从物理上看，由于热运动，原子不会静止在格点上而是不断的做热运动。 由于热运动的存在，原子偏离格点，而这种偏离会散射电子，从而影响电 子的输运特性。 同时，金属一般情况下不可能是纯净的，必然有杂质存在，这种杂质的存 在也会破坏晶格的周期性排列，从而引起电子散射。下面我们分别讨论这 两种散射。
晶格散射
例子
对于两维系统，石墨烯，求其电导率。 我们先求费米面的态密度
cond-mat/0604113
第五节 各向同性弹性散射和驰豫时间
上一节为讨论金属的电导率我们采用了驰豫时间近似，引入 了驰豫时间的概念。然而，驰豫时间具有非常复杂的行为。 驰豫时间由什么确定以及如何计算是一个非常复杂的问题， 它依赖于具体的材料。本节对于一个非常重要的特例，讨论 驰豫时间的性质。也就是对晶格完全各向同性而且电子是弹 性散射的情况计算驰豫时间。
其中 为每立方厘米原子摩尔数， 常数。 2)电子经典半径 由下式确定：
是阿伏伽德罗
将金属中的电子看成电子气，德鲁特假定：
1） 电子与电子、电子与原子实之间的相互作用很弱，可以
2) 电子与原子实的碰撞是瞬时事件。除此之外，电子运动不受内部相互 作用的影响，即价电子运动仅仅受外力的影响。 3) 平均自由时间（ ）与电子的位置和速度无关，即 是常量。 应用经典力学和电子气体服从经典的麦克斯韦-波尔兹曼统计分布规律， 该模型可以对金属中的电子行为进行计算。 并得到了关于金属的直流电导、金属电子的弛豫时间、平均自由程和金属 电子的热容的计算结果。
当不存在外电场仅存在温度梯度时，先有电荷流动，电荷流动引起 电荷积累。该电荷积累引起电场分布从而阻碍电荷流动，最后电场 分布形成的阻碍力与温度梯度引起的电荷流动达到平衡，净的电荷 流动消失。这时每一层都没有电荷的净流入和净流出，达到静态平 衡。这时，假设温度梯度方向是由右指向左的（左边温度高，右边 温度低），左边流得快而右边流动较慢，平衡时左边电子密度将略 小于右边电子密度。
复习
德鲁特理论取得了巨大成功，也存在很大的局限和困难。为此，在现 代固体理论中我们发展了另外的理论来克服它的不足。这套理论是建 立在能带论及费米统计基础上的。为此，我们先复习一些基本概念。
• 能带结构
在固体物理学中，固体的能带 结构（又称电子能带结构）描 述了禁止或允许电子所带有的 能量。即由于周期势场的作用， 电子在固体中的能谱变成了一 系列被禁代隔开的能带。材料 的能带结构决定了材料的多种 特性，特别是它的电子学和光 学性质。
第一章 金属电子论（1）
第一节 德鲁特电子气模型及复 习
德鲁特电子气模型
金属具有下列性质 • 电的良导体 • 热的良导体 Question：Why？ 德鲁特于1900年提出了关于金属电子运动的 经典模型。
鲁特认为，金属中的原子在形成金属时，原来封闭的内层电子（芯电子）仍然被 束缚在一起与原子核形成原子实。原子实在金属中形成长程的周期性结构。封闭 壳层外的电子（价电子）受原子核束缚较弱，可以自由移动，德鲁特将其称为自 由电子气系统。而金属中的导电、导热特性就由价电子确定。电子气的特征参量 可作如下估算： 1）价电子浓度。设金属原子原子量为A，密度为 ,每个原子提供Z个传导电 子；则每立方厘米价电子数n为
两个假定： 首先，我们采用的是近自由电子模型，电子能量仅是波矢大 小的函数,
其次，散射是弹性的。
但是在我们的假定下，可以简化。由于W仅仅依赖于散射 前波矢与散射后波矢的夹角，由上面的假定我们可以猜测 驰豫时间仅仅依赖于波矢的大小而与方向无关。
显然这些分析与具体的原子结构无关！
第六节
散射和电导
平衡分布时，金属中会产生电流，这 效应称为热电效应。
假定温度梯度方向(因而电场方向)都在X轴上。
该式分为两部分，一部分与电场无关，为热电效应部分。另一 部分是由电场引起的电流密度，显然，对于近自由电子系统， 这部分数值为
考虑热电效应部分，它是高阶效应。
经典电子论的成就： 揭示金属的特征：电导、热导、温差电、电流磁输运等。
经典电子论的困难： 1)关于固体热容量，按照经典统计法的能量均分定理，N个 价电子组成的电子有3N个自由度，电子对热容量的贡献 为： . 然而对大多数金属，实验上测得的热容量只有 理论值的1%. 2)例如对于电子自由程，测量值比德鲁特模型的估计大的 多。
本章简介
• • • • • • • 德鲁特电子气模型及复习 费米统计分布及化学势 金属中电子热容量 金属的电导率 弛豫时间 散射和电导 金属的热导率
本部分内容的适用范围
在第一章我们讨论了用波尔兹曼方程处理电导问题以及电子输运 问题。在这种用波尔兹曼方程的处理中我们将电子看成点粒子。 从量子力学的观点看，电子具有波粒二象性，因而我们事实上应 该把电子看成一个波包。 该理论的适用范围如何？
从该公式中我们发现杂质散射与晶格散射最大的不同是，杂质散 射的弛豫时间与温度无关。即使温度为零，杂质散射以及由杂质 散射引起的电阻仍然存在。
第七节 金属的热导率和热电势
本节将讨论金属的导热能力。我们知道，材料的导热性有两个方 面的贡献，一是由于晶格振动引起的声子传热，二是材料中的自 由电子导热。由于绝缘体的导热能力比金属差很多，我们可以预 期金属较强的导热能力是由传导电子引起的。因而本节主要考虑 金属中电子的热导率。
在进行相关计算前对于近自由电子系统估算一下费米能。
为讨论电子比热容，我们引入函数
按照与讨论化学势完全类似的方法讨论，我们有
下面考察一种重要的情况，对近自由电子系统，
从而
我们可以计算出比热容为
但在低温下，由于晶格振动的热容量以温度的三次方趋于零 而电子激发的热容量以温度的一次方趋于零，因此，这两者 的热容量可以相比，如图所示。
现在我们估算A的值。
杂质散射
杂质散射的讨论比较简单，很多教材有很好的介绍。我们这里仅举 例讨论一下杂质散射，其思想可以推广到一般的情况。
设杂质浓度为ns。一般地，杂质的浓度是很小的，因而电子受杂 质散射时，可以合理的假定每次只和一个杂质原子发生相互作用， 也就是说电子受杂质的散射是独立的。 我们同时假设杂质原子是固定的原子，因而电子每次散射时能量 守恒。同时，杂质可以由一个静态势U(r)描写。
电子散射(碰撞)是非相对论情况下一切输运问题的一个根本环节。对于直流 电导，在外场作用下，电子的受外场作用，使得其分布偏离平衡分布，而 散射使得电子分布趋于平衡分布。两者互相竞争使最终的分布达到平衡， 就形成了直流电导。在理想的完全规则排列的原子周期场中，电子将不受 到散射，因而就不存在电阻。 显然，如果我们可以了解电子的散射机制并算出了散射几率，我们就可以 计算弛豫时间以及电导率。
现在引入驰豫时间近似，
• 电导率
假设仅有外加电场E，且金属是均匀的，电场不依赖于位置。 则系统处于稳态时，各个物理量与时间无关，与空间位置无关。
处于平衡状态的金属不加外电场时无电流，我们知道
从而得到电导率张量为
电导率张量是二阶对称张量。
• 两点说明：
1）
2）
从而我们得到电导率的经典公式：
金属中电子热传导:
当金属中存在温度梯度时，导电电子由温度高的区域向温度低的区 域扩散。电子的扩散，引起电荷密度的不均匀。电荷密度的不均匀 又产生一个反向的扩散。 在均匀金属中，不论在何种情况下，电子流都会扩散，不妨假定一 个一维的情况，电子存在正向和反向扩散。当不存在温度梯度时， 平衡时（细致平衡原理）正向扩散的电子流等于反向扩散的电子流。 当金属中存在温度梯度时，正向扩散的电子流(延温度梯度的方向) 大于反向扩散的电子流，热能由温度高的区域向温度低的区域的输 运。此时温度高的区域电子数目减少，呈现正电性，温度低的区域 电子数目增加，呈现负电性，即金属中出现温差电场．此电场的方 向与净余扩散电子流的方向相同．导电电子在电场力的作用下又产 生一个与电场方向相反的漂移电子流，即此电场对净余扩散起到一 个阻滞作用．当净余扩散电子流与漂移电子流的和为零，即净正向 扩散和净反向扩散相等时，导电电子达到一个稳定分布。
• 研究金属热容量的意义
一般情况下，低温时，
第285页表6-1列出了若干金属的比热系数的实验值
• 重费米子系统
第四节 金属电导率
• 分布函数
平衡时，
下面考虑分布函数随时间的演化。
由此我们可以得到著名的波耳兹曼方程，
• 碰撞项（散射项）
下面考虑细致平衡原理对W的限制。
假设电子碰撞为弹性碰撞，或散射为弹性散射。 （电子与声子碰撞即电子与振荡的原子碰撞，由于M>>me,这 种碰撞不改变电子的能量。而电子-电子碰撞由于泡利不相容 原理，几率很小）
在计算电导等输运过程中，只有当自由程远大于原胞大小的情 况下，才可以把电子看成准经典粒子，采用玻耳兹曼方程的方 法。这个条件对一般金属材料来说是可以满足的。但是，在有 些情况，例如非晶态材料，就不一定满足，这时必须将波尔兹 曼推广。
推广的理论的最一般的形式就是Kubo理论，它是更一般的讨 论电导的方法，在自由程很大的情况，Kubo公式与玻耳兹曼 方程的结果是一致的，但自由程不远远大于原胞时，他们的结 论并不一致，这时我们应该用Kubo理论。 Kubo理论是建立在线性响应理论的基础上 的。
第二节 费米统计
一 费米分布函数
能带理论是单电子近似，每个电子的运动可以近似地认为是独立的，具有一系列 确定的本征态，由不同的波函数k标志，（如果不限于导带，则还要加上一个能 带标号n）这样一个单电子近似描述的宏观状态可以由电子在这些本征态间的统 计分布描述。对于平衡态，该统计归结于一个费米统计分布函数
我们用声子模型来描述晶格振动对电子的散射。
现在仅考虑简单格子而不考虑复杂格子，则此时只有声学 波而没有光学波。
下面计算跃迁矩阵。
在近自由电子情况下，不考虑自旋，电子的布洛赫波函数为，
在每个原胞体积内有归一化公式
对于发射和吸收声子的过程，由于声子速度远小于电子的运动速度， 声子的特征能量远小于电子的特征能量，因而在发射吸收声子的过 程中电子能量是守恒的。然而该过程中电子动量不守恒，守恒的是 电子加声子的总动量（对于N过程）。