清华附中高三下数学理
统练答案
Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
清华附中2006-2007高三下数学(理)统练2答案
1-5 C D D D A 6-8 A D D
9、四 10、2 11、 2 12 、 4
3
13、3 14
8
33 15、解：(1) 令⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+⋅-=+=1001143cos 21
),(2
2y x y x y x y x y x 或则π， )1,0()0,1(-=-=∴或 2分 (2) )1,0(0),0,1(-=∴=⋅= 3分
))3
2cos(,(cos )1)23(
cos 2,(cos 2x x x x b n -=--=+π
π
4分 2)
234cos(122cos 1)32(cos cos ||222x x x x -+++=-+=+π
π 6分 )]23
cos(2[cos 211)]234cos(2[cos 211x x x x --+=-++=π
π
)3
2cos(211]2sin 232cos 212[cos 211π
++=-
-+=x x x x 8分 35323320π
πππ<
+<⇒<<x x ， 45
||2121)32cos(12<+≤⇒<+≤-∴x π 9分
故2
5
||22<+≤ 10分
16、 (1)63(注：第1、2次或第2、3次或三次均击中)；(2)162；(3)
ξ 3
4 … k
… P
27125 162
625
…
233123()()55
k k C --
…
17、方法一：(1) 证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO ．
∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点，
在PAC ∆中，EO 是中位线，∴PA
⊂EO ⊄PA ⊂DC DC PD ⊥PDC ∆PC DE ⊥⊂DE DE BC ⊥⊥DE ⊂
PB PB DE ⊥PB EF ⊥E EF DE = DF PB ⊥EFD ∠DB
PD EF DE ⊥⊥,a BD a DC PD 2,===a BD PD PB 322=+=a
DC PD PC 222=+=a PC DE 22
21==
PDB Rt ∆a a
a a PB BD PD DF 3632=⋅=⋅=
EFD Rt ∆233
6
22
sin =
==a a DF DE EFD 3π=∠EFD 3πa DC =)2,2,
0(),,0,0(),0,0,(a a E a P a A )0,2,2(a a (,0,),(,0,)22a a
PA a a EG =-=-2=⊂EG ⊄PA )
0,,(a a B ),,(a a a -=(0,,)22
a a
DE =022022=-+=⋅a a DE PB ⊥PB EF ⊥E DE EF = ⊥PB ),,(000z y x PB PF λ=)
,,(),,(000a a a a z y x -=-λa
z a y a x )1(,,000λλλ-===00011
(,
,)(,(),())2222a a FE x y z a a a λλλ=---=---PB EF ⊥0=⋅PB FE 0)21()21(222=---+-a a a λλλ31=λ)32,3,3(a a a (,,)
366
a a a
FE =--2(,,)333a a a
FD =---03233222=+--=⋅a a a FD PB ⊥EFD
∠691892222a a a a =+-=⋅a a a a 6636369||222=++=a
a a a 3
6
9499||222=++=2
13
6666|
|||cos 2
=
⋅=
=a a a FD FE EFD 3π=∠EFD 3π
3381122)2(12234341=⇒=-+=⇒≥-+=-a a a a a n n n
3分
(2) 假设存在的实数λ符合题意，则
n
n n n n n n a a a a 2
222111λ
λλ--=+-+--- n
n n 211212λ
λ+-=--=必是与n 无关的常数，则
.102
1-=⇒=+λλ
n
7分 故存在实数λ= 1，使得数列}21{n λ
+为等差数列.
(3) 由(2) 知数列}21
{
n
n a -是公差d = 1的等差数列 12)1(11)1(212
11+⋅+=⇒+=⨯-+-=-∴
n
n n
n n a n n a a 9分 S n = n +2×2 + 3×22 + 4×23 +…+(n +1)·2n +1
2S n = 2n +2×22 + 3×22 +…+n ·2n + (n +1)·2n +1
⇒相减整理得： S n = n (2n +1 +1) 12分
附加．解：(1) 设)0,(),0,(),,(2100c F c F y x P -，
其中),(),()0,(,0000122y c x y x c PF b a c ---=--=-=则，
).,(),()0,(00002y x c y x c PF --=-=
从而.),(),(22
02020220000021c y x y c x y x c y c x PF PF -+=+-=--⋅---=⋅ 2分 由于222122220202,c a PF PF c b a y x b -≤⋅≤-≤+≤所以，
即.222122b PF PF a b ≤⋅≤- 3分
又已知3
4
3421≤⋅≤-PF PF ， 4分
所以⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-=-.
34,4,34,3
422222
2b a b a b
从而椭圆的方程是.14
342
2=+y x (2) 因为PCQ CQ CP F F CQ CP ∠+
=⋅+
|
||
|,0|
||
|(
21的平分线平行，
所以∠PCQ 的平分线垂直于x 轴.
由).1,1(,1,1,
,14342
2C y x x y y x ∴⎩⎨
⎧==⎪⎩
⎪⎨⎧==+
解得 不妨设PC 的斜率为k ，则QC 的斜率为k ，因此PC 和QC 的方程分别为
)1(,1)1(--=+-=x k y x k y ，
其中⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=≠.1434
,1)1(,022y x x k y k 由
消去y 并整理得(*).0163)1(6)31(222=--+--+k k x k k x k 9分 ∵C (1，1) 在椭圆上，∴x = 1是方程(*) 的一个根.
从而2
22231163,31163k k k x k k k x Q P +-+=+--=同理， 10分
从而直线PQ 的斜率为
=
--=
x x y y k Q
P Q P PQ
11分
又知A (2，0) ，B (－1，－1) ，
所以,31
2101AB PQ AB k k k =∴=----=
12分
向量∴共线。