。
• 反映性能指标的信息在s平面上与根轨迹的交点便是欲求的
主导极点，由其可通过幅值条件确定系统增益。
（3）一旦主导极点确定下来，系统增益也就可以求出，继而该增
益条件下的其他极点也可以求到。
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Root locus
Performance characteristics 5. Synthesis
2020年11月21日
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Frequency Response
5. Phase Margin and Gain Margin and Their Relation to Stability
相角裕度和幅值裕度的求解方法
通常有三种求解系统相角裕度和幅值裕度的方法，即解析法、极坐标 图法和伯德图法。下面通过实例进行说明。
绘制根轨迹的基本方法小结（2）
与虚轴的交点：由Routh判据求得，或直接将s=jw代入特征方程求 出特征根
出射角与入射角
w
n
自复极点的pk的出射角
pk
180
( pk
j 1
zj)
i 1
( pk
pi )
ik
n
w
至复零点的zk的入射角
zk
180
( z k
i 1
pi ) (zk
j 1
Mobil: ***
2020年11月21日
2
Course Objective / Requirements
Textbooks ＆ Refs: English:
Linear Control System Analysis and Design Gene F.Franklin, J.David Powell, Abbas Emami-Naeini.jc)H(jc)
求出幅值裕度
18
Frequency Response
5. Phase Margin and Gain Margin and Their Relation to Stability
用根轨迹进行系统的综合，考虑的是通过下面步骤得到期望的时间响应:
（1）首先绘制根轨迹，然后由期望的瞬态响应确定闭环的极点。
（2）确定闭环根的要点：
• 由性能指标确定主导极点－See P322（通常人们希望过渡过
程有一点衰减振荡（欠阻尼振荡，这就要求系统有一对共
轭虚根）。
• 时 域 指 标 中 的 阻 尼 比 、 回 复 时 间 Ts （ 对 于 2% 是 Ts ＝ 4/n)、自然频率n，或者有阻尼振荡频率d等均可用于 确定主导极点－－因为它们可以直观地在s平面上表示出来
关键是由系统闭环特征方程写出等效开环传递函数，将可变参数 置于根轨迹增益Kr的位置（要求可变参数必须是线性地出现在闭 环特征方程中）。
对于K＜0情况（正反馈系统）
若无特殊要求，实际上是写出开环传递函数后，视其根轨迹增益 Kr前的符号决定（设Kr总是＞0）是采取K＞0或K＜0的规则
对于非最小相位系统的处理与一般系统相同－－注意K＜0情况
CHAPTER 1-5 Review
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Course Objective / Requirements
Objective: Introduce the fundamental principles of control theory. Develop the basic understanding of control systems theory. Learn how to analyze and how to design automatic control systems. Requirements: Weekly homework assignments (late homework will not be accepted) and a final examination. Grading policy: Homework: 20-30% Final Exam: 80-70% Where to find me: Office：Building Control (New) 403; office hours: anytime E-mail：*** Tel： 87951071(970)-403(O)
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Block Diagram
• 方块图是控制系统或对象中每个环节（元件） 的功能和信号流向的图解表示。每一个方块填 写环节（元件）的传递函数，指向方块的箭头 表示该环节的输入信号，离开方块的箭头表示 该环节的输出信号，它是输入信号与方块内的 传递函数运算后的结果。注意箭头方还标明了 相应的信号符号（有时“＋”会省略）。
传递函数（矩阵）模型
概念，微分算子、拉氏变换及频率传递函数形式，性质
方块图
从物理对象画出方块图（组成结构与传递函数形式），信息流向 环节中用文字表达的结构组成图，环节中为传递函数的方块图，
反映状态变量关系的状态变量图，方块图的信号流图表示 借用方块图的简化与信号流图中的梅逊公式计算系统传递函数
0 1 1
j n
0
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
t
0.2
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
1
1
jn
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
t
0.2
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
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根轨迹的渐近线：当n>w时，共有（n-m）条：
与实轴的夹角为 (2k 1)180 交点为
n
w
Re( pi ) Re( zi )
nm
分离点与会合点（必是 l 重根）
0 i1
j 1
nm
由
d[K (s)] 0 ds
的确定，且与实轴成
180 角度离开（会合）
l
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问题： （1）如果由根轨迹不能得到满意的响应？ （2）如何提高控制系统的性能？
• 为了提高系统性能而进行的系统校正(modifying)或根轨迹 改造(reshape)称为“补偿(compensation)”。
• 补偿的目的是使系统稳定，具有满意的动态响应，以及有足 够大的增益保证稳态误差不超过某个给定的最大值。
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列写微分方程式时，输出量及其各阶导数项列写在方 程式左端，输入项列写在右端。由于一般物理系统均有 质量、惯性或储能元件，左端的导数阶次一般来说总比 右端的高。要注意的是，二阶系统中的时间常数已经不 具备像一阶系统中时间常数的物理意义。二阶系统有它 自己特殊重要的参数表征其系统特性。
50
40
30
20
10
0
-10
-20
t
-30
-40
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
11
绘制根轨迹的基本方法小结（1）
根轨迹的起止：起于开环极点，终于开环零点或无穷远点
根轨迹的分支数：等于闭环极点数（或开环零点数）：
当n>w时，等于开环极点数；当w>n时，等于开环零点数
根轨迹的对称性：关于实轴对称
实轴上的根轨迹：当右面的开环零极点之和为奇数的部分
• 视回路是否闭合，分为闭环传递函数与开环传递函数 。。。。。
H(s)
Q0(s)
1/R
Block diagram
1 Qo (s) R H (s)
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建立状态方程模型的一般步骤
确定输入变量、输出变量及状态变量（非惟一性！） 用微分方程表示各环节模型（包括线性化处理？？） 选择独立的状态变量，用一阶微分方程组的形式表达模 型 整理成状态方程的标准形式 将输出变量表示为状态变量的线性组合，即输出方程
• 根据方块图与传递函数的定义，可以直接由系 统各个环节之间的关系用图解的方式描述系统 的信息传递－－一种建模方法。
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Transfer function
• 传递函数只取决于系统的结构与参数，与输入变量形 式无关；它不反映系统内部的信息，也不反映系统的初始 条件；
• 它是输入输出模型的表现形式（可以是时域的表达， 更多是复域形式。传递函数可与时域微分方程、状态方程 相互转换；
（一） 解析法
根据系统的开环频率特性，由
G( j )H( j ) 1(0 )
和 ( ) (1800 ) ( ) 1800 求出相角裕度
。
由 G( jc )H ( jc ) 1800 (0 c )
1 a
G( jc )H ( jc )
或 20
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lg
a
20
lg
G(
参见例题
纯滞后的处理，为方便分析，可采用pade多项式近似纯滞后环节 （在低频时较为适用）
多个可变参数的根轨迹－－根轨迹簇－－参见例4-22
实际上也只能先选定一个，再画其他的
多回路系统的根轨迹－－“先内后外”
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Root locus
Performance characteristics 5. Synthesis (See P240-243)
线性化） 注意中英文概念的描述，对书（特别是中文版）中的一些错
误及时纠正，以免复习时误导
课堂上该章的内容相应于英文版2,4,5章的大部分内容。
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