桥梁的稳定性分析目录一、摘要二、关键字三、问题重述四、问题分析五、相关假设六、相关符号的含义七、模型的建立与求解(Ⅰ)从长度方向上考虑(Ⅱ)从宽度方向考虑(Ⅲ)小结八、具体数据的计算九、模型优缺点分析十、附录十一、参考文献一、摘要本文分析的是无桥墩的水平桥模型，本文大胆将无桥墩的水平桥模型简化为简支梁形式，通过计算水平桥的最大弯矩、最大应力、最大挠度，对桥进行两类分析：一类是通过最大应力小于许用应力的1.05倍来限制车辆的最大重量；另一种是通过常规的车辆的最大重量来设计桥的许用应力。

本文主要是理论分析，但同时也有实例计算，本文同时还对模型进行了优缺点的分析。

二、关键字弯矩挠度许用应力刚度三、问题重述在建筑和机械设备中，经常看到用横梁来支撑物体或搬运物体。

请就水平桥或机械臂，建立受力的数学模型，分析其稳定性。

四、问题分析水平桥要稳定，首先应满足刚度条件，即水平桥的变形量应满足国家规定值，否则桥达不到稳定的条件，在满足刚度条件的情况下，还应满足强度条件，即最大应力不能大于许用应力的1.05倍，如果最大应力大于许用应力的1.05倍，水平桥可能发生破坏，根据这条规则，可以来限制车重，也可以用可能的最大车重来设计桥的许用应力；本文中主要运用材料力学、结构力学的相关知识来分析无桥墩的水平桥的情况。

五、相关假设1.假设桥中材料是各向同性的。

2.假设桥上的伸缩缝对桥的受力是不影响的。

3.假设车辆在桥上行驶时等价于一个移动的集中荷载作用在水平桥上。

4.假设桥上车辆的重量是相等的，且长度也是相同的。

5.假设每条车道上在横向上只能通过一辆车。

六、相关符号的含义L桥的总长b桥的宽度h桥的高度[σ] 桥的许用应力σ桥的最大应力m axM桥中某截面的弯矩(x)ρ 桥的密度)(x ω 桥度某处的挠度s 车辆之间行驶的最小距离 G 车辆的重量l 车辆的长度 a 水平桥上的车道数n 每条车道上车辆数的最大值m ax M 水平桥上的最大弯矩W 弯曲截面系数 I 惯性矩七、 模型的建立与求解水平桥每条车道上车辆数的最大值 n =[ls L +](Ⅰ)从长度方向上考虑(1) 求在单位荷载p F =1作用下中点C 的弯矩的影响线 设任一时刻，单位移动荷载p F 距A 点 为x当0≤x ≤2L时，C 截面处的弯矩： 22)(xL L x x M =⨯=当L x L≤≤2时，C 截面处的弯矩： 22)(xL L L x L x M -=⨯-=所以，C 截面处弯矩的影响线如图所示h(2) 找最不利位置 (i) 单考虑移动荷载作用下有结构力学知识知：如果移动荷载是一组集中荷载，则最不利位置时，必须有一个集中荷载作用在影响线的顶点。

所以，当达到最不利位置时，车辆成以C 处为对称轴的对称分布，且C 处有车辆，此时，水平桥上的最大弯矩： 当n 为奇数时，∑-=+-+=2111max )(2141n i L l s i L GL GL M 当n 为偶数时，∑-=+-+=221'1max )(2141n i L l s i L GL GL M (ii)单考自重作用下C 点处的弯矩为： 281ghL M C ρ= 综合（i ）（ii ）得： C 点处的弯矩为： 当n 为奇数时，C M M M +=1max max当n 为偶数时，C M M M +='1max 'max（3）求中点C 处的挠度（i ）单考虑移动荷载作用下gh q ρ=2ghB ρ=M 的影响线 4LO 点为A5、A4之间的某点，设OA 5为x当n=1或2时，截面O 处的弯矩为：)2(21)(x LG x M O --=21321212''')614(21])2121(21[)212(21)2(21)(C x C x x L G dx C x x G EI C x Lx G dx x L G EI x M EI O ++-=+-=⇒+-=-=⇒-=⎰⎰ωωω （C 1C 2为可确定的常数）当3≥n 时， 当n 为奇数时， O 截面处的弯矩∑-=++-=230)]([)(n i O s l i x G x MEIC x C x s l i x G C x C x s l i x G dx dx x M EI C x s l i x G dx x M EI x M EI n i n i O n i O O '2'123123'2'12312312302'''])(2161[])(2161[))((])(21[)()(++++=⇒++++=-=⇒+++==⇒-=∑⎰∑⎰⎰∑-=-=-=ωωωω当n 为偶数时O 截面处的弯矩为：∑-=++-=23)]([)(n i O s l i x G x MEIC x C x s l i x G C x C x s l i x G dx dx x M EI C x s l i x G dx x M EI x M EI n i n i O n i O O '2'124123''2'12412312402'''])(2161[])(2161[))((])(21[)()(++++=⇒++++=-=⇒+++==⇒-=∑⎰∑⎰⎰∑-=-=-=ωωωω （ii ）考虑单自重作用下EIghL EI ql C 3845384534ρω==所以：当n 为奇数时，C Cωωω+=)1( 当n 为偶数时,C C ωωω+=')2((4)分析桥的稳定性(i)根据最大弯矩设计桥 当n 为奇数时， 最大应力][max σσ≤=W M 261bh W = 所以，许用应力WM≥][σ 刚度][L L k C ωω≤=当n 为偶数时， 最大应力]['maxσσ≤=WM gh Lq ρ= 2ghB ρ=所以，许用应力WM '][≥σ刚度 ]['LL k Cωω≤=LL ωω≥∴][ (iii)根据许用应力][σ和][Lω来限制车重当n 为奇数时，∑-=+-+≤⇒≤=211max )(2141][][n i L l s i L L L W G WM σσσ 当n 为偶数时，∑-=+-+≤⇒≤=221''max)(2141][][n i Ll s i L L L W G WM σσσ(Ⅱ)从宽度方向考虑 显然，车道数a 为偶数 与从长度方向考虑一样(1)中点D 的弯矩的影响线如图 (2)求最大弯矩在宽度方向的最大弯矩∑-=-=11max 2a i La ib L G M (3) 由于长度L>b ，所以，宽度方向中点处的挠度小于长度方向中点处的挠度，所以，不必考虑宽度方向的挠度。

(4) 根据最大弯矩设计许用应力][σ 最大应力：][''maxσσ≤=W M 2'61Lh W = ∴ WM '][≥σ(5) 根据许用应力限制车重Bb][''maxσσ≤=WM ⇒ ∑-=-≤11'2][a i L a ib L W G σ Ⅲ.小结a) 根据最大弯矩设计许用应力在根据最大弯矩设计许用应力时，应先在满足刚度条件下进行的 即：当n 为奇数时 ，∑-=++--≤23123'2'1)](81481[2][n i s l L L C C L EI L G ω当n 为偶数时， ∑-=++--≤24123'2'1)](81481[2][n i s l L L C C L EI L G ω∴ )max (][''W M W M +≥σ八、具体数值计算(Ⅰ) 从长度方向考虑(1) 求最大弯矩c M M M +=1max max22181)(22141ghL L l s i L GL GL i ρ++-+=∑=算得最大弯矩是=max M m N ⋅⨯61054.1(2) 求中点C 处的挠度 A 、B 支座处的支座反力G R R B A 25== 求距A 点x 处的挠度)(x ω 当m x 10≤≤时，Gx x R x M A 25)(=⋅=∴ )(''1x M EI -=ω⇒ )1(12'145)(C Gx x EI +-=ω⇒ )1(2)1(13'1125)(C C Gx x EI ++-=ω 当31≤≤x m 时，G Gx x G x R x M A +=--=23)1()(∴ )(''2x M EI -=ω ⇒)2(12'243)(C Gx Gx x EI +--=ω⇒ )2(2)2(12322141)(C x C Gx Gx x EI ++--=ω 当m x 53≤≤时，G Gx x G x G x R x M A 421)1()3()(+=----=∴ )(''3x M EI -=ω ⇒)3(12'3441)(C Gx Gx x EI +--=ω⇒ )3(22332121)(C Gx Gx x EI +--=ω 当 m x 75≤≤时，Gx G x G x G x G R x M A 219)5()3()1()(-=------=G Gx x EI 921)(''4-=ω⇒ )4(12'4941)(C Gx Gx x EI +-=ω ⇒ )4(2)4(123429121)(C x C Gx Gx x EI ++-=ω当m x 97≤≤时，)7()5()3()1()(--------=x G x G x G x G x R x M AG Gx EI 1623''5-=ω ⇒ )6(12'51643C Gx Gx EI +-=ω ⇒ )5(2)5(1235841C x C Gx Gx EI ++-=ω 当m x 109≤≤时，Gx G x R x M B 2525)10()(-=-= G Gx EI 2525''6-=ω ⇒ )6(12'62545C Gx Gx EI +-=ω ⇒ )6(2)6(1236225125C x C Gx Gx EI ++-=ω 由条件： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧============0)10()9()9()9()9()7()7()7()7()5()5()5()5()3()3()3()3()1()1()1()1(0)0(665'6'554'5'443'4'332'3'221'2'11ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧⨯=⨯-=6)3(25)3(11091.61032.5C C ∴ 在没考虑自重的情况下，EIC C G G C )3(2)3(1155012125++--=ω m EIG 2651014.110911.6)1032.5(512725-⨯=⨯+⨯-⨯+-= 在自重情况下，C 点的挠度：m EIghL C 4321017.43845-⨯==ρω ∴ C 点的挠度： =+=21C C C ωωωm 21018.1-⨯∴ 刚度=L C ω400180011018.13<=⨯- 符合刚度条件。