例题1：马歇尔需求
函数1/1212(,)()u x x x x ρρρ=+被称为CES 效用函数，其中01ρ≠<。

容易证明，该效用函数
代表着严格单调且严格凸的偏好。

消费者问题是找到一个非负的消费组合作为如下问题的解.
例题2：间接效用函数。

在例题1.1中，直接效用函数是CES 形式的，1/1212(,)()u x x x x ρρρ=+，其中，01ρ≠<，
马歇尔需求为：
可以验证，该函数具有间接效用函数的全部性质。

例题3：求支出函数
直接效用函数是CES 形式的，1/1212(,)()p u x x x x ρρ=+。

支出最小化问题为：
例题4：马歇尔需求和希克斯需求之间的对偶性。

根据例题3
（E.3）中最后一个表达式的右侧给出了马歇尔需求，这也是我们在例题1.1的效用最大化问题中求出来的结果。

定理1.9的第一个式子得证。

接下来证明第二个等式。

假设我们已经从例题1中得到了马歇尔需求：
最后一个式子的右侧给出了希克斯需求，这也是我们在例题1.3中通过求解消费者的支出最小化问题而直接得到的一个结果。

需求函数的性质。