九年级数学竞赛模拟试题
一、选择题（每小题4分，共七道题）
1、一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（ ） A 、42条 B 、54条 C 、66条 D 、78条
2、如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ， 若∠CAE=15°则∠BOE=（ ）
A 、30° B、45° C、60° D、75°
3、设方程()()0=---x b x a x 的两根是c 、d ，则方程()()0=+--x d x c x 的根是（ ） A 、a ，b B 、a -，b - C 、c ，d D 、c -，d -
4、若不等式a x x ≤-+-3312有解，则实数a 最小值是（ ）
A 、1
B 、2
C 、4
D 、6
5、若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形,用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（ ）
A 、18
B 、24
C 、30
D 、36 6、不定方程522
2
=-y x 的正整数解()y x ,的组数是（ ）
A 、0组
B 、2组
C 、4组
D 、无穷多组
二、填空题（每小题7分，共四道题）
1、二次函数22
+-=ax x y 的图像关于1=x 对称，则y 的最小值是 .
2、已知△ABC 中，AB=39；BC=6；CA=3.点M 是BC 中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D ，则线段BD 的长度是 .
3、一次棋赛，有n 个女选手和9n 个男选手，每位参赛者与其110-n 个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分。
比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，则n 的所有可能值是 . 三、解答题
1、已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程()021322=+-+a x a x 的两个实数根，使得
()()80332121-=--x x x x 成立，求其实数a 的可能值。
（20分）
2、抛物线c bx ax y ++=2
的图像于x 轴交于点M ()0,x ，N ()0,2x ，且经过点A （0，1），
其中210x x ，过点A 的直线l 交x 轴于C 点，与抛物线交于点B （异于A 点），满足△CAN 是等腰直角三角形，且AMN BMN S S ∆∆=2
5
，求解析式.（25分）
3、如图.AD 、AH 分别是△ABC（其中AB ＞AC ）的角平分线、高线，M 点是AD 的中点，△MDH 的外接圆交
CM
于E ，求证∠AEB=90°。
（25分）
A
B
C
E
D
H
M
4、一列火车自A 城驶往B 城,沿途有n 个车站(包括起点站A 和终点站B),该列火车挂有一节邮政车厢,运行时需要在每个车站停靠,每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个,还要装上该站发往下面行程中每个车站的邮包一个。
例如,当列车停靠在第x 个车站时,邮政车厢上需要卸下已经通过的(x-1)个车站发给该站的邮包共(x-1)个,还要装上下面行程中要停靠的(n-x)个车站的邮包共(n-x)个。
(1)根据题意,完成下表:
(2)根据上表,写出列车在第x 车站启程时,邮政车厢上共有邮包的个数y(用x 、 n 表示)。
(3)当n=18时,列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多？
5. (本题满分10分)阅读并解答下列问题：我们熟悉两个乘法公式：①（a +b ）2=a 2+2a b+b 2
;
②(a -b)2=a 2-2a b+b 2
.现将这两个公式变形，可得到一个新的公式③：
a b=(
2b a +)2-(2
b a -)2
, 这个公式形似平方差公式，我们不妨称之为广义的平立差公式。
灵活、恰当地运用公式③将会使一些数学问题迎刃而解。
例如：因式分解：（a b-1）2
+(a +b-2)( a +b-2a b) 解：原式
=2)1(-ab +2
2)2()2(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+ab b a b a -2
2)2()2(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+--+ab b a b a =(a b-1)2
+(a +b-a b-1)2
-(a b-1)2
=(a -1)(b-1)2
=（a -1）2
(b-1)2
你能利用公式（或其他
方法）解决下列问题吗？
已知各实数a ，b ，c 满足a b=c 2
+9且a =6-b ，求证：a =b
试题参考答案
一、选择题(本题满分42分，每小题7分)
1、B
2、D
3、A
4、C
5、B
6、A 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1、1 2、0 3、
2
3
4、1 三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分） 1、（本题满分20分）
已知21,x x 是关于x 的一元二次方程012)13(22=-+-+a x a x 的两个实数根，使得
80)3)(3(2121-=--x x x x 成立。
求实数a 的所有可能值。
`解：由条件知056)12(4)13(222≥+-=---=∆a a a a ，
解得5≥a 或1≤a ． （5分） 又由根与系数的关系知)13(21--=+a x x ，12221-=a x x ，
于是21221212
221212116)(310)(3)3)(3(x x x x x x x x x x x x -+=-+=--
19185)12(16)13(3222+--=---=a a a a ， （10分）
由80191852
-=+--a a ，解得3=a （舍去）或5
33
-
=a ． （15分） 于是533-
=a ．综上所述，所求的实数5
33-=a ． （ 20分 ） 2、（本题满分25分）
抛物线c bx ax y ++=2
的图象与x 轴有两个交点)0,(),0,(21x N x M ，且经过点
)1,0(A ，其中210x x <<．过点A 的直线l 与x 轴交于点.C ，与抛物线交于点B （异于点
A ），满足CAN ∆是等腰直角三角形，且AMN BMN S S ∆∆=
2
5
．求该抛物线的解析式． 解：由条件知该抛物线开口向上，与x 的两个交点在y 轴的右侧．
由于CAN ∆是等腰直角三角形，故点C 在x 轴的左侧，且
90=∠CAN ．
故
45=∠ACN ，从而)0,1(-C ，)0,1(N ． （5分）
于是直线l 的方程为：1+=x y ． 设),(33y x B ，由AMN BMN S S ∆∆=25知2
5
3=y ， （10分） 从而2
33=
x ，即)25
,23(B ． （15分）
综上可知，该抛物线通过点)1,0(A ，)2
5,23(B ，)0,1(N ．
于是⎪⎩⎪⎨⎧++=++==c
b a
c b a c 023
4
9251， （20分）
解得⎪⎩
⎪
⎨⎧=-==154c b a ．
所以所求抛物线的解析式为1542+-=x x y ． （25分）
3、（本题满分25分）
如图，AD 、AH 分别是ABC ∆（其中AC AB >）的角平分线、高线，M 是AD 的中点．MDH ∆的外接圆交CM 于E ．求证： 90=∠AEB ．
证明：如图，连结EH MH ,,
∵M 是AHD Rt ∆斜边AD 的中点
∴MD MH MA == （5分） ∴MDH MHD ∠=∠ ∵E H D M ,,,四点共圆
∴MDH CEH ∠=∠
∴HEC MDH MHD ∠=∠=∠
∴MEH HEC MHD MHC ∠=∠-=∠-=∠
180180 （10分）
∵HME CMH ∠=∠,∴CMH ∆∽HME ∆ ∴
MH
ME MC MH =,即MC ME MH ⋅=2
（15分） ∴MC ME MA ⋅=2
,又∵AME CMA ∠=∠
∴CMA ∆∽AME ∆,
∴MAE MCA ∠=∠ （20分） ∴MAE BAD DHE BAE BHE ∠+∠+∠=∠+∠
MCA MAC DHE ∠+∠+∠= 180=∠+∠=DME DHE
∴E H B A ,,,四点共圆，∴
90=∠=∠AHB AEB . （25分） 4(1)
(2)y=x(n-x);
(3)当n=18时,y=x(18-x)=-x2+18x=-(x-9)2+81,当x=9时,y 取得最大值.所以列车在第9个车站启程时,邮政车厢上邮包的个数最多.
5解：已知a+b=6,(
2b
a+
)2-(
2b
a-
)2=c2+9,9-(
2b
a-
)2=c2+9,
(
2b
a-
)2=c2=0,a-b=0,∴a=b.。