k 0.
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和.
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
例如
D
a21
a22
(a2i a2 i ) a2n
an1 an2 (ani an i ) ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a1i a1n a11 a1i a1nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
a21
a2i
a2n
a21
a2i
a2n
an1 ani ann an1 an i ann
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以
同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行
列式不变．
a11 a1i a1 j a1n
线性代数第一章节演示文稿
（优选）线性代数第一章节
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
bmm an1
ann
an1
ann
例5 设D为n阶行列式，假设它的元素满足
aij a ji (i, j 1,2, , n),这种行列式称为反对称行列式，
当n为奇数时，D 0
0
a12
a13
a1n
反对称行列式的形式为： a12 0
a23
a2n
D a13 a23 0
a3n
a1n a2n a3n
0
由性质1 D DT (1)n D n为奇数时，得D D,因而D 0.
ak1 c11
akk c1k
b11
b1n
cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 det(aij )
, D2 det(bij )
,
ak1 akk
bn1 bnn
证明 D D1D2 .
证明
对 D1 作运算 ri krj，把 D1 化为下三角形行列式
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 123 M 23 M 23 .
1.5.2 行列式按行（列）展开法则
定理1 行列式D等于其任意一行（列）的元素与它的 代数余子式的乘积之和，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 a1i A1 j a2i A2 j
ain Ajn 0(i j) ani Anj 0(i j)
综上所述，可得到代数余子式的一个重要结论：
ri rj : 表示行列式的第j 行乘以后加到第i 行； ci c j : 表示行列式的第j 列乘以后加到第i 列；
ri rj : 表示互换行列式的两行； ci c j : 表示互换行列式的两列；
ri : 表示行列式的第i 行乘以；
r(i) : 表示行列式按第i 行展开； c(i) : 表示行列式按第i 列展开；
a n 1b a b b
D a n 1b b a b
a n 1b b b a
1 b bb
1 a bb
a (n 1)b 1 b a b
1 b ba 1b bb
ab
a (n 1)b
0 a b
a (n 1)b(a b)n1.
0 ab
a11 a1k
0
例4
设
D
p11
0
设为 D1
p11 pkk ;
pk1 pkk
对 D2 作运算 ci kc j ,把 D2 化为下三角形行列式
q11
0
设为 D2
q11 qnn .
qn1 pnk
对 D 的前 k 行作运算 ri krj，再对后 n 列作运 算 ci kc j ,把 D 化为下三角形行列式
例１ 计算
1 1 0 2 0 1 1 2 D 1 2 1 0 2 1 10
D 4
a1 a1 0 0
例2 计算
0 D
0
a2 0
a2 a3
0 a3
D 4a1a2a3
11 1 1
abb
b
bab
b
例3 计算 n 阶行列式 D b b a
b
bbb
a
解 将第 2,3,,n 都加到第一列得
a n 1b b b b
1.5 行列式按行（列）展开
1.5.1 余子式，代数余子式定义
定义1：在 n 阶行列式中，把元素aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫
做元素 aij的余子式，记作M ij .
记 Aij 1i j Mij，叫做元素 aij 的代数余子式．
例如
a a a a 11
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 D a1 j A1 j a2 j A2 j
n
ain Ain aik Aik (i 1, 2, , n) k 1
n
anj Anj akj Akj ( j 1, 2, , n) k 1
推论 行列式的某一行（列）的各元素与另外一行 （列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。
p11
0
D
pk1 c11
pkk c1k
q11
,
cn1 cnk qn1 qnn
故 D p11 pkk q11 qnn D1 D2 .
同理：
O
b11
b1m
D a11
bm1
bmm
a1n
O
an1
ann
b11
b1m
*
bm1
bmm (1)mn b11
b1m a11
a1n
a11
a1n
O
bm1
例如
a21 a2i k a2 j a2 j
an1 ani anj anj
a11
(a1i ka1 j )
a1 j
a1n
ri krj a21
(a2i ka2 j )
a2 j
a2 j
an1
(ani kanj )
anj
anj
二、应用举例
我们将应用行列式性质来计算行列式，我们约定：
r : 表示行列式的行； c : 表示行列式的列；
推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外面．
推论2 如果行列式中有一行(列)元素全为零，则此行 列式的值为零.
推论3 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零．
证明 a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
ai1 ai2 ain