小波变换与小波框架
小波分析的理论与方法是从Fourier分析的思想方法演变而来的，就象Fourier分析分为积分Fourier变换和Fourier级数一样，小波分析也分为(积分)小波变换和小波级数两部分，(积分)小波变换的主体是连续小波变换，正尺度小波变换和s-进小波变换；而小波级数的主体部分是关于小波框架的理论．小波分析理论深刻，应用广泛，并且仍在迅速发展之中．本文是作者作为初学者，就小波分析这一理论中比较基本和初步的东西所作的一点归纳和整理，其实，有许多结论已经或明或暗的出现于许多文献中了，只是作者觉得它们叙述得不够适合初学者，尤其是不适合没有工程应用背景的人，这是因为小波分析象Fourier 分析一样，起初都是由应用数学家，物理学家和工程师们发展起来的．本文所得结论比较初步，所用方法基本上属于泛函分析中的一些基本内容，只是稍微需要一点关于拓扑群的知识和Fourier分析的基础知识．本文仅考虑Hilbert
空间L~2(R)及其闭子空间中的小波变换和小波框架等问题．本文主要考虑的问题是：L~2(R)上的连续小波变换，正尺度小波变换和s-进小波变换，以及L~2(R)中的小波框架，因为平移框架在小波框架中具有重要作用，所以也考虑了L~2(R)的闭子空间中的平移框架．事实上，通常的小波分析所研究的问题，在一维情形，概括地说，是研究实直线R上的仿射群R~*×R及其子群和子集在L~2(R)上的酉表示U所诱导的L~2(R)(有时是其闭子空间)中的函数的积分变换的性质及应用．下面作稍具体的一点解释：首先，变换上的仿射变换，所有这样的变换全体做成—个群，记为和凡xB—1（。

m，幻＞儿mE 二，bE用是XxR的子群，（丹xRh 一 U习－，巴－nf小＞1；左＞0，mE 凤n二厂I是R宇XR的一忏集丞它不是群．分别作定义在集合 R’ x B，
H x R；Ri x R和（H x R一上的 ilbert空间 L‘（R’ x R，＊－‘dd’1）上’（H x R，a－’i）aa）．WIZ（L’）一Hgjh。

zDgj C L‘（B）；Vj C 凤且z、八幻P＜＋co｝和尸（厂xz）．它们在一维小波分析中有重要作用· JcZ R’：R在 L‘旧J上有如下的酉表示 U： U：R’ X B －－ B（LZ（R）（a三a）－－ v（o？＆〕：z＊（s）－－ z＊（s）．f －－ v（a，＆）j＝ T6＊＊j．这里（Tbj）（x）＝ j（－b）。

（D。

j）（。

）＝ Ial‘／‘j（x／al，子群 R“x B和 R x B以及子集口”X Rk。

在 U作用下得到各自的表示，由这些表示得到下面四个线性算子： Wb：LZ（R）一 LZ（R’ X B；问一
Zdnda ），－．，，…．、I 一、1、11——O＼。

r卜一十卜卜＾广：W卜A广Qa．0］＝多矿oa］Dal 2八D——］e． Wb：L＼－－ L＼－X R；Q－
‘deo），。

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、1．．、1、矿2 一D＼ Ipeap W。

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IIQ，DI＝Illl］Q Zhl——ide．Q＞U．叱：L‘（R）一 WI ‘（L‘） f－叱j：（叭j（J，仙。

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Z 本文中，把使得Wb为连续且有连续逆的hEL＼旧）称为允许小波，若h 为允许基小波，则称 Wb为连续小波变换．同样，把使得 WK 和 WI连续且有连续逆的h分别称为正尺度小波和卜进小波，而相应的叮和W分别称为正贩小波变换和卜进小波变扳．本文中把Wb，们和WI 统称为小波变换恤是相应的矗小波），而把使得叱（正文中没有明确出现）觑且有连续逆的hCL’旧）称为框架小彼，其中。

、称为框架参数，记为小波峨（h，a，t）．本文第一章跌于小赃换的，第二章是框架的豺性质，第三章是小波框架和平移框架．具体结果和其它相关内容这里从略．。