Monte Carlo方法模拟及其应用沈合平（上海大学材料学院学院，上海200072）摘要：扫描电子显微学中使用二次电子和背散射电子作为成像信号时遇到了一些问题，通过计算机模拟可以很好地解决这些问题.本文首先介绍了Monte Carlo方法，再介绍了Monte Carlo方法在扫描电镜模拟中的应用，并且总结了计算机模拟的发展方向。
关键词：扫描电子显微镜；衬度；Monte Carlo；计算机；模拟Abstract:Scanning electron microscopy using the secondary electron and backscattered electron imaging signal as many problems encountered,which can be solved by computer simulation.This paper describes the Monte Carlo method, and then introduced the Monte Carlo method in the simulation of a scanning electron microscope, and summed up the direction of the computer simulation.Keywords:SEM;Contrast;Monte Carlo;computer;simulation1. 引言扫描电子显微学中使用二次电子和背散射电子作为成像信号。
对于研究材料的表面形貌非常重要。
低能二次电子主要反映试样的表面形貌特征,而较高能量的背散射电子既可在一定程度上反映试样的表面特征,也可表征试样的内部成分和结构差异。
多数二次电子的能量很小,从表面发射时的峰值能量仅为数eV,故其在材料内部的运动范围有限,只有那些在表面附近产生的二次电子才能从试样表面发射出来。
二次电子主要用于表征试样的表面形貌特征。
而具有较高能量的背散射电子则是入射电子在深入试样的内部后由于多次散射效应再从表面发射出来的那些电子,它们既包含试样的表面信息,也含有试样结构差异和内部成分的信息。
当用场发射扫描电镜观察数十纳米尺度以下的小颗粒时,衬度与大尺度颗粒的情形相差很大,二次电子图像仅仅呈现出一些亮点和较弱的光点,而背散射电子图像则显示大量的亮点,因此难以判定颗粒在基底表面的分布情况。
由于该颗粒/基底体系的扫描电镜图像衬度的形成机制较为复杂[1,2],尚未得到理解,因而限制了从SEM图像中提取出有用信息。
如果能模拟计算二次电子和背散射电子信号产生的过程,将有助于理解扫描电子显微镜的成像和图像衬度机理。
因此,研究者们利用电子散射轨迹模拟的Monte Carlo方法已做了一些研究,如Gauvin[3]模拟了一个嵌入到均匀基底内的球的背散射电子像和X射线像;Radzimski和Russ[4]基于利用Rutherford散射截面和Bethe阻止本领的单散射模型,模拟了多层多元素试样在二维方向上表面形貌的背散射电子像;而Yan和Gomati[5]则开发了一个三维的Monte Carlo程序用来模拟一些比较复杂试样的背散射电子和Auger电子像,但这个程序也要求试样的几何结构必须能被解析地表达出来,所以能模拟的情形仍然有限。
特别是这些研究中还不能得到二次电子像,主要原因是因为计算二次电子发射的产额相当困难。
因此,无论从计算方法还是从应用前景,模拟成分非均匀和形貌特殊的试样成像(特别是二次电子像)均成为有重要意义的研究工作。
2.Monte Carlo方法Monte Carlo 方法是在二战期间产生和发展起来的。
他的奠基者是美籍匈牙利人数学家冯诺伊曼（J.Von Neumann 1903-1957）。
作为Monte Carlo 方法的最初应用，是解决蒲丰氏问题。
1777 年，法国数学家Buffon 提出利用投针实验求解的问题。
Monte Carlo 方法，又名随机模拟法（stochastic sim－ulation）或统计实验法[6]。
它是以概率统计理论为基础，依据大数定律（样本均值替代总体均值），利用电子计算机数字模拟技术，解决一些很难直接用数学运算求解或用其他方法不能解决的复杂问题的一种近似计算法。
2.1 Monte Carlo 方法基本原理Monte Carlo方法是一种通过产生一系列的随机数来模拟物理过程的计算模拟方法,特别适用于基于统计力学和量子力学等领域内的复杂问题。
在电子显微学中,它可用来有效地模拟电子在试样内部和表面附近的散射和输运过程,从而得到二次电子和背散射电子的信号。
用这种方法进行电子散射轨迹模拟时,需要计算运动电子在散射时的散射角、方位角、能量损失及步长等,这些物理量均可通过对相应的散射截面或分布函数进行随机抽样而得到。
电子散射分为弹性散射和非弹性散射两种,其中弹性散射的角分布等可以用Mott截面来求得。
电子在固体中运动时由于与固体原子和电子的碰撞会发生多次散射,按照电子在散射时是否有能量损失可区分为两种散射机制:没有能量损失的为弹性散射,有能量损失的为非弹性散射。
总散射截面为弹性散射截面和非弹性散射截面之和,它与平均自由程成反比。
对于弹性散射事件,根据散射角分布的微分散射截面,可抽样得到该次散射事件中的散射角,以此确定电子在碰撞后运动方向的偏转。
对于非弹性散射事件,根据能量损失的微分散射截面,抽样得到该次散射事件中的能量损失,从而确定电子在经过非弹性散射事件后能量的降低,进而由能量损失和散射角的双重微分散射截面,确定与能量损失相对应的该次散射事件中的散射角。
单个电子经历的散射事件在空间中的连线形成单条电子轨迹,而Monte Carlo方法要求对每个给定的实验条件(电子束能量、角度等)计算大量电子轨迹,降低随机性造成的结果不确定性,以求得统计上具有真正物理意义的计算结果。
基本思想是通过模拟电子在样品中的运动轨迹而研究入射电子束与样品的相互作用和信号的产生过程,每条轨迹由空间中多次离散的散射事件相联而成。
在应用于扫描电子显微学时，需对样品表面选定的区域逐点计算一定数目的入射电子轨迹,以求得对应象素的背散射电子或二次电子信号强度,由此得到像衬度。
2.2 弹性散射截面电子与原子间的碰撞是弹性相互作用,散射时电子仅仅有运动方向的变化,不存在能量损失。
高能情况下Rutherford截面是个很好的近似,但对于keV量级或更低能的电子,需用相对论性的量子力学微分散射截面即Mott散射截面[7]:上试中：其中,P l(cosθ)和P11(cosθ)分别是Legendre函数和一阶联带Legendre函数。
δ+l和δ1-分别是l阶自旋向上和向下的相移,它们是通过数值求解散射电子在原子势场中的径向狄拉克方程而得到[8]。
2.3 非弹性散射截面对于固体中电子态激发的非弹性散射，非弹性散射为电子与电子间的相互作用,主要机制源于原子电离、带间跃迁、价层单电子激发和等离子体元激发。
热漫散射引起的能量损失和散射角对于自厚样品的背散射可以忽略不计。
描述电子的非弹性散射原则上需要知道关于能量损失和动量转移的双重微分截面,而动量转移与散射角有关联。
按照介电函数理论,非弹性散射双重微分截面可用能量损失函数模型[9]来表示:试中：hω和hq分别为散射电子的能量损失和动量转移,E是电子动能,ε(q,ω)为介电函数,λin是电子的非弹性散射平均自由程。
这个模型包括了电子能量损失的所有主要过程,如带间跃迁、体等离子体激元激发和内壳层电离,且由于采用实验测量的能量损失函数,模拟结果会更符合于真实材料中的实际情况。
对于电子在固体内的非弹性散射,由于有能量损失,此时不仅需要考虑运动电子散射后的方向改变,还需要计算散射时能量损失的大小以及激发的二次电子的能量及运动方向等。
相应的双重非弹性散射微分截面为:试中：ΔE和立体角的积分即为总的非弹性散射截面或非弹性散射平均自由程倒数,仅对立体角的积分为能量损失截面。
模拟前,和弹性散射截面情形类似,需要将该能量损失截面转化为用总截面归一化的累积函数表的形式,方便于用随机数取出对应的能量损失值。
对每个能量损失值,还需要对(5)式中的立体角积分,给出散射角的累积函数表,以便于再用随机数确定与该能量损失值相对应的散射角度值。
由于非弹性散射的机制是电子态激发,它与具体材料的电子结构密切相关。
对非单元素样品,一般不能由各组成元素的能量损失函数或截面按成分浓度进行线性叠加,而得到总的能量损失函数或非弹性散射截面。
只有对合金等特殊情形可以这样做,即认为电子态激发是原子性的,这时,对每种元素都要给出与能量损失和散射角相关的累积函数表,在模拟时还要首先进行离散抽样,得到进行非弹性散射的元素类别。
对化合物,原则上由该物质的能量损失函数直接得到总的非弹性散射截面,不再需要对构成元素进行区别。
3.步长的算法3.1 步长的修正步长即为让一个数值在每次运算中加上某个数（此即步长）重复执行此项运算。
电子的运动轨迹是由电子在样品内部多次散射形成的,在连续两次散射之间,需要确定电子的飞行步长，在均匀物质的步长公式,s= —λlnξ，但是在非均匀材料里,当一个步长穿过若干种不同的材料区域时,我们把每种材料区域中的lζ(即经过路径长度与该种材料的总散射截面的积)依次相加，需要引入步长的一般计算公式[10]：f(s)是电子两次散射之间距离为s的几率密,ζ(s)为总散射截面(弹性散射截面与非弹性散射截面之和).对s的随机抽样用一个0到1之间的随机数R表示为:由于截面仅仅依赖于此处的物质成分及运动电子的能量,对由块状局域均匀的物质来说,每个块内的截面都是一个恒定值,此时公式(7)可以简化为离散形式:T i是电子在第i个块内所走的距离.3.2 步长的计算先设置一个初始值0的变量C,然后利用循环计算C=C+ζi T i,并判断是否满足C≥-lnξ,如果当i=m满足条件时则退出循环,步长s为:（9）如果循环执行完最大求和项数m后仍没有满足条件C≥-lnξ,说明存在两种情况:如果此时电子的运动方向朝向真空,电子将射出表面,步长为:（10）否则电子将在所有构造体之外的基底内发生散射,步长为:(11)3.3 电子束宽修正由模拟计算可以得到背散射电子(E>50eV)和真二次电子(E<50eV)的产额,沿一维方向或二维方向改变无限小束宽的入射电子束位置就得到对应的背散射电子信号和二次电子信号的线扫描或面扫描图像。
考虑到实验中入射电子束都有一定宽度(~1nm),采用描写电子束宽的高斯分布函数对二次电子和背散射电子图像进行卷积修正,从而得到可与实验进行直接比较的图像。
4. Monte Carlo方法模拟的应用4.1 Monte Carlo模拟有特殊几何边界试样的扫描电镜成像衬度采用Monte Carlo计算模拟方法可以研究电子在有几何边界的试样表面附近及内部的相互作用过程[11],从而得到二次电子和背散射电子信号的各种分布,这将有助于理解扫描电子显微镜的成像机制和图像衬度机理。