文章编号:1004Ο8820(2003)02Ο0138206具有多种约束的连续体结构拓扑优化江允正,王子辉,初明进(烟台大学土木工程系,山东烟台264005)摘要:对于具有多种约束条件的连续体结构的拓扑优化设计,本文提出一种通用优化方法:首先用优化方法确定微孔或称为基点的位置,然后再扩大微孔并确定其边界.文中对于具有应力和位移约束的几个平面问题进行拓扑优化,计算结果十分令人满意.关键词:结构拓扑优化;结构优化;连续体;中图分类号:TP391.72 文献标识码:A近年来,Bendsoe 和K ikuchi [1]等广泛采用连续体拓扑优化的均匀方法.首先从连续介质中人为地引进某一形式的微结构,例如周期性分布的微孔洞;然后用以数学中扰动理论为基础的均匀化方法这一数学工具建立材料的宏观弹性性质和微结构尺寸的关系,连续介质的拓扑优化就转化为决定微结构尺寸最优分布的尺寸优化问题,可以采用成熟的尺寸优化算法.迄今为止的均匀化方法还不能给出带有微观结构的材料的宏观许用应力和微结构尺寸的关系,因此到目前为止均匀优化方法可以求解的拓扑优化问题还很有限.均匀化方法的另一缺点是求得的最终设计可能具有很不清晰的拓扑,即结构中有的区域是相对密度介于0和1之间的多孔介质;文献[2]提出修改的满应力法来求解受应力约束的平面弹性体的拓扑优化问题,也仅能考虑应力约束问题;文献[3]提出统一骨架与连续体的结构拓扑优化的ICM 理论与方法.这些方法,基本上都采用有限元法进行结构分析,为了使边界光滑,不得不划分很细的单元,对于一般平面问题,单元数目都在数千个之上,计算效率低.总之,拓扑优化是最具挑战性而又困难的问题,优化方法仍然处在发展初期.这一领域迫切需要取得进展,开发通用的算法仍是挑战. 如上所述,采用均匀方法时,首先从连续介质中人为地引进某一形式的微结构,例如周期性分布的微孔洞.我们认为微孔洞的数量和位置应该用优化方法确定.并称这种微孔的中心叫做删除区的基点.然后扩大微孔,用优化方法确定孔的边界.于是,连续体结构的拓扑优化,可以归结为确定删除区的基点位置及其边界的问题.1　方　法 对于一个二维连续体,当给定外载和支承位置时,满足应力、位移等各种约束条件下的结构最优拓扑问题,都可以按如下步骤来求解:收稿日期:2002-12-17作者简介:江允正(1942-),男,湖南衡阳人,教授,主要从事结构优化方向教学与研究工作.第16卷第2期烟台大学学报(自然科学与工程版)Vol.16No.22003年4月Journal of Y antai University (Natural Science and Engineering Edition )　Apr.2003　 步骤1　确定删除区域基点 删除区基点位置的确定可以采用不同的方法,本文采用有限元法与离散变量优化相结合. 由于仅仅为了确定删除区基点位置,所以单元划分不必太细.平面问题可以以单元厚度为设计变量,这些变量仅取两个离散值,一个值为原始厚度t ,另一个值为很小的正数ε,如果以结构重量为目标,满足应力和位移约束,那么该问题的数学规划模型就可以写成:求 T =(t 1,t 2,…,t n )T ,使V =∑ni =1t i s i →min ,s.t σj (T )≤[σ],　j =1,2,…,n ,u k (T )≤u u,t i ∈(t ,ε),　i =1,2,…,n.(1) 文中常取ε=(0.01～0.05)t ;n =100～200;板厚为ε便视为开孔.这些板厚为ε的单元组成的区域,当区域的面积趋于零时,区域的极限称之为基点.如图1(a )中左上角这个删除区,当这块面积逐渐减小并趋向于零的时侯,它的极限位置是原矩形体的左上角点,如图1(b )所示C 1点.在平面问题中,基点位置可能有三种情况:角点、边界点和内点.图1(b )中C 1点是角点,C 2是内点,图2的C 点是边界点.至于删除区边界可由下步确定.图1(a )　第一步优化结果 图1(b )第二步计算模型 图1(c )第二步优化结果 步骤2　确定删除区边界 当删除区基点确定以后,我们可以用一族从基点出发的矢径来描述曲线上的点,如图2所示.每一个矢径的方位都事先给定,把矢径长度作为变量,变量均为非负连续变量.如果目标函数仍然为结构体积,满足应力、位移等约束条件,其数学模型为:求X =(x 1,x 2,…,x n )T ,min W =t 3S (X ),σ(X )≤σ0,i =1,2,…,m ,u k ≤u u ,k =1,2,…,p ,x i ≥0,i =1,2,…,n.(2)式中S (X )为挖孔后剩余面积.在约束条件中除了性能约束外还应加入几何约束,防止重复开孔.要确定删除区边界可以采用形状优化的各种方法来实现,本文使用边界元法[4].式中・931・　第2期 江允正,等:具有多种约束的连续体结构拓扑优化应力是弹性体内任意点的应力,然而办不到,因为开孔区域的边界在变动,刚才还是实体,转眼也许需要挖去.根本无法指定那些固定点,并限制这些点的应力值.本文采用边界元法与连续变量优化方法相结合来求解.那么边界上各点的应力总是可以求得的,而且边界上的应力往往也是最大应力,原因之一是弯曲效应,其次是应力集中现象.对于平面线性单元,可以采用每个单元的切向应力加以限制.由节点位移和面力可以计算节点切向应力σi t =11-ν[2G (-u i +11-u i -11l i sin α+u 2i +1-u 2i -1l i cos α)+ν(p i 1cos α+p i 2sin α)]. 连续体结构拓扑优化问题其实是个连续离散变量优化问题,当采用有限元法作为分析手段时,为了使边界光滑就必须划分大量的单元,而每个单元往往就是一个变量,这种具有上千个变量的巨大问题给求解带来困难.本文将这种大问题化为两个小问题来求解,并且可以使用尺寸优化和形状优化的己有成果和各种现有的程序和手段.使问题的求解成为可能.图2　边界曲线上的点描述 图3　例1的计算模型2　例题计算 例1　一中跨深梁如图3所示[4],其上缘中部受垂直均布荷载P =13600N/cm 2,材料弹性模量E =1.9×104kN/cm 2,泊松比ν=0.3,许用应力[σ]=248MPa ,试进行拓扑优化. 解:第一步:确定删除区位置;利用对称性,取矩形区左半部,划分成160个三角形单元,每个单元厚度t 为一设计变量,t =112.5,0.25mm 两个离散值,以结构体积为目标,满足应力约束条件.用离散变量优化方法获得结果如图1(a ).由图1(a )可以判断该矩形区的左上角点和右上角点及中央处为删除区基点,如图1(b )所示. 第二步:确定删除区边界;将图1(b )所示结构沿边界划分边界单元,用11个变量描述两个删除区边界,为了简便,矢径夹角均为30度.如果仍以结构体积为目标,例中仅满足应力约束条件.采用最常用的优化方法,获得最优拓扑如图1(c )所示. 这一结果与文献[4]的结果极为相似(见图4),但拓扑远不如本文清晰. 例2　两端具有固定铰支座的深梁,在上部中央处承受垂直均布力P ,已知P =13600N/cm 2,E =1.19×104kN/cm 2,ν=0.25,[σ]=442MPa . 计算简图如图5所示. 解:第一步:确定删除区位置;利用对称性,取矩形区左半部,划分成160个三角形单元,・041・烟台大学学报(自然科学与工程版)第16卷　图4　文献[4]的优化结果用离散变量优化得到图5(a )结果. 第二步:确定删除区边界;将图5(b )所示结构沿边界划分24个边界单元,用8个变量描述三个删除区边界,优化结果如图5(c )所示.获得一个拱形结构.而这个拱比给定的高度低,在拱上多出一个传力块.这个结果告诉人们在题中给定的受力和支撑情况下,结构高度可以降低到图中的拱高就够了,去掉多余的传力块,将力直接作用到拱上.从全局来讲这一结果给了我们耳目以新的感觉.图5(a )第一步优化结果 图5(b )例1的计算模型 图5(c )第二步优化结果 为了判断这个结果的正确性,不妨把这个问题作点变动,如果把作用在上部的分布荷载移动到下边缘,如图6(a )所示.会得到什么样的拓扑呢?如果上题结果是正确的,那么,图6(a )的最优拓扑就该是图5(c )类似结构.下半部大拱不变,仅需将上部传力块翻转朝下.下面来求解这个问题. 例3　求解图6(a )所示问题:除外力作用点与上题不同外,其他条件完全相同. 解:第一步获得初形如图6(b )所示,中间多出一根传力杆,从图6(b )可以判断:在这块矩形板上,载荷作用处的两边和板的上侧左右两角点处应该开孔.如图6(c )所示. 使用了11个变量描述孔洞边界,通过第二步优化后获得了如图6(d )最优拓扑.这一结果与上题结果完全一致,合情合理.不过在该拱的顶上多了一根“天线”,这是边界收缩的残余物,应该去掉.图6(a )例1的计算模型 图6(b )第一步优化结果 图6(c )第二步计算模型 这一结果与图7(文献[4])相比差别特大.图7所示结构在制造上将会很困难. 例4　在例2中,如果去掉应力约束,要求满足位移条件,即上缘中点竖向位移不大于0.1in.・141・　第2期 江允正,等:具有多种约束的连续体结构拓扑优化 图6(d )第二步优化结果 图7　文献[4]的优化结果 图8　仅满足位移约束的最优拓扑 在这种外力和给定支撑情况下,仅满足位移约束的最优拓扑是图8所示二杆结构,仅满足应力约束的最优拓扑是个拱(见例2图5(c )).可见这种结构抗变形能力比拱好,而拱的变形大而应力小.图8所示结构在受力时变形小但在中央的内尖点处将会产生应力集中现象.图9(a )　第一步优化结果　图9(b )第二步优化结果 例5　在例4中,满足一个位移约束的基础上增加应力约束,求最优拓扑1 解:可以肯定该点位移约束仍然是有效约束. 第一步结果如图9(a ). 第二步获得最优拓扑如图9(b )所示.与图8相比不同之处在于:尖角用圆弧同替了,减少应力集中,这是非常合理的.3　结束语3.1　本文所给拓扑优化例题之中,删除区边界优化使用的边界元法是线性元,例题中变量数少,又是线性单元,但仍然较准确地给出了最优拓扑,说明本文所述方法有效.3.2　本文所给拓扑优化例题之中,删除区基点确定使用的有限元法是三角形常应变单元,如果改用矩形单元会更好.3.3　本文所作的例题仅仅是平面问题,但对空间问题同样有效.例题中仅满足应力和位移约束,但该方法对约束条件没有限制.3.4　该方法或称为二步法,确实是解决拓扑优化的一条途径.他将拓扑优化的难题化作尺寸优化和删除区边界优化两步来处理.使问题求解成为简单可行.3.5　多工况问题随后将另行讨论.参考文献:[1]　Bendsoe M P ,K ikuchi N.G enerating optimal topologies in structural design using a homogenizationmethod [J ].Compt Mech Appl Mech Engrg ,1988,14:197～224.[2]　程耿东,张东旭.受应力约束的平面弹性体的拓扑优化[J ].大连理工大学学报,1995,35(1):1～9.[3]　隋永康,杨德庆,孙焕纯.统一骨架与连续体的结构拓扑优化的ICM 理论与方法[J ].计算力学学报,2000,17(1):28～33.・241・烟台大学学报(自然科学与工程版)第16卷　[4]　江允正,郑大素.发动机连杆形状优化[J ].哈尔滨船舶工程学院学报,1994,15(3):18～24.Topological Optimization of Continuum Structureswith V arious ConstraintsJ IAN G Yun 2zheng ,WAN G Zi 2hui ,CHU Ming 2jin(Department of Civil Engineering ,Y antai University ,Y antai 264005,China )Abstract :A optimization method described in this paper can be applied to the topological opti 2mization of continuum structures with various constraints perfectly.It performs the optimiza 2tion in two steps.First ,resolves the problem of which region in the elastic continuum should be deleted.Second ,locates the boundary of these regions.This method can be used to resolve the optimization problem of any kind of constraints.The final result of the topological optimization of continuum structures with various constraints of stress and dis placement by using the method described in this paper is perfect.Key words :topological optimization ;structure optimization ;continuum structures(责任编辑:柳瑞雪)・341・　第2期 江允正,等:具有多种约束的连续体结构拓扑优化。