第六章 非线性微分方程和稳定性
[教学目标]
1. 理解解的稳定性、零解稳定性及零解渐进稳定性的概念。

2. 掌握平面初等奇点的分类方法。

3. 了解拟线性近似决定微分方程组的稳定性及用李雅谱若夫第二方法判别稳定性的方法。

4. 了解周期解和极限环的概念。

[教学重难点] 奇点的分类与相应零解的稳定性。

[教学方法] 讲授，实践。

[教学内容] 解的稳定性定义，相平面、相轨线与相图；平面自治系统的性质，奇点的分类及相应零解的稳定性；拟线性近似，李雅谱若夫第二方法判别稳定性，周期解和极限环的概念。

[考核目标]
1.奇点的分类及相应零解的稳定性。

2.李雅谱若夫第二方法判别稳定性。

3.会求周期解和极限环。

§6.1 相平面、相轨线与相图
把xoy 平面称为平面自治系统
⎩
⎨⎧==),(),(y x Q y y x P x （6.1） 的相平面.
把(6.1)式的解(),()x x t y y t ==在xoy 平面上的轨迹称为(6.1)式的轨线或相轨线.
轨线族在相平面上的图象称为(6.1)式的相图.
注意：在上述概念中，总是假设(6.1)式中的函数(,),(,)P x y Q x y 在区域)(||,|:|+∞≤<<H H y H x D 上连续并满足初值解的存在与唯一性定理的条件.
(6.1)式的解(),()x x t y y t ==在相平面上的轨线，正是这个解在(,,)t x y 三维空间中的积分曲线在相平面上的投影.
下面讨论二阶线性系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y a x a dt
dx y a x a dt dx 22211211 (6.2)
奇点(0,0)附近轨线的分布:上述系统写成向量形式为方程组)0(det d d ≠=A AX X t 它存在线性变换TX X =~，可化成标准型X J X ~d ~d =t
由A 的特征根的不同情况，方程的奇点可能出现四种类型：结点型，鞍点型，焦点型，中心型.
1．结点型
如果在某奇点附近的轨线具有如图5-1的分布情形，我们就称这奇点为稳定结点.因此，当μ＜λ＜0时，原点O 是
⎪⎩⎪⎨⎧==y t
y x
t μλd d d dx (6.3) (5.4)式的稳定结点.
图 6-1 图 6-2
如果在某奇点附近的轨线具有如图5-2的分布情形，我们就称这奇点为不稳定结点.因此，当μ＞λ＞0时，原点O 是(5.4)的不稳定结点.
如果在奇点附近的轨线具有如图5-3和图5-4的分布，就称这奇点为临界结点.
图 6-3 图 6-4
当λ＜0时，轨线在t →＋∞时趋近于原点. 这时，我们称奇点O 为稳定的临界结点；当λ＞0时，轨线的正向远离原点， 我们称奇点O 为不稳定的临界结点. 如果在奇点附近轨线具有如图5-5及图5-6的分布，就称它是退化结点.当λ＜0时，轨线在t →＋∞时趋于奇点，称这奇点为稳定的退化结点；当λ＞0时，轨线在t →＋∞时远离奇点，称这奇点为不稳定的退化结点.
图 6-5 图 6-6
2．鞍点型 如果在某奇附近的轨线具有如图5-7或图5-8的分布情形，我们称这奇点为鞍点.因此，当μ，λ异号时，原点O 是(5.25)的鞍点.
图 6-7 图 6-8
3．焦点型
如果在某奇附近的轨线具有如图5-9的分布情形，我们称原点O是稳定焦点；而当α＞0时，相点沿着轨线远离原点，这时，称原点是不稳定焦点 (见图5-10).
图 6-9
图 6-10
4．中心型
如α＝0，则轨线方程成为：
C =ρ 或 222C y x =+
它是以坐标原点为中心的圆族.在奇点附近轨线具有这样的分布，称奇点为中心.
图 6-11 图 6-12
综上所述，方程组 )0(det d d ≠=A AX X t (6.4)
经过线性变换TX X =~
，可化成标准型 X J X ~d ~d =t
(6.5) 由A 的特征根的不同情况，方程的奇点可能出现四种类型：结点型，鞍点型，焦点型，中心型.
当0det ≠A ，根据A 的特征根的不同情况可有如下的类型： 同号——结点
相异（非零）实根
实根 异号——鞍点
临界结点
重（非零）实根
退化结点
实部不为零——焦点
复根
实部为零——中心
因为A 的特征根完全由A 的系数确定，所以A 的系数可以确定出奇点的类型.。