专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性一、函数的单调性1．单调函数与严格单调函数设 f(x) 为定义在I上的函数，若对任何 x1 , x2I ，当 x1x2时，总有(ⅰ )f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的增函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递增函数。

(ⅱ )f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的减函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递减函数。

2．函数单调的充要条件★若 f (x) 为区间I上的单调递增函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有：f (x1) f ( x2)或x1x20（x1x2)[ f (x1) f (x2)] 0★若 f (x) 为区间I上的单调递减函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有：f (x1)x1 3．函数单调性的判断(证明 )(1)作差法 (定义法 )(2)作商法4复合函数的单调性的判定f ( x2)或x2)[ f (x1)f (x2)] 0 x20（x1对于函数 y f (u) 和 u g(x) ，如果函数u g( x) 在区间 (a, b) 上具有单调性，当x a, b 时 u m,n，且函数 y f (u)在区间 (m, n) 上也具有单调性，则复合函数y f ( g( x)) 在区间a,b具有单调性。

5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数 f (x) 和 g( x) ，若它们的定义域分别为I 和 J ，且 I J：(1)当f (x)和g (x)具有相同的增减性时，函数F1 (x) f (x) g( x) 、 F2 (x) f ( x)g(x) 的增减性与 f ( x)(或g( x) )相同，F3 ( x) f (x) g( x) 、 F4 (x)f (x)( g(x) 0)的增减性不能确定；g( x)(2)当f (x)和g (x)具有相异的增减性时，我们假设 f ( x) 为增函数， g ( x) 为减函数，那么：①F1 (x) f (x)g( x) 、 F2 (x) f ( x) g( x) 的增减性不能确定；②F3 ( x) f ( x)g(x) 、 F4 ( x)f ( x)(g( x)0) 为增函数， F5 (x)g( x)( f ( x)0) 为减函数。

g (x) f (x)二、函数的奇偶性1.奇偶性的定义如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个x ，都有 f ( x) f ( x) ，则称函数 f (x) 为偶函数；如果对于函数 f (x) 的定义域内的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x) ，则称函数 f (x) 为奇函数。

2.奇偶性的几何意义具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。

3.函数奇偶性的判断(证明 )(1)比较f ( x)与 f ( x)的关系；(2) f ( x)（ f (x)0 ）与1的关系；f ( x)(3) f (x) f (x) 与0的关系4.由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断对于两个具有奇偶性的函数 f ( x) 和 g( x) ，若它们的定义域分别为I 和J ，且 I J：(1)当f (x)和g (x)具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：①函数F1 (x) f (x)g( x) 、 F3 (x) f ( x)g (x) 也为奇函数；②F2 ( x) f (x)g(x) 、 F4 ( x)f ( x)(g( x)0)为偶函数；g ( x)(2)当f (x)和g (x)具有相异的奇偶性时，那么：①F1 (x) f (x)g( x) 、 F3 (x) f ( x)g (x) 的奇偶性不能确定；②F2 ( x) f (x)g(x) 、 F4 ( x)f ( x)(g( x)0)、 F5 (x)g( x)( f ( x)0)为奇函数。

g ( x) f (x)若函数 y f (x) 是偶函数，则 f (x a) f (x a) ；若函数 y f ( x a) 是偶函数，则 f ( x a) f ( x a) .三、函数的对称性1.函数自对称（ 1）关于y轴对称的函数（偶函数）的充要条件是 f (x) f (x)（ 2）关于原点0,0 对称的函数（奇函数）的充要条件是 f (x) f ( x)0（ 3）关于直线y x 对称的函数的充要条件是 f 1(x) f (x)2.两个函数的图象对称性（ 1）yf ( x) 与 yf ( x)关于 x 轴对称。

换种说法：y f (x) 与 y g (x) 若满足 f (x)g ( x) ，即它们关于 y0 对称。

（ 2）yf ( x) 与 y f (x)关于 y 轴对称。

换种说法：（3）y 换种说法：（4）y 换种说法：y f (x) 与 y g (x) 若满足 f (x)g( x) ，即它们关于x0 对称。

f ( x) 与 y f (2ax)关于直线 x a 对称。

y f (x) 与 y g (x) 若满足 f (x)g( 2a x) ，即它们关于 x a 对称。

f ( x) 与 y2a f (x) 关于直线y a 对称。

y f (x) 与 y g (x) 若满足 f (x)g( x)2a ，即它们关于y a 对称。

（ 5） y f ( x)与 y 2b f (2ax) 关于点 a, b 对称。

换种说法： y f (x) 与 y g (x) 若满足 f (x) g( 2a x) 2b ，即它们关于点 a, b 对称。

（ 6） yf (a x)与 y( x b) 关于直线 xab 2对称。

（ 7） y f ( x) 与yf 1 ( x) 关于直线 y x 对称。

若 f (x)f ( x a) ,则函数 yf ( x) 的图象关于点 ( a,0) 对称 ;23.几个常见的函数方程（ 1）正比例函数 f ( x)（ 2）指数函数 f ( x) （ 3）对数函数 f ( x)（ 4）幂函数 f ( x) x （ 5）余弦函数 f ( x)g( x)f (0)1,limx 0xcx , f (x y) f ( x) f ( y), f (1) c . a x , f (x y) f ( x) f ( y), f (1) a 0 .log a x , f (xy) f ( x) f ( y), f (a) 1(a 0, a 1) ., f (xy ) f ( x) f ( y), f ' (1) .cos x ,正弦函数 g( x) sin x ， f ( x y) f (x) f ( y) g( x) g( y) ，1 .四、函数的周期性主要结论1．如果函数 yf (x) 对于一切 x ∈ R,都有 f (ax)f (ax)(f (2a x) f (x) ),那么函数 y=f(x)的图像关于直线x a 对称y f (xa) 是偶函数2．如果函数 yf (x) 对于一切 x ∈ R, 都有 f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数 yf (x) 的图像关于直线 x=a b（由 x=(a x)(b x)22确定）对称3. 如果函数 y f ( x) 对于一切 x ∈R, 都有 f (ax)f ( a x)2b 成立 , 那么函数 yf (x) 的图像关于点 (a,b) 对称4.两个函数图像之间的对称性（ 1）函数 yf ( x) 与函数 y f (x) 的图像关于直线 x 0 (即 y 轴 )对称；函数 yf ( x)与函数 y f ( x) 的图像关于直线y 0 ; 函数 yf ( x) 与函数 y f ( x) 图像关于坐标原点对称。

（ 2）函数（ 3）函数y f (a x), yf (b x) ,的图像关于直线 a bx b x 确定 )对称x(由 a2yf ( x) 与函数 y Af ( x) 的图像关于直线 yA yf ( x)A f (x)对称（由确定22（ 4）函数 yf ( x) 与函数 y mf (nx) 的图像关于点 ( n , m) 中心对称2 25.左加右减（对一个 x 而言），上加下减（对解析式而言） ：若将函数 y f (x) 的图像右移 a 、上移 b 个单位，得到函数 yf (xa) b的图像；若将曲线 f ( x, y) 0的图像右移 a 、上移 b 个单位，得到曲线 f ( xa, y b)0 的图像6.函数 f ( x a)( a 0) 的图像是把 y f ( x) 的图像沿 x 轴向左平移 a 个单位得到的； 函数 f ( x a)( a0) 的图像是把 y f (x)的图像沿 x 轴向右平移a 个单位得到的；函数 y f (wx a) 的图像是把 yf (wxb) 的图像沿 x 轴向左平移ab个单位得到w的7.定义：对于函数f ( x) ，如果存在一个非零常数T 。

使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f (xT )f ( x)，则f (x)的最小正周期为 T ，T 为这个函数的一个周期8.如果函数f ( x) 是 R 上的奇函数，且最小正周期为T ，那么 f (T)f ( T )229. 如果函数 f (x) 所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f ( x) 的最小正周期，如果函数 f (x) 的最小正周期为 T则函数 f (ax) 的最小正周期为T yf (x) 是周期函数，那么 yf (x) 的定义域无界，如果a10.关于函数的周期性的几个重要性质：（ 1）如果 yf ( x) 是 R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么 f (x nT )f ( x)( n Z )（ 2）函数图像关于xa, xb 轴对称T 2(a b)（ 3）函数图像关于a,0 , b,0 中心对称T2( a b)（ 4）函数图像关于xa 轴对称，关于 b,0 中心对称 T4( a b)（5）f (x a)1( f ( x)0)或f (x a)1 ( f (x) 0)或f (x a) f (x)或f (x)f (x)1 f (x)f 2 (x)f (x a),( f ( x)0,1 ) , 则 f (x) 的周期 T=2a21 （6）f ( xa),( f ( x) 1) ，则 f (x) 的周期 T=3a1 f (x)（ 7）f ( xa)1f (x)1则 f (x) 的周期 T=4a ；f ( x)（ 8） f (x) f (x a) f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a)f (x) f (x a) f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a), 则 f ( x) 的周期 T=5a ；（ 9） f ( xa) f ( x) f ( x a) ，则 f (x) 的周期 T= 6a。