专题1 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题1．设函数2()(1||)f x ln x x =++，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞+∞ C ．11(,)33-D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 【解析】解：函数2()(1||)f x ln x x =++，那么22()(1||)()(1||)()f x ln x x ln x x f x -=+-+-=++= 可知()f x 是偶函数， 当0x >，()f x 是递增函数，()(21)f x f x ∴>-成立，等价于|||21|x x >-，解得：113x <<，故选：A ． 2．设函数21()||2019f x x x=-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( ) A ．1(3，1)B ．(-∞，1)(13⋃，)+∞C ．1(3-，1)3D ．(-∞，11)(33-⋃，)+∞【解析】解：()f x 是R 上的偶函数，0x 时，21()2019f x x x =-+，()f x ∴在[0，)+∞上是增函数，∴由()(21)f x f x >-得，(||)(|21|)f x f x >-，|||21|x x ∴>-，22441x x x ∴>-+，解得113x <<，x ∴的取值范围是1(,1)3．故选：A ．3．函数21||21()log (1)12x f x x =+--，则使得()(21)f x f x -成立的x 取值范围是( ) A ．(-∞，1]B ．111[,)(,1]322⋃C ．1[,1]3D ．1(,][1,)3-∞+∞【解析】解：()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减；∴由()(21)f x f x -得，(||)(|21|)f x f x -；|||21|x x ∴-，且0x ≠，210x -≠；22(21)x x ∴-，且0x ≠，12x ≠； 解得113x ，且12x ≠；x ∴的取值范围是：111[,)(,1]322⋃．故选：B ．4．已知函数312()423x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底，若2(1)(2)0f a f a -+，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，1]-B ．1[,)2+∞C ．1(1,)2-D ．1[1,]2-【解析】由222()4224240x x x x f x x e e x e e x --'=-++-+=，知()f x 在R 上单调递增，且31()422()3x x f x x x e e f x --=-++-=-，即函数()f x 为奇函数，故2222(1)(2)0(1)(2)12210f a f a f a f a a a a a -+⇔--⇔--⇔+-， 解得112a-． 故选：D ．5．已知函数31()sin x xf x x x e e =-+-，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+，则实数a 的取值范围是( )A ．1[,1]2-B ．1[1,]2-C ．1(,1][,)2-∞-+∞D ．1(,][1,)2-∞-+∞【解析】解：由于3()sin x x f x x x e e -=-+-， 则3()sin ()x x f x x x e e f x --=-++-=-， 故函数()f x 为奇函数．故原不等式2(1)(2)0f a f a -+， 可转化为2(2)(1)(1)f a f a f a --=-，即2(2)(1)f a f a -；又2()3cos x x f x x x e e -'=-++， 由于2x x e e -+，故2()3cos 1x x f x x x e e -'=-++恒成立， 故函数()f x 单调递增， 则由2(2)(1)f a f a -可得， 221a a -，即2210a a +-，解得112a-， 故选：B ．6．已知函数2020()2020log )20202x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为()A ．1(4-，)+∞B ．1(,)4-∞-C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞【解析】解：设2020()()22020log )2020x x g x f x x -=-=+-，2020()2020log )2020()x x g x x g x -∴-=+-=-，即()g x 为奇函数且单调递增，由(31)()4f x f x ++>可得(31)()0g x g x ++>即(31)()()g x g x g x +>-=-， 所以31x x +>-，解得，14x >-．故选：A ．7．已知函数())2x x f x e e ln x -=-++，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为( )A ．1(,)4-+∞B ．1(,)4-∞-C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞【解析】解：根据题意，函数())2x x f x e e ln x -=-++，其定义域为R ；设()()2)x x g x f x e e ln x -=-=-+，有())[)]()x x x x g x e e ln x e e ln x g x ---=-+=--+=-，即函数()g x 为奇函数，又由函数x x y e e -=-和)y ln x =都是R 上的增函数，故()g x 为R 上的增函数；(31)()4(31)22()(31)2[()2](31)()(31)()f x f x f x f x f x f x g x g x g x g x ++>⇒+->-⇒+->--⇒+>-⇒+>-，则有31x x +>-，解可得14x >-；即x 的取值范围为1(4-，)+∞；故选：A ．8．已知函数2018()20182018log )2x x f x x -=-++，则关于x 的不等式(31)()4f x f x ++>的解集为()A ．1(,)4-+∞B ．1(,)4-∞-C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞【解析】解：2018()20182018log )2x x f x x -=-++，令()()2g x f x =-，2018()20182018log )()x x g x x g x -∴-=-++=-，(31)()4f x f x ++>， (31)2()24g x g x ∴++++>， (31)()0g x g x ∴++>， (31)()()g x g x g x ∴+>-=-，2018()20182018log )x x g x x -=-+单调递增，31x x ∴+>-， 解可得，14x >-．故选：A ．9．偶函数()y f x =满足下列条件①0x 时，3()f x x =；②对任意[x t ∈，1]t +，不等式()8()f x t f x +恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．(-∞，3]4-B ．3[,0]4-C ．[2-，3]4D ．4[,1]3-【解析】解：根据条件得：(||)8(||)f x t f x +；33(||)8(||)x t x ∴+；33(||)(2||)x t x ∴+； ||2||x t x ∴+；22()4x t x ∴+；整理得，22320x tx t --在[t ，1]t +上恒成立； 设22()32g x x tx t =--，()0g t =；22(1)3(1)2(1)0g t t t t t ∴+=+-+-； 解得34t -； ∴实数t 的取值范围为(-∞，3]4-．故选：A ．10．已知函数()2020)20201x x f x ln x -=+-+，则关于x 的不等式(21)(2)2f x f x -+<的解集为()A ．1(,)4-∞B ．1(,)2-∞C ．1(,)4+∞D ．1(,)2+∞【解析】解：()()2020)202012020)20201x x x x f x f x ln x ln x --+-=+-+++-+))2ln x ln x =++)2ln x x =+22(1)2ln x x =+-+122ln =+=，则()()2f x f x -+=，则不等式(21)(2)2f x f x -+<，等价于(21)(2)(2)(2)f x f x f x f x -+<-+， 即(21)(2)f x f x -<-， ()f x 在R 上是增函数，212x x ∴-<-得41x <，得14x <， 即不等式的解集为1(,)4-∞．故选：A ．11．设函数2111()()21||x f x x +=++，则使得(21)(12)2()f x f x f x -+-<成立的x 的取值范围是( )A ．1(,1)3B ．1(,)(1,)3-∞+∞ C ．11(,)33-D ．11(,)(,)33-∞-+∞ 【解析】解：函数2111()()21||x f x x +=++，由解析式可知，()f x 为偶函数且在[0，)+∞上单调递减， 则(21)(12)2(21)f x f x f x -+-=-， (21)(12)2()f x f x f x ∴-+-< 2(21)2()f x f x ⇔-< (21)()f x f x ⇔-< (|21|)(||)f x f x ⇔-<⇔22221|21||||21|||(21)3x x x x x x x ->⇔->⇔->⇔<或1x >， 故选：B ．12．已知定义域为R 的函数()f x 在[2，)+∞上单调递增，若(2)f x +是奇函数，则满足(3)f x f ++ (21)0x -<的x 范围为( )A ．2(,)3-∞-B ．2(3-，)+∞C ．2(,)3-∞D ．2(3，)+∞【解析】解：(2)f x +是奇函数；()f x ∴关于点(2,0)对称；又()f x 在[2，)+∞上单调递增； ()f x ∴在R 上单调递增；∴由(3)(21)0f x f x ++-<得，(3)(21)f x f x +<--；(3)((23)2)f x f x ∴+<--+； (3)(25)f x f x ∴+<-+；325x x ∴+<-+；解得23x <； x ∴的范围为2(,)3-∞．故选：C ．13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2()f x x =．若对任意的[x a ∈，2]a +，不等式()(2)f x a f x +恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．0aB ．2aC ．2aD ．0a【解析】解：（排除法）当0a =时，则[0x ∈，2]，由()(2)f x a f x +得()(2)f x f x ，即22220x x x ⇒在[0x ∈，2]时恒成立，显然不成立，排除A 、C 、D ，故选：B ．14．已知a 是方程4x lgx +=的根，b 是方程104x x +=的根，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2()(4)f x x a b x =++-，若对任意[x t ∈，2]t +，不等式()2()f x t f x +恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．)+∞B ．[2，)+∞C ．(0，2]D ．[1][2-，3]【解析】解：由程4x lgx +=得4lgx x =-， 由104x x +=得104x x =-，记()f x lgx =，则其反函数1()10x f x -=， 它们的图象关于直线y x=轴对称，根据题意，a ，b 为()f x ，1()f x -的图象与直线4y x =-交点A ，B 的横坐标， 由于两交A ，B 点关于直线y x =对称，所以，B 点的横坐标β就是A 点的纵坐标，即(,)A a b ， 将(,)A a b 代入直线4y x =-得，4a b +=， 则当0x 时，22()(4)f x x a b x x =++-=， 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴若0x <，则0x ->，则2()()f x x f x -==-， 即2()f x x =-，0x <，则22,(),x x f x x x ⎧=⎨-<⎩， 则函数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数，若对任意[x t ∈，2]t +，不等式()2()f x t f x +恒成立， 即若对任意[x t ∈，2]t +，不等式()(2)f x t f x +恒成立， 则2x tx +恒成立，则(21)t x -，则1)21xt =-，[x t ∈，2]t +， 2(21)t t ∴++，即22t 则22t=故选：A ．15．设函数|1|21()(1)x f x e x -=--，则不等式()(21)f x f x >+的解集为( )A ．(1,0)-B ．(,1)-∞-C ．1(1,3⎫-⎪⎭D ．1(1,0)(0,3⎫-⎪⎭⋃【解析】解：根据题意，函数|1|21()(1)x f x e x -=--，设||21()x g x e x =-，其定义域为{|1}x x ≠， 又由||21()()x g x e g x x -=-=，即函数()g x 为偶函数， 当(0,)x ∈+∞时，21()x g x e x =-，有32()x g x e x'=+，为增函数， ()g x 的图象向右平移1个单位得到()f x 的图象，所以函数()f x 关于1x =对称，在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．由()(21)f x f x >+，可得1211|1||(21)1|x x x x ≠⎧⎪+≠⎨⎪->+-⎩，解可得：113x -<<且0x ≠，即x 的取值范围为1(1,0)(0,3⎫-⎪⎭⋃；故选：D ．16．已知()f x 是定义在[2-，2]b 上的偶函数，且在[2b -，0]上为增函数，则不等式(21)f x f +（1）的解集为( ) A ．(1,0)- B ．31[,1][0,]22--C ．(-∞，1][0-，)+∞D ．31[,]22-【解析】解：()f x 是定义在[2-，2]b 上的偶函数，220b ∴-+=，1b ∴=，函数()f x 在[2b -，0]上为增函数，∴函数()f x 在[2-，0]上为增函数，故函数()f x 在[0，2]上为减函数，则由(21)f x f +（1），可得|21|1x +，且2212x -+， 解得312x --或102x， 故不等式(21)f x f +（1）的解集为31[,1][0,]22--．故选：B ．17．已知定义在R 上的函数1131122()(1)22x x x x f x x -----=--+，则不等式(23)(2)0f x f x ++-的解集为( ) A ．(-∞，1]3B ．(0，2]3C ．(-∞，3]D ．(0，3]【解析】解：令1t x =-，则322(1)22t t t tf t t ---+=-+，则(1)f t +是奇函数，则当0t 时，2333332221214(14)2212212141414t t t t t t t t t t ty t t t t t ------++=-=-=-=-=--+++++，为减函数， ∴当1x 时，()f x 为减函数，即()(1)g x f x =+是奇函数，则(23)(2)0f x f x ++-等价为(221)(31)0f x f x +++-+， 即(22)(3)0g x g x ++-， 则(22)(3)(3)g x g x g x +--=-， 则223x x +-，得31x ，13x ，即原不等式的解集为(-∞，1]3， 故选：A ．18．函数()f x 是R 上的奇函数，f （1）2=，且对任意12x x >，有1212()()0f x f x x x ->-，则不等式2(1)2f x --的解集为( ) A ．[0，2]B ．[0，1]C ．[1-，1]D ．[1-，0]【解析】解：对任意12x x >，有1212()()0f x f x x x ->-，()f x ∴在R 上单调递增，又()f x 是R 上的奇函数，f （1）2=， 所以(1)2f -=-，则由不等式2(1)2f x --可得(1)(1)f f x f --（1）， 所以111x --， 解可得，02x ． 故选：A ．19．已知()f x 是定义在(2,1)b b -+上的偶函数，且在(2b -，0]上为增函数，则(1)(2)f x f x -的解集为()A ．2[1,]3-B ．1(1,]3-C ．1[1,]3-D ．1[,1]3【解析】解：根据题意，由于函数()y f x =是定义在(2,1)b b -+上的偶函数，则定义域关于原点对称， 则有(2)10b b -++=，解可得1b =， 所以，函数()y f x =的定义域为(2,2)-，由于函数()y f x =在区间(2-，0]上单调递增，则该函数在区间[0，2)上单调递减， 由于函数()y f x =为偶函数，则()(||)f x f x =，由(1)(2)f x f x -，可得(|1|)(|2|)f x f x -，则|1|2||212222x x x x -⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩，解可得：113x-<． 因此，不等式(1)(2)f x f x -的解集为1(1,]3-，故选：B ．20．设函数1()(2)3x f x x lgx --=++，则不等式3(21)()2f x f --的解集是( ) A ．131(0,][,)482B ．131(1,][,)482-C ．13(,][,)44-∞+∞D ．31(1,][,0)44--- 【解析】解：由题意知，函数()f x 可由1()1x g x x lg x -=-+ 而函数()g x 是定义域为(1,1)-的偶函数，函数()m x x =和函数12()(1)11x n x lglg x x +==---在(0,1)上递增，且()0m x >，()0n x >， ∴1()()1x y x lg m x n x x-==-+在(0,1)上递减， ()g x ∴在(0,1)上递减，()f x ∴的定义域为(3,1)--，关于2x =-对称，并且在(2,1)--上递减，∴不等式3(21)()2f x f --等价于32113|212|22x x -<-<-⎧⎪⎨-+-+⎪⎩，解得314x -<-或104x -<． 故选：D ．21．已知函数23211()1x x x x e x e xe x f x ln e x+---=-+，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+，则实数a 的取值范围是 1(0,]2． 【解析】解：由已知得：23211()1x x x x e x e xe x f x ln e x+---=-+的定义域为(1,1)-， 2332112()()x x x x x xx x e x e xe x e xe e f x f x e e-----------===-， 311()21x x x f x e x x ln e x -=+---+， 故函数是奇函数，且增函数，2(1)(2)0f a f a -+，2221211(2)(1)1110212a f a f a a a a a ⎧-<<⎪∴<-⇒-<-<⇒<⎨⎪-⎩， 故答案为：1(0,]222．已知函数||2()(x f x e x e =+为自然对数的底数），且(32)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围为13(,)(,)24-∞+∞ ． 【解析】解：函数||2()(x f x e x e =+为自然对数的底数）， ()()(||)f x f x f x ∴-==，且在(0,)+∞单调递增，(32)(1)f a f a ->-，|32||1|a a ∴->-，即281030a a -+>，实数a 的取值范围为12a <或34a >， 故答案为：(-∞，13)(24⋃，)+∞ 23．()f x 是定义在R 上函数，满足()()f x f x =-且0x 时，3()f x x =，若对任意的[21x t ∈+，23]t +，不等式(2)8()f x t f x -恒成立，则实数t 的取值范围是 4[7-，0] ． 【解析】解：由x R ∈，()()f x f x =-，可得()f x 为R 上偶函数，3()f x x =在0x 上为单调增函数， 则(2)8()(2)f x t f x f x -=，即为|2||2|x t x -，即22(2)(2)x t x -，化简可得240t xt -，①（1）当0t >时，①的解为：4t x ， 对任意[21x t ∈+，23]t +，①式恒成立，则需234t t +， 解得t ∈∅；（2）当0t <时，①的解为4t x ， 对任意[21x t ∈+，23]t +，①式恒成立，则需214t t +， 解得407t -<； （3）当0t =时，①式恒成立；综上所述，407t -． 故答案为：4[7-，0]． 24．已知()||f x x x =，若对任意[2x a ∈-，2]a +，()2()f x a f x +<恒成立，则实数a 的取值范围是a <【解析】解：22,0()||,0x x f x x x x x ⎧==⎨-<⎩， 可得()f x 在[0，)+∞递增，在(-∞，0]递增，且(0)0f =， 则()f x 在R 上递增，由()2()f x a f x +<可得()())f x a f f x f +<=，则x a +<在[2x a ∈-，2]a +恒成立，即有1)a x <在[2x a ∈-，2]a +的最小值，可得1)(2)a a <-，解得a <故答案为：a <25．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2()f x x =，则2())f x f -= 0 ；若对任意的[x a ∈，1]a +，不等式()2()f x a f x +恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【解析】解：()f x 是奇函数，0x 时，2()f x x =， ∴当0x <时，2()f x x =-．∴当0x 时，222())220f x f x x -=-=，当0x <时，222())2(2)0f x f x x -=---=．2())0f x f ∴-=．2())f x f =，()2()f x a f x ∴+恒成立()(2)f x a f x ⇔+恒成立． ()f x 是增函数，2x a x ∴+在[a ，1]a +上恒成立．(21)a x ∴-，[x a ∈，1]a +．令()1)g x x =，则()g x 在[a ，1]a +上是增函数．()(1)1max g x g a a ∴=+=-+．21a a a ∴-+，解得2a ． 故答案为：0，[2，)+∞． 26．已知函数||221()()x f x x e ππ-=+-则，则不等式(1)(21)f x f x -<-的解集是 2(0,)3 ． 【解析】解：根据题意，函数||221()()x f x x e ππ-=+-，其定义域为R ，且||221()()()x f x x e f x ππ--=+-=， 则()f x 为偶函数， 在[0，)+∞上，||222211()()1()x x f x x e e x ππππ-=+-=-+，在[0，)+∞上为减函数，不等式(1)(21)(|1|)(|21|)|1||21|f x f x f x f x x x -<-⇒-<-⇒->-，解可得203x <<， 即不等式的解集为2(0,)3， 故答案为：2(0,)3．。