m
在
(x y)
m

C (m , k ) x
k 0
m
k
y
m k
中令x=y=1即得。
解释1：右边即m个元素的所有选取方案，每一子 集都可取或不取。这样有 2m 种方案。 左边表示可以有0-子集(空集),1-子集,…,m-子集。 解释2：从(0,0)走m步有2m 种走法，都落在直线 x+y=m上。 而到(m,0),(m-1,1),(m-2,2),…,(2,m-2),(1,m-1),(0,m) 各点的走法各有C(m,0), C(m,1),C(m,2),…,C(m,m2), C(m,m-1),C(m,m)种。
解释1：从m个互异红球和n个互异蓝球中取r个球， 按r个球中红球的个数分类。 解释2：(0,0)到(m+n-r,r)点的路径： (0,0)→(m-r+k,r-k)→(m+n-r,r) C(m,r-k) C(n,k)
P(m-r,r) (m+n-r,r)
m n r
m n r k k . k0
பைடு நூலகம்
解释1：可从上个结论推论,也可做一下组合证明。 从[1,n+r+1]取a1a2…anan+1,设a1＜a2＜…＜an ＜an+1, 可按a1的取值分类：a1=1,2,3,…r,r+1. 若a1=k, 则a2…an+1取自[k+1,n+r+1]，有C(n+r+1k,n)种取法。这里k从1变到r+1。 也可看做按含1不含1，含2不含2,…,含r不含r的不 断分类。
共有C(n-1,r)+C(n-1,r-1)种方案。
解释2：利用非降路径 C(m+n,m) = C(m+n-1,m) + C(m+n-1,m-1) {(0,0)→(m,n)} ={(0,0)→(m,n-1)}∪{(0,0)→(m-1,n)}
n n 1 n 2 n r n r 1 3. ... ; n n n n n1
1.3 组合意义的解释与应用举例
1. 非降路径问题 2. 组合意义的解释
3. 应用举例
1. 非降路径问题
从(0,0)点出发沿x轴或y轴的正方向每步走一个单 位，最终走到(m,n)点，有多少条路径？
y (m,n)
. . .
0 . . . x
无论怎样走法,总有：在x方向上总共走m 步，在y 方向上总共走n步。 若用一个x表示x方向上的一步，一个字母y表示y方 向上的一步，则(0,0)→(m,n)的每一条路径可表示为 m 个相同的x与n个相同的y的一个排列。 这相当于从m+n个位置中选出m个位置放x，剩下的 位置自然放置y。 因此若记所求方案数为 P(m+n; m, n)，则
y
x-y=1 (m,n) .

m n 1 m n 1 m m 2
( m n 1)! m !( n 1 ) ! ( m n 1)! ( m 2 ) !( n 1 ) !
(0,1). .. . . .. .
(2,-1)
解释2：右边表示从(0,0)到(n+1,r)的非降路径数。
这些路径一定过且仅过一条带箭头的边。而过这 些边的路径有(从下到上)
n n 1 n r , , ..., . n n n
r
(n+1,r)
故有
n n 1 n r ... n n n n r 1 . n

i奇
n i

j偶
n . j
8.
m n m n m n m n ... ; r 0 r 1 r 1 r 0
例4 设n位长能纠r个错的码字的个数为M，则
2
2r n
M
2
r
n
.
C (n, k )
k0
C (n, k )
7. C(m,0) -C(m,1) + …+(-1)mC(m,m)=0；
在
(x y)
m

C (m , k ) x
k 0
m
k
y
m k
中令x=-y=1即得。
在所有组合中，含1的组合←→不含1的组合。 在任一含1组合及与之对应的不含1组合中，必有一 奇数个元的组合与一偶数个元的组合。将含奇数个 元的组合做成集合，将含偶数个元的组合做成另一 集合。这两个集合的元素个数相等。
(x y)
n


k0
n
C (n, k ) x y
k
nk
.
1. (对称性) C(n,r)=C(n,n-r)； 从[1,n]去掉一个r子集，剩下一个(n-r)子集。由此 建立C(n,r)与C(n,n-r)的一个一一对应。 2. (递推关系) C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1)； 解释1：从[1,n]取a1,a2,…,ar。设1≤a1＜a2＜…＜ ar≤n,对取法分类： a1=1,有C(n-1,r-1)种方案； a1>1,有C(n-1,r)种方案。
. . .
(0,0)
n
n+1
解释3：利用可重组合. 从[1,…,n+2]中取r个的可重组合模型,
其个数为
n r 1 C (n 2, r ) ; r
按不含1,含1个1,含2个1,…,含r个1分类，
其个数相应为
n r n r 1 n r 2 n , , , ..., . r r 1 r 2 0
y y=x
x
容易看出从(0,1)到(m,n)接触x=y的非降路径与(1,0) 到(m,n)的非降路径(必穿过x=y)一一对应。 故所求非降路径数为
m n 1 m n 1 ( m n 1)! ( m n 1)! m m !( n 1 ) ! ( m 1)!n ! m 1
(a,b)
(c a ) (d b ) (a , b ) (c , d ) . c a
(c,d)
在原模型的基础上若设m<n，求(0,1)点到(m,n)点不 接触对角线x=y的非降路径的数目 (“接触”包括“ 穿过”)? 从(0,1)点到(m,n)点的非降路径，有的接触x=y，有 的不接触。 对每一条接触x=y 的非降 (m,n) 路径，做(0,1)点到第一个 接触点部分关于x=y的对 称非降路径，这样得到一 (0,1) . 条从(1,0)到(m,n)的非降路 . 0 (1,0) 径。
5. C(m+n,2)-C(m,2)-C(n,2)=mn;
等式右边可以看作是m个男生n个女生，一男一女 的组合数，易知为mn。 等式左端是从m+n个人中取2人的组合减去纯从男 生中取2人的组合和纯从女生中取2人的组合，余 下的即为一男一女的组合。
6.
C ( m , 0 ) C ( m , 1 ) ... C ( m , m ) 2 ;
在8.中令r=m≤n,再将
m k
换成
m m k
即得。
3. 应用举例
例1 从号码1,2,…N中每次取出一个并登记，然后放 回，连取n次，得到一个由n个数字组成的数列，问 按这种方式能得到 (1) 多少个严格递增数列(n≤N); (2) 多少个不减数列？
(1) 无重组合 C(N,n)；
r
(m-r+k,r-k) k=0,1,2,…,r
Q(m,0)
9.
m n m n m n m n ... ; m 0 0 1 1 m m
因此所求排队方法即为上页讨论的答案结果。
2. 组合意义的解释
二项式系数 C(n,k) 是组合数学中无处不在的一个 角色。
它主要有以下三个重要意义： (1) 组合意义：n元集中k元子集的个数; (2) 显式表示：C(n,k)=n(n-1)…(n-k+1)/k!; (3) 二项展开式的系数：即有恒等式
例3 有4个相同质点,总能量为4E0，E0是常数。每 个质点所具能量为kE0,k=0,1,2,3,4. (1) 若能级为kE0的质点可有k2 +1种状态，而且服从 Bose-Einstein分布，即同能级的质点可以处于相同 的状态，问系统有几种不同的状态?(或图像) (2) 若能级为kE0的质点可有2(k2 +1)种状态，而且 服从Fermi-Dirac分布，即不允许同能级的两个质 点有相同状态,问系统有几种不同状态?(或图像)
x
n 1 m m n . n1 m
假设一场音乐会的票价为50元，排队买票的顾客中 有n位只有50元的钞票，m位只有100元的钞票。售 票处没有准备50元的零钱。试问有多少种排队的方 法使得购票能顺利进行，即不会出现找不出钱的状 态。假定每位顾客只买一张票，且n>m。 用一个m+n维的向量来表示一个排队状态，其中每 个分量只能取x或y，这里取值y表示这个位置的顾 客持有50元的钞票，取值x表示只有100元的钞票。 因此这等价于一个从(0,0)到(m,n)点的非降路径，且 满足y≥x，即可以接触但不能穿过对角线。
1 1 n m m n 1 ( m 1 ) !( n 1 ) ! m n m n ( m n 1)!
m m n 1 1 . m n
若条件进一步改为可接触但不可穿过，则限制线要 向下或向右移一格，得x-y=1, (0,0)关于x-y=1的对称 点为(1,-1). 所求非降路径数为