第十三章轴对称
13.4 课题学习最短路径问题【教材分析】
教学目标知识
技能
能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用.
过程
方法
在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化思想.
情感
态度
通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性.
重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题
难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题
【教学流程】
环节导学问题师生活动二次备课
情境引入如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，
走哪条路最近？你的理由是什么？
前面我们研究过一些关于“两点的所有连
线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上
各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，
我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常
涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学
知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
教师出示问题，引导学生思
考、回答，引入课题。

自主探究
探究点一探索最短路径问题
活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里
有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，
一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其
解的问题：
从图中的A地出发，到一条笔直的河边l
饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可
使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用
教师出示问题情境，激发学生
学习兴趣和探究欲望.
合
作
交
流
自
主
探
究
合
作
交
流
轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后
来被称为“将军饮马问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
追问1这是一个实际问题，你打算首先
做什么？
答：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽
象为一条直线．
追问2你能用自己的语言说明这个问
题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
答：(1)从A地出发，到河边l饮马，然
后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多
处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段
的长度之和，就是从A地到饮马地，再回到
B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出
使两条线段长度之和为最短的直线l上的
点．设C为直线上的一个动点，上面的问题
就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与
CB的和最小(如图)．
问题2：如图，点A，B在直线l的同侧，
点C是直线上的一个动点，当点C在l的什
么位置时，AC与CB的和最小？
追问3：对于问题2，如何将点B“移”到l
的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，
都保持CB与CB′的长度相等？
追问4：你能利用轴对称的有关知识，找
到上问中符合条件的点B′吗？
展示点评：作法：
(1)作点B关于直线l的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线l交于点C.
则点C即为所求．
追问5、你能用所学的知识证明AC＋
BC最短吗？
让学生将实际问题抽象为数
学问题，即将最短路径问题抽
象为“线段和最小问题”
学生尝试回答, 并互相补
充,最后达成共识:
教师引导学生，联想轴对
称知识解决，尝试作法，师生
共同矫正，
教师引导学生通过合作
交流完成证明；
证明：如图，在直线l上任取一点C′(与
点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称
的性质知，BC＝B′C，BC′＝B′C′.
∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，
AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
∴AC＋BC＜AC′＋BC′.
即AC＋BC最短.
探究点二选址造桥问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要
在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到
B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行
的直线，桥要与河垂直．)
展示点评：从A到B要走的路线是
A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于
是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．
解：在直线a上取任意一点M′，作M′N′⊥b
于点N′，平移AM，使点M′移动到点N′的位
置，点A移动到点A′的位置，连接A′B交直
线b于点N，过点N作MN⊥a于点M，则路
径AMNB最短．
理由如下：如图，点M′为直线a上任意
一点(不与点M重合)，
∵线段A′N′是线段AM平移得到的
∴AA′＝MN′，A′N′＝AM
∴AM′＋MN′＋BN′＝A′N′＋AA′＋BN′
∵MN平行AA′且MN＝AA′
学生证明后，教师提出下
面问题，引导学生小组讨论解
决：
证明AC＋BC最短时，为
什么要在直线l上任取一点
C′(与点C不重合)，
师生共总结方法：
运用轴对称变换及性质将不
在一条直线上的两条线段转
化到一条直线上，然后用“两
点之间线段最短”解决问
题．利用三角形的三边关系，
若直线l上任意一点(与点C
不重合)与A，B两点的距离和
都大于AC＋BC，就说明AC＋
BC最小. C′的代表的是除点
C以外直线l上的任意一点．
教师引导学生自主、合作探寻
解题思路，展示；
方法总结：解决连接河两岸的
两个点的最短路径问题时，可
以通过平移河岸的方法将河
的宽度为零，转化为求直线异
侧的两点到直线上一点所连
线段的和最小的问题．由两点
之间线段最短(或三角形两边
之和大于第三边)可知，求距
∴MN可以看作是AA′经过平移得到的
∴A′N＝AM
∴AM＋NB＝A′N＋NB
∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB ＝A′B<A′N′＋BN′
∴AM＋NB＝A′N＋NB
∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB ＝A′B<A′N′＋BN′
∴AM＋NB<AM′＋BN′
∵MN＝MN′
∴AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B，即路径AMNB最短．离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法(如利用轴对称或平移等)转化在一条线段上，从而解决这个问题．
尝试应用1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.
欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两
地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表
示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）
2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、
B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,
若点A到河岸CD的中点的距离为500米，
则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所
走的最短距离是米.
4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两
点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最
小。

教师出示问题
学生先自主思考，后小组交流
，最后展示答案，师生共同评
价：
答案：1、D；
2、1000；
3、A
4、答案如图所示：
P点就是所求做的点
成果展示本节课你有什么收获？
①学习了利用轴对称解决最短路径问题
②感悟和体会转化的思想
师引导学生归纳总结.
梳理知识，并建立知识体
系.
补偿提高5、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往
山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸
BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路
径．
思路分析：
由于两点之间线段最短，
所以首先可连接PQ，线
段PQ 为旅游船最短路径中的
必经线路．将河岸抽象为
一条直线BC，这样问题就转化
为“点P，Q 在直线BC
的同侧，如何在BC上找到
一点R，使PR与QR 的和最
小”．
作业设计作业：
教材第91页复习题13第15题.
学生认定作业，独立完成。