0
Y(e j
T2)
T2
n2
0
D 1 ＝ D sa2
sa1
sa2
图 8.2.3 抽取引起的频谱混叠现象--y(n2T2)及其频谱Y(ejω2)
第8章 多采样数字信号处理 章
x(n 1T1)
h(n 1T1)
v(n 1T1)
↓D
y(n 2T2)
图 8.2.4 带有抗混叠滤波器的抽取系统框图
理想情况下，抗混叠低通滤波器h(n1T1)的频率响应 H(ejω) 由下式给出：
第8章 多采样数字信号处理 章
x(n 1T1) x(t)
0
n1 (a)
0
T1
(b)
t
y(n 2T2)
图 8.3.1 内插概念示意图
0
T2
n2 (c)
第8章 多采样数字信号处理 章
整数内插是先在已知的采样序列x(n1T1)的 相邻两个采样点间等间隔插入 I-1 个0值点， 然后进行低通滤波， 即可求得I倍内插的 结果。 信号经过零值内插器后得到v(n2T2), v(n2T2) 再经过低通滤波器h(n2T2)变成y(n2T2)。
第8章 多采样数字信号处理 章
8.2 信号的整数倍抽取
信号的整数倍抽取： 设 x(n1T1) 是 连 续 信 号 xa(t) 的 采 样 序 列 ， 采 样 率 F1=1/T1(Hz)， T1称为采样间隔， 单位为秒， 即 x(n1T1)=xa(n1T1) T2=DT1 D为大于1的整数，称为抽取因子。 (8.2.1) (8.2.2)
第8章 多采样数字信号处理 章
8.1 引言
在实际系统中， 经常会遇到采样率的转换问题， 要求一 个数字系统能工作在“多采样率”状态。 这样的系统中， 不 同处理阶段或不同单元的采样频率可能不同。 例如， 在DSP 开发仿真实验系统中， 为了抗混叠滤波器设计实现简单， 降 低系统复杂度， 应先统一对模拟信号以系统最高采样频率采 样， 然后， 根据实验者选择的各种采样频率， 在数字域改 变采样频率。 列如：在数字电视系统、数字电话系统中 为了达到既满足 采样定理又最大限度地减少数据量，需要根据不同的信号段采 用不同的采样率。
直 接 抽 取
0
T2 2T2 ＝ DT1 y(n 2T2)
n1 y(n 2T2)
0
1
2
3
4
T2 ＝ DT1
5 n2
0
1
2
3
4
5 n2
T2
第8章 多采样数字信号处理 章
下面推导Y(e jω2)与X(e jω1)的关系：
Y ( e jω2 ) = =
∞
n2 =−∞
∑
∞
y ( n2T2 )e − jω2n2 =
x(n 1T1) X(e j
T1)
0
T1 y(n 2T2)
n1 (a)
－
c
0
c
sa1
3
sa1
Y(e j
T2)
0
T2
n2 (b)
－
c
0
c
sa2
＝I
sa1
图 8.3.5 x(n1T1), y(n2T2)和
X (e jω1 ), Y (e jω2 ) I=3
k
0
DT 2DT 3DT y(n 2T2)
n 1T 1 (c)
0
sa1
＝ 2π T
1
Y(e j FT
T2)
0
T2
n 2T 2 (d)
0
sa2
1 ＝ D
sa1
2π ＝ DT ＝
1
图 8.2. 7 在
c>
sa2/2时，
抽取前后信号的时域和频域关系示意图
第8章 多采样数字信号处理 章
X(e j
T1)
－
c
第8章 多采样数字信号处理 章
如 果 x(n1T1) 是 连 续 信 号 xa(t) 的 采 样 信 号 ， 则 xa(t) 和 x(n1T1)的傅里叶变换Xa(j )和X(ejω1)将分别是
X a ( jΩ) == ∫ X (e
jω1 def ∞ −∞
xa (t )e − jΩt dt x ( n1T1 )e − jω1n1
第8章 多采样数字信号处理 章
式中，1 = e jω1 = e jΩT1 = e jΩT2 / D = z1/ D.所以有(省去z2的下标) z 2
1 D −1 Y ( z ) = ∑ X ( z1/ DW k ) D k =0
(8.2.16)
结论：Y(e jω2)是X(e jω1)的D个平移样本之和，相邻样本在 频率轴ω1上相差2π/D，模拟频率轴 上相差2π/(DT1)=
0
T y(n 2T2)
n1 (b)
－
sa1
－
c
′ 0
c
′
sa1
Y(e jω 2 ) FT
0
T2
n2 (c)
－
sa1
0
sa2
sa1 sa1
1 ＝－ D
图 8.2.5 信号在抽取前后的时域和频域示意图,
`c<
sa2/2=
sa1/(2D)
第8章 多采样数字信号处理 章
在抽取前先令x(n1T1)乘以周期序列 λ(n1T1)， 即 其中，λ (n1T1)定义如下：
2π − j kn1 1 D −1 x ( n1T1 ) = ∑ x (n1T1 )e D D k =0 ^
(8.2.13)
第8章 多采样数字信号处理 章
x(n 1T1) x(n 1T1)
0
n1 λ (n 1T1)
～
0
n1
1 0
^ x(n 1T1) ＝ x(n 1T1) (n 1T1) λ
～
n1
图 8.2.6 对x(n1T1)的直 接抽取和等效抽取
第8章 多采样数字信号处理 章
x a(t) FT X a(j )
0
t (a) x(n 1T1) FT
－
c
0
c
X(e j
T) 1
＝X(e jω 1)
0
T1
t (b)
－
sa1
－
c
0
c
2π ＝ T sa1
1
图 8.2.2 xa(t)与x(n1T1)及其傅里叶变换频谱图
第8章 多采样数字信号处理 章
y(n 2T2) FT
0
～
c
sa1
(a) Λ (k )
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
k
(b) ^ X(e j
T1
)
0
sa1
/D (c)
T2
sa1
Y(e j
)
0
sa2
＝
sa1
/D
(d)
图 8.2.8 在
c<
sa2/2时，
抽取前后信号的时域和频域关系示意图
第8章 多采样数字信号处理 章
例 8.2.1 一整数倍抽取系统如图 8.2.9所示， 试求 输出序列y(n2T2)。 解 设输入序列x(n1T1)是已知的， 且设抽取后信号 的采样率仍满足采样定理。
(8.2.4) (8.2.5)
) ==
def
n =−∞
∑
∞
其中, =2πf(rad/s), f为模拟频率变量, ω1为数字频率。
f ω1 = ΩT1 = 2π F1
由(2.4.3)式有
(8.2.6)
1 ∞ ω1 jω1 X ( e ) = ∑ xa ( j − jk Ω sal ) T1 k =−∞ T
(8.2.7)
第8章 多采样数字信号处理 章
为了对抽样前后的频谱进行比较， 作图时均以模拟角 频率 为自变量(横坐标)， 为此按(8.2.6)式将X(ejω1)写 成 的函数为
X ( e jΩT1 ) = X ( e jω1 )
ω1 =ΩT1
1 ∞ = ∑ xa ( jΩ − jk Ω sal ) (8.2.8) T1 k =−∞
x(n1T1), v(n2T2)及y(n2T2)的频谱关系怎样，对低通 滤波器有什么技术要求？
0 0
x(n 1T1)
T1 v(n 2T2)
n1
T2 T1 y(n 2T2)
n2
x(n 1T1)
↑I
v(n 2T2)
h(n 2T2)
y(n 2T2)
0
T2
n2
图 8.3.2 零值内插方案的系统框图
图 8.3.3 内插过程中的各序列
于是 λ (n1T1) 的DFS展开式为 2π π ~ − j kn1 1 D −1 ~ 1 D −1 − j 2D kn1 λ (n1T1 ) = ∑ A( k )e D = ∑ e (8.2.12) D k =0 D k =0
第8章 多采样数字信号处理 章
将(8.2.12)式代入(8.2.10)式得
1 2
n2 =−∞
∑
^
∞
T Dm y ( n2 DT1 )e −j jΩT11Dn22
n2 =−∞
∑
jω Dm y ( n2 DT1 )e −jω 1Dn 2
∞
当n1=n2D时：
x(n1T1)= y(n2DT1),其余为0
2π j kn1 1 D −1 [ ∑ x ( n1T1 )e D ]e − jω1n1 D k =0
x(n 1T1) z1－1
x 0(n 1T1)
↓D
y 0(n 2T2)
y(n 2T2)
x 1(n 1T1)
↓D
y 1(n 2T2)
图 8.2.9 整数倍抽取系统