第2卷第1期2011年2月航空工程进展A DV A N CES IN A ERON A U T ICA L SCIEN CE A N D EN GIN EERIN G Vo l 12N o 11Feb 1 2011收稿日期:2010-12-01; 修回日期:2011-01-20基金项目:教育部长江学者创新团队项目(Irt0906)通信作者:姚卫星,w xyao@文章编号:1674-8190(2011)01-001-12连续体结构拓扑优化方法评述夏天翔,姚卫星(南京航空航天大学飞行器先进设计技术国防重点学科实验室,南京 210016)摘 要:连续体结构拓扑优化在优化中能产生新的构型,对实现自动化智能结构设计具有重要意义。
目前,连续体结构拓扑优化方法主要有:均匀化方法、变厚度法、变密度法、渐进结构优化方法、水平集法、独立连续映射方法。
本文首先系统回顾了以上方法的发展历程,介绍了它们的研究现状。
其次,通过对比以上拓扑优化方法对若干典型算例的优化结果,表明以上方法都有较好的减重效果。
最后,对以上方法进行了总结,列出了它们的优缺点和发展方向。
关键词:拓扑优化;均匀化方法;变厚度法;变密度法;渐进结构优化方法;水平集法;独立连续映射方法中图分类号:V 211.7 文献标识码:AA Survey of Topology Optimization of Continuum Stru ctureXia Tianx iang ,Yao Weix ing(K ey L abor ator y of F undamental Science fo r N atio nal Defense -adv anced Design T echno lo gy of F lig htV ehicle,Nanjing U niver sity o f A eronautics and A st ronautics,N anjing 210016,China)Abstract:A s the to po log y optim izat ion o f continuum structure can pr oduce new config ur atio ns during the optim-i zatio n,it is significant for automatic str ucture design.A t present,the most commo nly used t opolo gy o ptimiza -t ion methods of continuum st ructur e ar e:the ho mog enization method,var iable t hickness method,v ariable dens-i t y metho d,evo lutio nar y str uctur al o pt imizatio n met ho d,lev el set metho d,independent co ntinuous mapping method.Firstly,the develo pment pro cesses of above metho ds ar e sy stematically review ed,their cur rent r e -sear ch is br iefly intro duced in this paper.T hen,these methods ar e com par ed and discussed t hr ough a number of typical ex amples.T he typical ex amples show that all of above methods have gr eat abilities to r educe w eig ht.F-i nally ,the adv ant ag es,disadv ant ag es and dev elo pment directio ns of abov e metho ds ar e discussed.Key words:to po lo gy o ptimization;homog enizat ion metho d;va riable thickness method;var iable density method;evolutionar y structure optimization metho d;lev el set method;independent continuo us mapping method0 引言按照设计变量的不同,结构优化可分为以下三个层次:尺寸优化、形状优化和拓扑优化。
结构拓扑优化能在给定的外载荷和边界条件下,通过改变结构拓扑使结构在满足约束的前提下性能达到最优。
与尺寸优化、形状优化相比,结构拓扑优化的经济效果更为明显,在优化中能产生新的构型,是结构实现自动化智能设计所必不可少的。
按照优化对象的性质,拓扑优化可分为离散体拓扑优化和连续体拓扑优化两种。
连续体拓扑优化与离散体拓扑优化相比,在应用范围更广的同时,模型描述困难,设计变量多,计算量大。
在过去很长一段时间里,连续体拓扑优化发展得十分缓慢,直到1988年Bendso e 等人[1]提出均匀化方法之后,它才得到了迅速发展。
目前,国内外学者对结构拓扑优化问题已经进行了大量研究[2-9]。
目前最常用的连续体拓扑优化方法有均匀化方法、变厚度法、变密度法、渐进结构优化方法(ESO)、水平集法(Level set)、独立连续映射方法(ICM)等。
从拓扑优化方法的基本思路来看,可以将它们分为两类:(1)改变优化对象的材料特性,主要包括均匀化方法和变密度法。
均匀化方法将结构变成多孔材料,而变密度法改变了结构的密度。
(2)改变优化对象的几何形状,主要包括变厚度法、ICM 法、ESO 法、水平集法。
变厚度法改变平面单元的厚度,而ICM 法和ESO 法通过删除或者增加单元。
近年来,拓扑优化在飞机设计领域应用日益广泛[10-14]。
本文首先介绍了以上几种优化方法的基本模型、改进模型和应用,然后用这些方法对三个典型算例进行了优化和分析比较,并进行了讨论。
1 拓扑优化方法回顾1.1 均匀化方法1988年,Bendsoe 等人提出了均匀化方法,虽然最初此方法在作者看来是一种形状优化方法。
其基本思想是在拓扑优化中引入所谓微结构,该方法以空孔尺寸为设计变量,以空孔尺寸的消长实现微结构的增删,从而改变结构拓扑。
均匀化方法含有矩形或正方形孔的正方形单元,如图1所示。
¹º» ¼图1 四种微结构形式F ig.1 Four kinds of micr ostructureBendso e 给出了以结构柔度最小为目标的拓扑优化模型 find a i (i =1,2,,,n) min Cs.t .V [V max(1)式中:a i 为微结构中正方形孔的边长(如图1所示);C 为结构柔度;V 为结构实际体积;V max 为给定的结构最大体积。
Bendsoe 还对比分析了的四种微结构形式,结果发现:增加变量可以提高计算精度,但不能明显减小优化结果的柔度;增加孔的旋转角度变量可以在一定程度上减小中间值的存在。
因此,为了保证计算精度往往最多为每个单元设置三个变量。
由于Bendsoe 使用了数学规划法求解,变量增多会造成求解更加复杂费时。
运用以上的优化模型,Bendsoe 对受单一工况作用的平板进行了拓扑优化设计。
之后,Diaz 等人[15-16]在均匀化法中引入权重因子,解决了多工况下的平面结构拓扑优化和频率优化问题。
O-l ho ff [17]基于CAD,将拓扑、形状、尺寸优化进行了整合。
Sigm und [18]将均匀化方法运用到复合材料设计中,通过对微结构进行拓扑优化得到了有良好力学特性的复合材料。
针对上述情况,一些学者对均匀化方法进行了改进。
Suzuki 等人[19]采用形式四的微结构形式,推导出a 、b 、H 的迭代公式,然后使用优化准则法求解,从而使模型求解更加简单。
Bendsoe 等人[1]运用平滑处理消除结果中的孔洞,使优化结果更为光滑。
均匀化方法提出之后,连续体拓扑优化得到了迅速发展。
该方法理论严谨、直观,在早期连续体拓扑优化中起到了重要作用。
近年来,国内外学者主要将其用于柔性机构拓扑优化设计[20-26]和复合材料拓扑优化设计[27-29]中。
1.2 变厚度法变厚度法以单元厚度为设计变量,通过删除厚度处于尺寸下限的单元实现结构拓扑的变更。
其优化模型如下: find h i (i =1,2,,,n) min V =E ni=1h i sis.t.R i [Rh i I (0,h 0)(2)式中:h i 为第i 个单元的厚度;s i 为单元的面积;R i 为第i 个单元的应力;h 0为单元厚度的上限。
基于变厚度法,Tenek 等人[30]对薄壳结构进行2航空工程进展 第2卷了拓扑优化的研究;程耿东等人[31]对平面膜结构进行了拓扑优化的研究;周克民等人[32]对平面体拓扑优化进行了总结,提出用变厚度有限单元求解平面连续体拓扑优化问题;王健等人[33]研究了具有应力和厚度约束的平面结构拓扑优化问题。
变厚度法避免了均匀化方法中构造微结构的麻烦,因此可以较为方便地解决平面拓扑优化问题。
但是,由于它把拓扑变量挂靠在低层次的单元厚度上,将连续体拓扑优化问题转化为广义尺寸优化问题,因此无法运用于三维结构中。
1.3变密度法Mlejnek等人[34]根据均匀化方法提出了变密度法。
其基本思想:定义取值范围为[0,1]的相对密度L,将优化目标用相对密度L的显性函数表示,然后运用数学规划法或优化准则法求解。
Mlejnek给出了以结构柔度最小为目标,以质量保留百分比为约束的变密度拓扑优化模型find L i(i=1,2,,,n)min m ax1[j[pC js.t.E ni=1L i Q0V0im0[A0[L i[1(3)式中:L i为第i个单元的相对密度;p为工况总数; Q0为单元原始密度;V0i为第i个单元的体积;m0为所有单元取原始密度时的结构总质量,可定义为结构原始质量;A定义为质量保留百分比,是优化结果的结构质量与结构原始质量的比值。
运用以上模型,M lejnek成功解决了多工况下平面和立体结构的拓扑优化问题。
变密度法主要存在以下几点不足:(1)由于优化过程中不直接删除材料,所以单元的相对密度在[0,1]上均有分布。
对于具有中等大小相对密度(即中间密度)的单元,是否删除就变得难以抉择;(2)以柔度最小为优化目标,在解决含有强度和刚度约束的优化问题时不够方便;(3)对于优化结果,需要人为设置阀值,将相对密度小于阀值的单元删除。