速递推算出。
hm [ n ]= hm [ 0 ];
}
hp [ 0 ]= 1; hp [ 1 ]= 1; n= 2～ p {k= n- 2～ 0 {hp [k+ 1 ]= (hp [k+ 1 ]+ hp [ k ]) 2; } hp [ 0 ]= hp [ 0 ] 2; hp [n ]= hp [ 0 ]; }
摘要 B d 小波是以基数 B 样条为平滑函数的导数小波, 它 件的二进小波, 但它们满足的频域方程在形式上与
们在许多方面都优于现有的高斯序列导数小波与M allat 导 数小波, 可广泛应用于信号分析, 模式识别, 故障诊断, 数据 压缩, 信噪分离等场合。文中详细介绍了如何快速计算B d 小 波的滤波参数与采用 B d 小波的小波变换, 如何从时域特性 与频域特性两方面选择所需的 B d 小波。
生成M A R 的二尺度方程完全相同。有相移时B d 小
波满足的频域方程形式为
Bδm (Ξ) = H m (Ξ 2)Bδm (Ξ 2)
(1)
7δm p (Ξ) = Gm p (Ξ 2)Bδm (Ξ 2)
(2)
式中
Bδm (Ξ) =
[
(1+
e-
iΞ 2) (1iΞ
e- iΞ 2) ]m =
Chen X iangxun E lect ric Pow er R esea rch In st itu te, Sta te Pow er Co rpo ra t i5 Ch ina
ABSTRACT B d w avelets refer to a k ind of deriva tive w avelets ba sed on ca rd ina l B 2sp lines. In m any resp ects th is k ind of w avelets is m o re sup erio r than ex isting deriva tive w avelets such a s Gau ssian function2ba sed ones and M a lla t’s ones. T hey can be u sed fo r signa l ana lysis, p a ttern iden tifica tion, fa ilu re d iagno sis, da ta com p ression, no ise reduction, etc. T h is p ap er describes in deta il how to ca lcu la te filter coefficien ts of B d w avelets qu ick ly, how to
笔者在文献[ 9 ]文中构造了一类既可替代高斯 序列小波, 又具有快速算法, 同时还具有高斯序列小 波不具有的一些更灵活的导数小波, 即基数 B 样条 导数小波, 简称B d 小波。本文详细说明这类小波的 滤波参数与小波变换的快速算法, 并说明如何从频 域与时域两方面选择这类小波。
im p lem en t w avelet tran sfo rm w ith B d w avelets qu ick ly, and how to choo se a desirab le B d w avelet bo th in tim e2dom a in and frequency2dom a in.
[ kp ]; } T = - T; }
} B d 小波滤波参数的计算简单快速, 使用时只需 将这段程序编入小波变换程序, 然后输入选定的 m 和 p 值即可。
4 Bd 小波的快速变换算法
由于 B d 小波满足的频域方程与生成M RA 的
二尺度方程形式相同, 因此可采用相应的快速变换
算法, 如M a lla t 算法[8], 如同M a lla t 样条小波不考
关键词 B d 小波 导数小波 快速小波变换 小波滤波器 设计
1 前言
平滑函数导数型小波是一种使用十分广泛的实 用小波。 这类小波构成容易, 可检测信号极值点、拐 点、边缘、尖锐变化部分、局部正则度、局部奇异性等 反映信号重要特征的特征量, 其检测结果还具有某 些场合必须具备的平移不变性, 因此被广泛应用于 信号特征的提取与识别, 数据压缩, 去噪等场合。
KEY WO RD S B d w avelets; deriva tive w avelets; fa st w avelet tran sfo rm ; w avelet filter bank design
2 Bd 小波基本公式
B d 小波 7 m p 是 m + p 阶基数 B 样条 B m + p 的 p 阶导数。它们虽然只是不满足多分辨分析 (M RA ) 条
(
iΞ) 2
p
e i (M
+
p
)
Ξ
2
( 1-
eiΞ
iΞ)
)m
+
p
=
ip sinp (Ξ 2)
sin (Ξ 2) Ξ2
m
=
ei(M + p ) Ξ 27δm p (Ξ)
H
0 m
(Ξ
2) =
H
0 m
(z
)
=
z- M
2
(
1+ 2
z
)m
=
z - M 2H m (z )
(7)
Gm0 p (Ξ 2) = Gm0 p (z ) = z - (2p + M ) 2Gm p (z )
6 6 x m + 1 (n) = h ( l- 2n) x m ( l) = h (k ) x m (k + 2n)
l
k
6 6 w m + 1 (n) = g ( l- 2n) x m ( l) = g (k ) x m (k + 2n)
l
k
式中 h (·) 代表 hm (·) 或 hm0 (·) , g (·) 代表 gm p
m 与 p 给定后, hm (k ) 与 gm p (k ) 可用以下程序 快速计算:
(·)
或
g
0 m
p
(·)
, xm (n) 与 w m (n) , xm+ 1 (n) 与 w m+ 1
(n) 分别是信号在 2m 尺度下与 2m + 1尺度下的近似分
hm [ 0 ]= 1; hm [ 1 ]= 1;
量系数与细节分量系数, 后者即为信号在该尺度下
n= 2～ m
的小波变换系数。
{k= n- 2～ 0 {hm [ k+ 1 ]= (hm [ k+ 1 ]+ hm [ k ]) 2; }
5 Bd 小波的选择
hm [ 0 ]= hm [ 0 ] 2;
选择任何小波须根据被分析信号的特点与要求
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
第 23 卷 第 1999 年 8
月8 期 Pow
电 网 技 术 er System T echno
lo
gy VAoul.g.2 3 N19o.998
Bd 小波的滤波参数与小波变换快速算法
陈祥训
中国电力科学研究院, 100085 北京清河
FAST AL GO R ITHM S O F F IL TER CO EFF IC IENTS AND W AVEL ET TRANSFO RM FO R Bd W AVEL ETS
(6)
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第 23 卷 第 8 期
电 网 技 术
45
式中 Bδm0 (Ξ) = eiM Ξ 2Bδm (Ξ) 7δm0 p (Ξ) = 2- p ( iΞ) pBδm0 + p (Ξ) =
虑修正因子时所采用的快速变换算法那样[5]。用B d
小波进行小波变换时不妨将 B m
与
B
0 m
看作某种形
式的尺度函数,
将
H
m
(z
)
与
H
0 m
(z
)
看作它们对应的
低通滤波器。 信号 x ( t) 相对于 B d 小波的小波变换
快速算法步骤为
无相移时, 若 m 为偶数, 则在进行小波变换时 将 hm (k ) 与 gm p (k ) 分别后移 m 2 位与 (2p + m ) 2 位; 若 m 为奇数, 则在进行小波变换时将 hm (k ) 与 gm p (k ) 分别后移 (m + 1) 2 位与 (2p + m + 1) 2 位。
(8)
当m 为偶数时,M = m ; 当 m 为奇数时,M = m + 1。
3 Bd 小波的滤波参数
设B d 小 波 的 滤 波 器 组 H m ( z ) , Gm p ( z ) 与
H
0 m
(z ) , Gm0 p
(z ) 对应的时域滤波参数分别为
hm
(k) ,
gm p
(k )
与
hm0
(k )
,
g
0 m
p
(k )。这里
h
(k )
,
g
(k )
与H
(z ) , G
(z ) 的关系为
6 H (z ) = h (k ) z k
(9)
k ∈z
6 G (z ) = g (k ) z k
(10)
k ∈z
有相移时
hm (k ) = 2- m m (k = 0, 1, 2, …, m ) (11)