对流传递 ——由于流体质点的宏观流动引起， 是动量的主体流动过程。
2.1 动量传递概述
1.分子动量传递
分子动量传递的通量由牛顿黏性定律描述： dux d（ ux） yx = dy dy
2.1 动量传递概述
2.涡流动量传递
涡流中大小不等的微团在各流层之间交换。 1877年，波希尼斯克（boussinesq）提出了涡流 通量表达式 d( ux ) r
第二章 动量传递的微分方程
本章先讨论动量传递的基本概念，动量传
递的基本方式：扩散传递和对流动量传递。然
后推导不考虑组分浓度变化的连续性方程和动
量传递的微分方程——运动方程。
2.1 动量传递概述
分子传递 —— 因流场中存在速度 梯度，分子随机运动引 扩散传递 起的动量传递过程。 动量 传递
涡流传递 ——湍流中质点的随机 脉动引起的动量传递。
ux ux
ux dA
第二章 动量传递的变化方程
2.2 连续性方程
一、连续性方程的推导 二、连续性方程的分析和简化 三、柱坐标与球坐标系方程
一、 连续性方程的推导
对单组分流体系统（如水）或组成均匀的多组 分混合物系统（如空气）中，运用质量守恒原理进 行微分质量衡算，所得方程称为连续性方程。 质量守恒定律 流入质量速率—流出质量速率＝积累质量速率 采用欧拉观点 在流场中选一微分控制体。
一、 连续性方程的推导
空间M（x,y,z）点处取微元控制体 dV=dxdydz u x, y, z, 该点流速：
ux
( ux ) x
流体密度： x, y,z, 设流体在M点的质量 通量为 u u 在坐标x,y,z方向分量： 微分质量衡算 ux，uy，uz uz 。 u 沿坐标x,y,z方向分量： ux、 u y、
dV
ux u y uz dV x x x V V
ux u y uz x x x V
dV un dA A
高斯（Gauss）定理
高斯定理
设空间有界闭合区域Ω，其边界∂Ω为分片光 滑闭曲面。函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)及其 一阶偏导数在Ω上连续，则
一、 连续性方程的推导
同理，可得 y，z方向流出与流入微元控制体
的质量流率之差为：
[uy ( u y ) y dy ]dxdz u y dxdz
( uz ) z
( u y ) y
dxdydz
( uz ) z
（2-4）
dxdydz
ux
( ux ) x
yx ——表示x方向的动量在y方向的通量
r
yx

dy
2.1 动量传递概述
3.对流动量传递
对流动量传递是由于流体的宏观流动引起的。在 流场中取一微元面积 dA , 流体在该微元上的流速为 ux , 且 ux 与微元面垂直，设流体的密度为 ， 则以 对流方式通过 dA 的动量通量为：
1 1 1 2 2 r ur u sin u 0 ， r sin r sin r r
思考题：
请推导出柱坐标系与球坐标系连续性方程
推导方法: ① 取空间微元体(微柱\微球)； ② 对微元体作质量流量衡量计算； ③ 质量衡算，整理即得。
不同坐标系中的连续方程
直角坐标系(x,y,z) u x u y u z 0 x y z 柱坐标系(r,θ ,z) 1 1 ru r u u z 0 ， r r r z 球坐标系(r,φ, θ)
向量形式
u 0
思考题：

三、柱坐标与球坐标系方程
1. 柱坐标系
ρ 1 1 ( ρ ru r ) ( ρuθ ) ( ρu z ) 0 ' θ r r r θ z
θ －时间； r －径向座标； z －轴向座标； θ－方位角； ur , uz , uθ －各方向的 速度分量。
表面力（又称机械力）
与流体微元相接触的环境 流体（有时可能是固体壁面） 施加于该流体元上的力。是一 种接触力。与力所作用的面积 成正比。
作用在流体表面的力
流体的压力、黏性产生的剪切力均属于表面力，以FS 表示。FS可以分解为两个向量：与作用表面相切，称为 切向表面力或剪切力；与作用表面垂直，称为法向力。
由于流体密度是空间坐标及时间的函数
( x, y, z, )
其随体导数为
D D ux x uy y uz z
密度对时间的局部倒数
密度的对流导数
二、 一、 连续性方程的分析和简化 连续性方程的推导
故连续性方程可写成 （2-10）
v 1
化工传递
相关方程
连续性方程：在传递过程中，对单组分流体流动系统或不考 虑组分浓度变化的多组分流体流动系统进行微分质量衡算所 导出的方程。 运动方程：对流体流动系统进行微分动量衡算所导出的方程。 微分能量衡算方程（简称能量方程）：对流体流动系统进行 微分能量衡算所导出的方程。 微分质量衡算方程或对流扩散方程：对组分浓度变化的多组 分流体流动系统中某一组分进行微分质量衡算所导出的方程。 连续性方程、运动方程、能量方程和对流扩散方程统称 为变化方程。 牛顿黏性定律、傅里叶定律和费克定律统称为本构方程。

上式在x,y,z方向上的向量为：
Du x x方向 d F x = ρ dxdydz Dθ Du y y方向 d F = ρ dxdydz y Dθ Du z z方向 d F z = ρ dxdydz Dθ
一、用应力表示的运动方程
流体微元上作用力的分析
dF dFB dFs
质量力
表面力
d F x d F B x d F sx
d F y d F B y d F sy
d F z d F B z d F sz
一、用应力表示的运动方程
体积力（又称质量力）
作用在流体微元每一质点上的力。是非接触力 场力 质量力 惯性力 外界力场对流体的作用力， 如重力、电磁力等 由于流体作不等速运动而产生， 如流体作直线加速运动时所产 生的惯性力，流体绕固定轴旋 转时所产生的惯性离心力
例：变直径管道中流体流动的连续性方程
u x u y u z y z x
ux u y uz dV x x x V V

连续性方程移项
dV
dx
一、 连续性方程的推导
根据质量守恒定律，按 x,y,z 3个方向对控制体作质量衡算。 在x方向，左侧面
输入微元的质量流率 ux dydz
在x方向，右侧面
输出微元的质量流率 [ ux + ux x dx]dydz
在x方向，流出与流入微元的质量流率之差为 ( ux ) ( ux ) [ ux dx]dydz u x dydz dxdydz （2-3） x x
[ uz
dx
dz ]dxdy u z dxdy
（2-5）
二、 连续性方程的分析和简化
控制体内任一时刻的流体质量为 dxdydz 则控制体内的质量累积速率为 w dxdydz （2-6） 式2-3、2-4、2-5、2-6联立，可得 ( ux ) ( u y ) ( uz ) 0 （2-7） x y z 写成向量形式
A2 2 u2 A1 1u1
不可压缩流体的连续性方程
A2 u2 A1u1
不可压缩流体圆管流动的连续性方程 2 d1 A1 u2 u1 u1 A2 d2
第用应力表示的运动方程 二、牛顿型流体的本构方程 三、流体的运动方程 四、以动压力表示的运动方程 五、运动方程(N-S方程)的可解性
三、柱坐标与球坐标系方程
2. 球坐标系 ρ 1 1 1 2 2 ( ρr ur ) ( ρ u θ sin θ ) ( ρuφ ) 0 ' θ r r r sin θ θ r sin θ φ
θ －时间； r －径向座标； －方位角； θ－余纬度； ur , uφ , uθ －各方向的 速度分量。
X Y 0
Z g
一、用应力表示的运动方程
因此，作用在微元系统的质量力为
dFB f B ρdxdydz
作用在微元系统的质量力在x, y, z三个方向分量为
d FBx X ρ d xd yd z
d FBy Y ρ d xd yd z
d FBz Z ρ d xd yd z
一、用应力表示的运动方程
拉格朗日观点，M=常数
Du F=M Dθ
微元系统dV，M=ρdV
设某一时刻 ， 微元系统的体积 为 dV=dxdydz
Du dF = ρdV Dθ
dy dx
dz
Du dF = ρdxdydz Dθ
一、用应力表示的运动方程
Du dF = dFi = ρdxdydz Dθ
作用在微元系统上的合外力
微元系统内的动量变化速率； 质量与加速度乘积，称为惯性 力，记作 dFi （外力=惯性力）
ux i u y j+uz k （2-8） ( u) 0
i j k x y z
流体流动的连续性方程
二、 一、 连续性方程的分析和简化 连续性方程的推导
( ux ) ( u y ) ( uz ) 0 各项展开 将式2-7 x y z ux u y uz ( ) ux u y uz 0 （2-9） x y z x y z
求随体导数
Dv D v 0 D D