c j [k] = ∑h0[i − 2k] ⋅ c j+1[i] d j [k] = ∑h1[i − 2k] ⋅ c j+1[i]
i
小波与滤波器组
i
小波变换与滤波器组
离散小波变换的分解算法
h0[−k]
cj+1[k]
y0[k] 2
V j+1 = V j ⊕W j
cj[k]=y0[2k]
h1[−k]
y1[k]
i
ψ ( 2 j t − k ) = ∑ h1 [i − 2 k ] 2 ⋅ ϕ ( 2 j +1 t − i )
x (t ) ∈V j +1
i
x (t ) =
∑ c j +1 [ k ] ⋅ 2
k
j/2
( j +1 ) / 2
ϕ ( 2 j +1 t − k )
Vj+1 =Vj ⊕Wj
x(t) =
信号频域表达的时频分辨率
小波变换与滤波器组
小波变换的时频分析
f
f
t
t
小波与滤波器组
信号STFT的时频分辨率 的时频分辨率 信号
信号DWT的时频分辨率 的时频分辨率 信号
小波变换与滤波器组
小波变换的时频分析 小波基函数具有非唯一性， 小波基函数具有非唯一性，这使得小波分 析具有更广泛的适应性， 析具有更广泛的适应性，可实现对于不同特性 的信号采用不同的小波基信号， 的信号采用不同的小波基信号，从而使得变换 后的小波系数更稀散， 后的小波系数更稀散，更加易于信号分析和处 理。因此，小波分析有其独特的优点，特别对 因此，小波分析有其独特的优点， 于非平稳的信号，有着明显的优越性。 于非平稳的信号，有着明显的优越性。
数字信号处理
(Digital Signal Processing) Processing)
信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地
信号时频分析
问题的提出 短时傅里叶变换 小波展开与小波变换 小波变换与多分辨分析 小波变换与滤波器组 基于小波的信号处理及应用
小波变换与滤波器组
离散小波变换的分解算法 离散小波反变换的重构算法 小波变换的时频分析
离散小波变换的分解算法 离散小波反变换的重构算法 小波变换的时频分析
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
离散小波变换的分解算法
ϕ(t)的MRA方程： ϕ (t ) = ∑ h0 [n] 2 ⋅ ϕ (2t − n) MRA方程 方程：
n
ψ(t)的MRA方程： ψ ( t ) = ∑ h1 [ n ] 2 ⋅ ϕ ( 2t − n ) MRA方程 方程：
h1[ k]
IDWT二级重构算法框图 二级重构算法框图
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
小波变换的时频分析
信号x(t)小波变换可以由信号的抽样序列 j+1[k]经过 小波变换可以由信号的抽样序列c 信号 小波变换可以由信号的抽样序列 经过 滤波器组h − 和 − 而实现 而实现， 滤波器组 0[−n]和h1[−n]而实现，因此可从频域信号滤波 的概念来理解信号的小波变换， 的概念来理解信号的小波变换 ， 且可从滤波器组的理论 来阐述信号小波变换的时频特性。 来阐述信号小波变换的时频特性。 设数字滤波器h − 和 − 对应的系统函数分别为 设数字滤波器 0[−n]和h1[−n]对应的系统函数分别为 H0(z)和H1(z)，频率特性分别为 0(ejΩ)和H1(ejΩ)。 和 ，频率特性分别为H 和 。
d j [ k ] = x (t ),ψ j , k (t ) = ∫ x (t ) ⋅ 2 j / 2ψ ( 2 j t − k )dt
c j [ k ] = ∑ h[i − 2k ] ⋅ ∫ x(t ) ⋅ 2 ( j +1) / 2 ϕ ( 2 j +1 t − i )dt
i
c j +1[i ] = ∫ x(t ) ⋅ 2( j +1) / 2 ϕ (2 j +1 t − i )dt
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
信号的DWT并不是直接由ϕ(t)与ψ(t)经信号内积来实现， 并不是直接由 经信号内积来实现， 信号的 与 经信号内积来实现 而是利用h 来实现。 而是利用 0[n]和h1[n]来实现。 其将信号的小波展开系数 j[k] 和 来实现 其将信号的小波展开系数c 看作是离散信号， 看作是数字滤波器， 和dj[k]看作是离散信号， h0[n]和h1[n]看作是数字滤波器， 从 看作是离散信号 和 看作是数字滤波器 而建立小波变换与滤波器组(filter bank)之间的关系，由滤波 之间的关系， 而建立小波变换与滤波器组 之间的关系 器组的理论来实现信号小波分析。 器组的理论来实现信号小波分析。
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
小波变换的时频分析
H0(z) H0(z) H0 (z) c+1[k] J H1(z) ↓2 ↓2 H1 (z) ↓2 ↓2 H1(z) ↓2 d −2[k] [k J d −1[k] J d [k] J ↓2 c −2[k] J
信号DWT的三级分解算法树型结构 的三级分解算法树型结构 信号
2
dj[k]=y1[2k]
∑ h 0 [ i − k ] ⋅ c j +1 [ i ] i y 1 [ k ] = ∑ h1 [i − k ] ⋅ c j +1 [i ]
y 0 [k ] =
i
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
离散小波变换的分解算法
V j +1 = V j ⊕ W j = V j −1 ⊕ W j −1 ⊕ W j
J −1
H (1) ( z ) = H 0 ( z ) H 0 ( z 2 ) H 1 ( z 4 )
(1)
(2)
H ( 2) ( z ) = H 0 ( z ) H 1 ( z 2 ) dJ −1[k] (W )
(3)
H ( 3) ( z ) = H 1 ( z ) dJ [k] ( WJ )
信号DWT的三级分解算法等效的简化结构 的三级分解算法等效的简化结构 信号
∑
k
c j [k] ⋅ 2 ϕ(2 j t − k) +
小波与滤波器组
∑
k
d j [k] ⋅ 2 j / 2ψ (2 j t − k)
小波变换与滤波器组
离散小波变换的分解算法
c j [ k ] = x (t ), ϕ j ,k (t ) = ∫ x (t ) ⋅ 2 j / 2 ϕ ( 2 j t − k )dt
cj [k]
2
h0 [ k]
+
d j [k]
2
cj+1[k] [k
h1[k]
IDWT一级重构算法框图 一级重构算法框图
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
离散小波反变换的重构算法
cj−1[k]
↑2 h0[k]
+
d j−1[k]
↑2
c j [k]
↑2
h0[k ]
h1[ k]
+
dj[k]
↑2
cj+1[k]
V j +1 = V j ⊕ W j
x ( t ) = ∑ c j +1 [ k ] ⋅ 2
k
( j +1) / 2
ϕ ( 2 j +1 t − k )
x(t) = ∑cj [k]⋅ 2 ϕ(2 j t −k) + ∑d j [k]⋅ 2 j / 2ψ(2 j t −k)
j /2 k k
x(t) =
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
数字滤波器h 数字滤波器 0[-n]和h1[-n]的频率特性 和 的频率特性
分解算法中滤波器组的频域分析
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
小波变换的时频分析
信号DWT的分布 信号 的分布
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
小波变换的时频分析
f
f
t
t
小波与滤波器组
信号时域表达的时频分辨率
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
小波变换的时频分析
H ( 0) ( z ) = H 0 ( z ) H 0 ( z 2 ) H 0 ( z 4 )
H ( V +1 ) J c +1 [k] J H H H
(0)
(z) (z) (z) (z)
↓8 ↓8 ↓4 ↓2
cJ −2[k] dJ −2[k]
( VJ −2 ) (WJ −2 )
n
t →(2 j t − k)
ϕ ( 2 j t − k ) = ∑ h 0 [ n ] 2 ⋅ ϕ ( 2 j +1 t − 2 k − n )
n
ψ (2 j t − k ) =
h1 [ n ] 2 ⋅ ϕ ( 2 j +1 t − 2 k − n ) ∑
n
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
离散小波变换的分解算法 i = 2k + n ϕ (2 j t − k ) = ∑ h0 [i − 2k ] 2 ⋅ ϕ (2 j +1 t − i )
h0[−k]
↓2
cj−1[k]
h0[−k]
cj+1[k]
h1[−k]
↓2
cj [k]
h1[−k]
↓2
d j−1[k]
dj [k]
↓2
小波变换的分解(Analysis)算法（Mallat算法） 算法（ 算法） 小波变换的分解 算法 算法
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
离散小波反变换的重构算法
x (t ) ∈V j +1