第1章 集合1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念一、概念与能力聚焦1、集合的概念集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些指定的且不同的对象集在一起就成为一个集合。
组成集合的对象叫元素，集合通常用大写字母A 、B 、C 、…来表示。
元素常用小写字母a 、b 、c 、…来表示。
集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成的一个集合。
例题1：考察下列每组对象能否组成一个集合？（1）2010年上海世博会上展出的所有展馆；（2）2010年辽宁高考数学试卷中所有的难题；（3）清华大学2010级的新生；（4）平面直角坐标系中，第一象限内的一些点；（5）2的近似值的全体.2、元素与集合的关系元素与集合的关系有属于和不属于两种：元素a 属于集合A ，记作A a ∈；元素a 不属于集合A ，记作A a ∉。
例题 2：已知321-=a ，}{Z n m n m x x A ∈+==,,3，则a 与A 之间是什么关系？3、集合中元素的特性（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一具体对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
例如}{4,3,1,0=A ,可知A A ∉∈6,0。
（2）互异性：“集合中的元素必须是互异的”，就是说“对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”。
如方程0)4(2=-x 的解集记为}{4，而不能记为}{4,4。
（3）无序性：集合与其中元素的排列次序无关，如集合}{c b a ,,与集合}{a b c ,,是同一个集合。
例题3：已知集合A 中含有两个元素3-a 和12-a ，若A ∈-3，试求实数a 的值。
4、集合的分类集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：有限集：含有有限个元素的集合。
如“方程013=+x 的解组成的集合”，由“8,6,4,2组成的集合”，它们的元素个数是可数的，因此这两个集合是有限集。
无限集：含有无限个元素的集合，如“到平面上两个定点的距离相等的所有点”“所有的三角形”，组成上述集合的元素是不可数的，因此它们是无限集。
特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作φ，如}{012=+∈x R x 。
例题4：下列各组对象能否构成集合，若能构成集合，则指出它们是有限集、无限集。
还是空集。
（1）中国的所有人口组成的集合；（2）广东省2011年应届高中毕业生；（3）数轴上到原点的距离小于1的点；（4）方程02=x 的解构成的集合；（5）你们班上成绩较好的同学；（6）小于1的正整数构成的集合。
5、特定的集合的表示为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的的字母表示，下面是几种常见的数集表示方法，请牢记。
（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N .（2）非负整数集内排除0的集合，也称正整数集，记作*N 或+N .（3）全体整数的集合通常简称为整数集Z .（4）全体有理数的集合通常简称为有理数集，记作Q .（5）全体实数的集合通常简称为实数集，记作R .例题 5 ：给出下列关系：21)1(属于R ；∉2)2(Q +∉-N 3)3(；Q ∈-3)4(；φ∈0)5(,其中正确的个数为（ ）1.A2.B3.C4.D二、方法与技巧平台6、元素分析法解决集合问题，应对集合的概念有深刻理解，解题时能不能把集合问题转化为相关的数学知识是解题的关键，而集合离不开元素，所以分析元素是解决集合问题的核心。
元素分析法就是抓住元素进行分析，即元素是什么？具备哪些性质？是否满足元素的三个特性？（即确定性、互异性、无序性）例题6：（1）已知集合A 是由2-a ，a a 522+，12三个元素组成的，且A ∈-3，求a 的值。
（2）设集合}{kk k A 2,2-=，求实数k 的取值范围。
三、创新与思维拓展7、利用集合中元素的特性解决与方程有关的问题集合与方程有密切联系，利用集合中元素的特性，即元素的互异性、无序性、确定性，再结合方程的解法，可以求出集合中参数的值。
例题7：已知集合}{R a x ax R x A ∈=+-∈=,0232（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围。
速效基础演练1、给出下列四组对象，其中能构成集合的个数为（ ）（1）高一（2）班所有身高cm 180以上的同学 （2）高一（2）班所有高个子同学 （3）26个英文字母 （4）所有无理数1.A2.B3.C4.D2、给出下面几个关系式：Z Z N N Q R ∉-∉-∈∈∈∈+5,,0,0,3.0,2π其中正确关系式的个数是（ ）4.A5.B6.C7.D3、已知集合S 的三个元素c b a ,,是ABC ∆的三边长，那么ABC ∆一定不是（ ）.A 锐角三角形 .B 直角三角形 .C 钝角三角形 .D 等腰三角形4、已知集合}{2,2),2,2(--=M ,则集合M 中元素个数是（ ）2.A3.B4.C 6.D5、所给下列关系式中正确的个数是（ ）（1）R ∈π （2）Q ∉3 （3）+∈-N 1 （4）+∉-N 41.A2.B3.C4.D6、已知集合A 中只含有2,1a 两个元素，求实数a 不能取的值。
7、以方程022=++m x x 的根为元素的集合含有两个元素，求实数m 的取值范围？8、已知集合A 是由三个元素23,,02+-m m m 组成的集合，且A ∈2，求实数m 的值。
1.1.2集合的表示方法一、概念与能力聚焦1、集合的表示方法（1）列举法：就是把集合中元素一一列举出来的方法，置于大括号内。
例如，由方程42=x 的所有解组成的集合，可以表示为}{2,2-。
（2）描述法：就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
描述法有两种不同的表示形式。
形式一：将说明元素性质的一句话写在大括号内，即文字描述法。
形式二：在大括号内，首先写出集合元素的表现形式（称之为代表元素）和它的范围，再画一条竖线（或一个冒号，或一个分号），然后写上元素所满足的条件（性质），即符号描述法，其基本形式如下：{x A x ∈具有性质}p ，或{x A x :∈具有性质}p ，或{A x ∈；x 具有性质}p 。
（3）图示法（维恩图）：为了便于直观的认识集合，我们常常用平面上一条封闭曲线所围成的图形（如圆、矩形等）来表示一个集合，这就是维恩图。
例如，集合}{4,3,2,1=A ，可用下列所示几个图形来表示。
例题1：用列举法把下列集合表示出来 （1）⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈-∈=N x N x A 66； （2）⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈∈-=N x N xB 66； （3）方程组{20=+=-y x y x 的解集；（4）由),(R b a bb a a ∈+所确定的实数集合。
例题2：用特征性质描述法表示下列集合：（1）方程022=-x 的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。
例题3：用图示法表示下列集合（1）{}Nx x x ∈<<-.52； （2）24的正约数。
例题4：用列举法表示下列集合（1）{x N x ∈是15的约数}；（2）}}{{}{2.1,2,1),(∈∈y x y x ；（3）}{342),(=+=-y x y x y x ；（4）}{N n x x n ∈-=,)1(；（5）}{N y N x y x y x ∈∈=+,,1623),(；（6）{y x y x ,),(分别是4的正整数约数}。
二、方法与技巧平台2、如何使用列举法表示集合用列举法表示集合时，必须注意以下几点：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的；（3）不必考虑元素出现的先后次序；（4）集合中的元素不能重复；（5）集合中的元素可以表示任何事物；（6）一般说来，列举法适用于有限集，但对于含有较多元素的有限集，如果构成该集合的元素具有明显的规律，也可以用列举法表示，但必须把元素间的规律显示清楚后，才能用省略号表示，如}{...3,2,1=+N . 用列举法表示集合其优点是集合中的元素清晰可见，一目了然，但对于无限集合且元素的规律又不太明显时，就显得力不从心。
例题5：用描述法表示图1-1-2-4中阴影部分（含边界）的点的坐标集合。
3、如何使用描述法表示集合描述法分为文字描述和符号描述，使用文字描述的关键是用文字符号把元素所具有的属性描述出来，如{自然数}；用符号描述表示集合时应注意： （1）弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数、还是有序实数对（点）、还是集合、还是其他形式？（2）元素具有怎样的属性，当题目中用 了其它字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。
用描述法表示集合时，需要多层次描述属性时，可选用逻辑连接词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围。
描述法突出了元素所具有的属性，其中文字描述法通俗易懂；而符号描述法则简洁概括，但有点抽象，不易看出集合中到底有哪些元素。
例题6：用适当的方法表示下列集合：（1）比5大3的数；（2）方程0136422=++-+y x y x 的解集；（3）二次函数102-=x y 图像上所有点组成的集合。
4、如何使用图示法表示集合用图示法表示集合最大的特点是形象、直观，它特别适用于解决与抽象的集合（即集合由哪些元素所组成、元素具有怎样的属性不明确）有关的问题，但这通常只是作为一种解题辅助工具，一般集合的表示方法最终结果不用图示法。
例题7：用图示法表示下列集合以及它们之间的关系：{=A 四边形}{=B 平行四边形}{=C 梯形}{=D 菱形}{=E 正方形}{=F 矩形}。
三、创新与思维拓展5、集合语言的理解与转换集合语言是现代数学的基本语言，也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言。
将集合的三种语言之间进行相互转化，将集合语言转化为自然语言、几何语言，有助于弄清集合是由哪些元素所构成的，有助于提高分析和解决问题的能力。
解决集合问题的关键：弄清集合是由哪些元素所构成的。
如何弄清呢？关键在于把抽象问题具体化、形象化。
也就是把用描述法表示的集合用列举法来表示，或用图示法来表示抽象的集合，或用图形来表示集合，或用数轴来表示集合；再如，当集合的元素为有序实数对时，可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等。
例题8：下列命题（1）方程022=++-y x 的解集为}{2,2-；（2）集合}{R x x y y ∈-=,12与}{R x x y y ∈-=,1的公共元素所组成的集合是}{1,0；（3）集合}{01<-x x 与集合}{R a a x x ∈>,没有公共元素。