x -6≤0,x 2+2x -8>0.(1)若a =1,且p ∧q 为真,求实数x 的取值范围;(2)非p 是非q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.变式练习1:已知命题p :函数y =x 2+2(a 2-a )x +a 4-2a 3在[-2,+∞)上单调递增.q :关于x 的不等式ax 2-ax +1>0解集为R .若p ∧q 假,p ∨q 真,求实数a 的取值范围.课后作业1.若非空集合,,A B C 满足A B C =U ,且B 不是A 的子集, 则( )A .“x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B .“xC ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件 C .“x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D .“x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件 答案 B2.“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案 B3. 设()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,()()()h x f x g x =+,则“()f x ,()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的( )A .充要条件B .充分而不必要的条件C .必要而不充分的条件D .既不充分也不必要的条件 答案 B4.p :1sin ,≤∈∀x R x ,则( )A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB.1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC.1sin ,:>∈∃⌝x R x p D .1sin ,:>∈∀⌝x R x p 答案 C5. 命题:“若12<x ,则11<<-x ”的逆否命题是( )A .若12≥x ,则11-≤≥x x ,或 B .若11<<-x ,则12<x C .若11-<>x x ,或,则12>x D .若11-≤≥x x ,或,则12≥x 答案 D6.命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是 ( ) A .不存在01,23≤+-∈x x R xB .存在01,23≥+-∈x x R x C .存在01,23>+-∈x x R xD .对任意的01,23>+-∈x x R x答案 C7.设集合}30|{≤<=x x M ,}20|{≤<=x x N ,那么“M a ∈”是“N a ∈”的 ( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 B8.设p :x 2-x -20>0,q :212--x x <0,则p 是q 的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 答案 A解析 p :x 2-x -20>0⇔x >5或x <-4,q :212--x x <0⇔x <-2或-1<x <1或x >2,借助图形知选A.9.“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m -2)x +(m +2)y -3=0相互垂直”的 ( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C .必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B10.对任意实数a ,b ,c ,给出下列命题:①“b a =”是“bc ac =”充要条件;②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件;④“a <5”是“a <3”的必要条件. 其中真命题的个数是 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案 B11 11.已知命题),0(012:,64:22>≥-+-≤-a a x x q x p 若非p 是q 的充分不必要条件,求a 的取值范围.12.已知命题p :方程x 2+mx +1=0有两个不等的负根;命题q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根.若“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,求m 的取值范围.13.求实数a 的取值范围,使得关于x 的方程().062122=++-+a x a x (1) 有两个都大于1的实数根;(2) 至少有一个正实数根.。

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