5高中数学导数的应用之极值和最值利用导数求函数的极值与最值 内容再现1、函数的单调性与其导数正负的关系：在某个区间(),a b 内，如果 ，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；在某个区间(),a b 内，如果 ，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减；若恒有 ，则函数()y f x =在这个区间内是常函数。

2、利用函数判断函数值的增减快慢： 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值 ，那么函数在这个范围内变化的快，这时函数的图像比较“陡峭”（向上或向下）：反之，若函数在这个范围内导数的绝对值 ，那么函数在这个范围内变化的比较慢，这时函数的图像比较“平缓”。

3、判断函数极大、极小值的方法: 解方程()'00f x =，当()'00f x =时： （1）如果在0x 附近的左侧 ，右侧 ，那么()0f x 是极大值，0x 是极大值点。

（2）如果在0x 附近的左侧 ，右侧 ，那么()0f x 是极小值点。

4、（1）函数()f x 的闭区间[],a b 上的最值： 如果在闭区间[],a b 上函数()y f x =的图像是一条 曲线，则该函数在[],a b 上一定能取得 和 ，并且函数的最值必在 或 取得。

（2）求函数()y f x =在区间[],a b 上的最值的步骤：求函数()y f x =在(),a b 的 ；将函数()y f x =的 与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

三、巩固练习1、 已知函数)(x f y =在区间),(b a 内可导，且),(0b a x ∈，则=--+→hh x f h x f h )()(lim 000 ( ) (A))('0x f (B))('20x f (C))('20x f - (D)0 2、函数x x y ln =在区间 ( )(A) )1,0(e 上单调递减 (B) ),1(+∞e上单调递减(C) ),0(+∞上单调递减 (D) ),0(+∞上单调递增3、已知a x x x f ++=233)()(R a ∈在]33[，-上有最小值3，则在]33[，-上， )(x f 的最大值是4、已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<，（I ）求m 与n 的关系式；（II ）求()f x 的单调区间；（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值五、典型例题1、一个物体的运动方程为21stt 其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A 、 7米/秒B 、6米/秒C 、 5米/秒D 、 8米/秒DCxOA By 2、用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm3、如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000米2，鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长宽分别为 （ ） A ．长102米，宽515000米 B ．长150米，宽66米 C ．长宽均为100米D ．长100米，宽3200米4、过抛物线y=x 2-3x 上一点P 的切线的倾斜角为45°，它与两坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积是5、如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为_______时,其容积最大．6、6、某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。

如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可使旅行社的收费最多? (不到100人不组团)7、某机车拖运货物时对货物所做的功W （单位：J ）是时间t （单位：s ）的函数，设这个函数可以表示为：753-+=t t t w )(。

(1) 求t 从1s 变到3s 时，功W 关于时间t 的平均变化率，并解释它的实际意义；(2) 求在t=1s 和t=3s 时,该机车每秒做的功。

8、用长为90cm ，宽为48cm 的长方形做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形转090角，再焊接而成（如图所示），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？9、某轮船公司争取一个相距1 000公里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船平均载客人数为400人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比，轮船的最大速度为25公里/小时．当轮船的速度为10公里/小时，它的燃料费用是每小时30元，轮船的其余费用(与速度无关)都是每小时480元．若公司打算从每个乘客身上获利10元，试为该公司设计一种较为合理的船票价格．10、一根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比．(1)将此枕木翻转90°(即宽度变为了厚度)后，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？ (2)现有一根横断面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？11、用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角α多大时，容器的容积最大？六、课堂练习1、一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=41t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是 （ ）A 4s 末B 8s 末C 0s 与8s 末D 0s,4s,8s 末2、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高应为（ ）B 100cmC 20cmD 203cm 3、做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积价格为b 元，当造价最低时，锅炉的直每径与高的比为（ ）A ．a/bB ．a 2/bC ．b/aD ．b 2/a4、某天中午12时整甲船自A 处以每小时16公里的速度向正东行驶，乙船自A 的正北18公里处以每小时24公里的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船间的距离对时间的变化率是 。

5、函数2cos y x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取最大值时，x 的值为__ _.6、一容积为256升的方底无盖水箱，则它的高为 时，材料最省。

7、如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？8、某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为:p=24200－51x 2,且生产x t 的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入－成本)9、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？10、已知f(x)=ax 3+bx 2+cx(a ≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=－1.(1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.11、统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米每小时）的函数解析式为：)1200(,880312800013≤≤+-=x x x y ，已知甲乙两地相距100千米。

（1）当汽车以每小时40千米的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？七、家庭作业1、某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R ＝R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x>400)，则总利润最大时，每年生产的产品是________．2、在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.3、如果物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)2，则其在t ＝4 s 时的瞬时速度为( ) A ．12 B ．－12 C ．4D ．－44、从时间t ＝0开始的t s 内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q ＝2t 2＋3t 表示，则第5 s 时的电流强度为( )A ．27 C/sB ．20 C/sC ．25 C/sD ．23 C/s5、球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为______．6、如果一质点从固定点A 开始运动，位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为y ＝s(t)＝t 3＋3.求：(1)t ＝4时，物体的位移s(4)； (2)t ＝4时，物体的速度v(4)； (3)t ＝4时，物体的加速度a(4)．7、、如图所示：一吊灯的下圆环直径为4 m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2 m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3.点C 为OB 上一点(不包含端点O 、B)，同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等．设细绳的总长为y m. (1)设∠CA 1O=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；(2)请你设计θ，当角θ正弦值是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长．8、已知a 、b 为实数，且b ＞a ＞e,其中e 为自然对数的底，求证：a b ＞b a .9、设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β(α＜β),函数f(x)=142+-x ax . (1)求f(α)·f(β)的值；(2)证明f(x)是［α，β］上的增函数；(3)当a 为何值时，f(x)在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？10、某地建一座桥，两端的桥墩已经建好，两桥墩相距m 米，余下的工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算：一个桥墩的工程费用是256万元，距离为x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为x x )2( 万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下的工程费用是y 万元，（1）试写出y 关于x 的函数关系式。