2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】 专题4.10第4章 图形的相似单元测试（培优卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•海曙区期末）若a 5=b 8，则b−a a 等于（ ）
A ．35
B ．53
C ．85
D ．5
8 2．（2019秋•禅城区期末）已知两个相似三角形的相似比为4：9，则这两个三角形的对应高的比为（ ）
A ．2：3
B ．4：9
C ．16：81
D ．9：4
3．（2020•拱墅区校级一模）如图，已知一组平行线a ∥b ∥c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和
D 、
E 、
F ，且AB ＝3，BC ＝4，EF ＝4.8，则DE ＝（ ）
A ．7.2
B ．6.4
C ．3.6
D ．2.4 4．（2020•营口）如图，在△ABC 中，D
E ∥AB ，且CD
BD =32，则CE CA 的值为（ ）
A ．35
B ．23
C ．45
D ．3
2 5．（2018秋•象山县期末）如图，矩形ABCD ∽矩形DEFC ，且面积比为4：1，则AE ：ED 的值为（ ）
A．4：1B．3：1C．2：1D．3：2
6．（2019秋•花都区期末）如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA1＝1：3，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是（）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：9
7．在坐标系中，已知A（6，0），B（0，8），C（0，﹣2），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D、C、O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作（）条．
A．3B．4C．5D．6
8．已知△ABC中，∠BAC＝90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（）
A．B．
C．D．
9．（2020春•工业园区期末）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为（）
A ．3m
B ．3.2m
C ．3.4m
D ．3.6m
10．（2018秋•福田区校级期中）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，AE 、AF 分别
交BD 于点M 、N ，连接CN 、EN ，且CN ＝EN ．下列结论：①AN ＝EN ，AN ⊥EN ；②BE +DF ＝EF ；③
MN EF =
√22；④图中只有4对相似三角形，其中正确结论的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•闵行区一模）如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm ，那么较
小的三角形的周长为 cm ．
12．（2019秋•长春期末）如图，△ADE ～△ABC ，AD ＝3，AE ＝4，BE ＝5，CA 的长为 ．
13．（2020•淮安区一模）如图，已知一组平行线a ∥b ∥c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、
E 、
F ，且AB ＝3，BC ＝4，EF ＝4.8，则DE 的长为 ．
14．（2019秋•昭平县期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P 为BC边上一动点，若△P AB与△PCD是相似三角形，则BP的长为．
15．（2019秋•镇海区校级期中）如图，两根竖直的电线杆AB长为12，CD长为4，AD交BC于点E，则点E到地面的距离EF的长是．
16．（2019•丹阳市模拟）如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝．
17．（2019秋•南岸区期末）如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，其中点A的坐标为（1，2），正方形EFGH的边FG在x轴上，且H的坐标为（9，4），则正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是．
18．（2018•桓台县一模）如图，△ABC ∽△ADE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，F 为DE 中点，
若点D 在直线BC 上运动，连接CF ，则在点D 运动过程中，线段CF 的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2017秋•锡山区校级月考）（1）已知b a =34，求a−2b a+2b 的值．
（2）已知x 2=y 3=z 4，求x−2y+3z x+y+z 的值．
20．（2018•洪雅县模拟）如图是9×16的边长为1的方格，在方格中有△ABC ．
（1）以O 为位似中心作△ABC 的位似图形△A 1B 1C 1，使作出的边长A 1B 1＝2AB ，并保留作图痕迹；
（2）将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转45°，在旋转的过程中，△ABC 形状保持不变，面积逐渐增大，旋转到45°时止，此时得到△AC ′B ′的面积是原来△ABC 的面积的8倍，请你计算AC ′、C ′B ′的长，并作出旋转后的图形．
21．（2019秋•大观区校级期中）如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上一点，AE ：AD ＝1：4，BE 的延长
线交AC 于F ，求AF ：CF 的值．
22．（2019•惠城区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＞AB，在BC边上取点D，使AB＝BD，构造正方形ABDE，DE交AC于点F，作EG⊥AC交AC于点G，交BC于点H．
（1）求证：EF＝DH；
（2）若AB＝6，DH＝2DF，求AC的长．
23．（2019•城步县模拟）如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
24．（2020•宝安区二模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CE⊥AB于点E，BE＝2OE，延长AB至点D，使得BD＝AB，P是弧AB（异于A，B）上一个动点，连接AC、PE．
（1）若AO＝3，求AC的长度；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）点P在运动的过程中是否存在常数k，使得PE＝k•PD，如果存在，求k的值，如果不存在，请说明理由．
25．（2020•武侯区模拟）如图，已知AC 为正方形ABCD 的对角线，点P 是平面内不与点A ，B 重合的任意
一点，连接AP ，将线段AP 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PE ，连接AE ，BP ，CE ．
（1）求证：△APE ∽△ABC ；
（2）当线段BP 与CE 相交时，设交点为M ，求BP
CE 的值以及∠BMC 的度数；
（3）若正方形ABCD 的边长为3，AP ＝1，当点P ，C ，E 在同一直线上时，求线段BP 的长．
26．（2020•宁波）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC 中，D 为AB 上一点，∠ACD ＝∠B ．求证：AC 2＝AD •AB ．
【尝试应用】
（2）如图2，在▱ABCD 中，E 为BC 上一点，F 为CD 延长线上一点，∠BFE ＝∠A ．若BF ＝4，BE ＝3，求AD 的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是△ABC 内一点，EF ∥AC ，AC ＝2EF ，∠EDF =1
2∠BAD ，AE ＝2，DF ＝5，求菱形ABCD 的边长．。