第二节 空间几何体的直观图与三视图考纲解读1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的机构特征， 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

2.能画出简单空间图形（长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等及其及其简易组合）的三视图， 能识别三视图, 能所表示的立体模型, 并会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影, 画出简单空间图形的三视图与直视图, 了解空间图形的不同表示形式.4. 会画某些建筑物的三视图与直视图(在不影响图形特征的基础上, 尺寸、线条等不作严格要求). 命题趋势探究高考中对本节内容的考查, 可以分为以下两类.(1)柱、锥、台、球的定义和相关性质是基础, 以它们为载体考查线线、线面、面面间的关系是中点。

(2)三视图为新课标新增内容, 所以高考会加大对其考查的粒度.在高考中,主要考查三视图和直观图, 特别是通过三视图确定原几何体的相关量. 多以选择填空题为主,也不排除通过三视图来还原几何体的直观图的解答题, 侧重于考查考生对基础知识的掌握以及应用所学知识解决问题的能力. 知识精讲一、空间几何体的直观图 1.斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下: (1)建立直角坐标系. 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的,Ox Oy ,建立直角坐标系.(2)画出斜坐标系. 在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形. 在已知图形平行于x 轴的线段, 在直观图中画成平行于'','',O x O y 使'''45x O y ∠= (或135), 它们确定的平面表示水平平面.(3)画出对应图形. 在已知图形平行于x 轴的线段, 在直观图中画成平行于'x 轴的线段, 且长度保持不变; 在已知图形平行于y 轴的线段, 在直观图中画成平行于'y 轴, 且长度变为原来的一般. 可简化为 “横不变, 纵减半”. (4)擦去辅助线. 图画好后, 要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线(虚线). 被挡住的棱画虚线.注: 4.2.平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的, 中心投影的投影线相交于一点. 二、空间几何体的三视图 1.三视图的概念将几何体由前至后、由左至右、由上至下分别作正投影得到的三个投影图依次叫做该几何体的正(主)视图、左(侧)视图、俯视图, 统称三视图. 它们依次反应了几何体的高度与长度、高度与宽度、长度与宽度.2.作、看三视图的三原则 (1)位置原则:度量原则长对正、高平齐、宽相等即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽虚实原则轮廓线、现则实、隐则虚俯视图几何体上下方向投影所得到的投影图反映几何体的长度和宽度口诀正侧同高正府同长府侧同宽或长对正、高平齐、宽相等三、常见几何体的直观图与三视图常见几何体的直观图与三视图如表8-3所示.题型归纳及思路提示题型斜二测画法与直观图思路提示注意用斜二测画法画直观图时水平方向与竖直方向长度的不同它们与实物图的对应关系例下列叙述中正确的个数是①相等的角在直观图中仍相等②长度相等的线段, 在直观图中长度仍相等;③若两条线段平行, 在直观图中对应的线段仍平行;④若两条线段垂直, 则在直观图中对应的线段也互相垂直.A. 0B.1C.2D. 3O A B是OAB水平放置的直观图, 则OAB的面积为( )(2)如图8-10所示,'''A.6B.3262 D. 12解析(1)①因为90xOy ∠= 的直观图为''45x Oy ∠= 或135 , 故①不正确;②因为y 方向的线段的直观图在'y 方向的长度减半, 故②不正确;③因为所有x 方向的线段的直观图方向不变, 所以y 方向的线段的直观图均在原有基础上旋转45 , 故方向统一, 故③正确.④由③中叙述知, ④不正确. 故选B. (2)'''1''''sin 452O A B SO A O B =① 1sin 902OABSOA OB =② ①÷②得'''2''''sin 451122sin 902114O A B OABO A O B S S OA OB ==⨯⨯=, 所以'''24O A B OAB S S =.而'''134sin 45322O A B S=⨯⨯= ,所以2324OAB S = , 即12OABS= .故选D.评注 (1)”斜”指的是在直观图中,','x y 轴的夹角为45 , “二测”指的是 “平行关系不变”, 以及 “长度纵变横不变”.(2)直观图中保持不变的有线段的同向性与同向线段长之比. 直观图与原图的面积关系:2'4S S =. 变式 1 已知正ABC 的边长为a , 以它的一边为x 轴, 对应的高为y 轴, 画出它的水平放置的直观图'''A B C , 则'''A B C 的面积为( ).A.234a B. 238a C. 268a D. 2616a 变式2 利用斜二测画法, 一个平面图形的直观图时边长为1的正方形, 如图8-11所示,则该平面图形的面积为( )A.3B.2C. 22D. 4题型直视图⇒三视图 思路提示已知直观图描绘三视图的原则是:先看俯视图, 观察几何体的摆放姿态, 再看正视图与侧视图同高, 正视图与俯视图同长, 侧视图与俯视图同宽.例8.8 正三棱柱111ABC A B C - 如图8-12所示, 以面11BCC B 为正前方画出的三视图正确的是( ).分析 先看俯视图, 垂点法, 把1,C C 投影到底面.解析 由垂点法, 把1,C C 分别投影到底面, 如图8-13所示, 所以俯视图中间必有线段MN .故选A.变式 1 如图8-14所示,ABC 为正三角形, '''AA BB CC ⊥∥∥ 平面ABC 且33'''2AA BB CC AB === , 则多面体'''ABC A B C - 的正视图(也称主视图)是( ).变式 2 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥, 得到图2所示的几何体, 则该几何体的左视图为( ).变式3 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形, 则该正方体的正视图的面积面积不可能等于( )A. 1B. 2C. 212-D.212+题型直视图⇒直观图简单几何体的基本量的计算思路提示由三视图想象出直观图必须与实物图对应, 先看俯视图, 根据三视图的形状并结合表8-1,定几何体的形状, 由口诀“正侧同高, 正俯同长, 俯侧同宽”定几何体的相关数据.例8.9若某空间几何体的三视图如图8-16所示, 则该几何体的体积是( )A. 13B.23C. 1D. 2分析三视图为2个矩形和1个三角形, 知该几何体是三棱柱.解析先看俯视图, 定底面, 再由正视图为矩形, 侧视图为三角形知该几何体为直三棱柱, 然后由口诀知数据, 如图8-17所示, 所以以侧面为底得体积112212V=⨯= .故选C.变式1 如图8-18所示, 是一个几何体的三视图, 若其体积为33 , 则a= .变式2 如图8-19所示, 是长和宽分别相等的两个矩形, 给定下列三个命题:①存在三棱柱, 其正视图、俯视图如图8-19所示；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图8-19所示;③存在圆柱, 其正视图、俯视图如图8-19所示.其中真命题的个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 0例8.10如图8-20所示, 一个空间几何体的正视图和侧视图都是低为1, 高为2的矩形, 俯视图是一个圆, 那么该几何体的表面积为( ).A.2πB. 52πC. 4πD. 5π分析由三视图是2个矩形和1个圆, 可知该几何体为圆柱.解析由三视图是2个矩形和1个圆, 可知该几何体是圆柱, 如图8-21所示, 再由口诀知数据, 所以几何体的表面积2115222222Sπππ⎛⎫=+⨯⨯=⎪⎝⎭表. 故选B.变式1 某个几何体的三视图如图8-22所示, 则该几何体的体积是( ).A.323cm B.33cm C.333cm 4 D. 333cm 2变式2 若一个正三棱柱的正视图如图8-23所示, 则其侧面积等于 .变式3 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等, 体积为23 , 它的三视图中的俯视图如图8-24所示, 左视图是一个矩形, 则这个矩形的面积是 .变式4 一个几何体的三视图如图8-25所示, 则该几何体的体积为 . 例8.11 一个空间几何体的三视图如图8-26所示, 则该几何体的表面积为( ).A. 48B. 32817+4817+1 2 1 4 4正视图 侧视图俯视图图 8-261 2 1 4 24图 8-274解析 由三视图知该几何体的直观图如图8-27所示, 该几何体的下底面是边长为4的正方形, 上底面是长为4, 宽为2的矩形; 两个梯形侧面垂直于底面, 上低长为2, 下底长为4, 高为4; 另外两个侧面是矩形, 宽为4, 长为224117+= , 所以24217248817S =+⨯⨯=+表 . 故选C.变式1 如图8-28所示, 某几何体的正视图是平行四边形, 侧视图和俯视图都是矩形, 则该几何体的体积为( ).A. 63B. 93C. 123D. 183变式2 一个几何体的三视图如图8-29所示, 则该几何体的体积是 . 变式3 (2012辽宁理13)一个几何体的三视图如图8-30所示, 则该几何体的表面积为 .例8.12 如图8-31所示, 3个直角三角形是一个体积为320cm 的几何体的三视图,则h = cm.解析 先看俯视图知底面为直角三角形, 再结合正视图和侧视图均为直角三角形,知其中一条侧棱垂直于底面, 如图8-32所示, 再根据口诀知数据, 所以体积11205632h ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭, 即4(cm)h = .变式1 某四面体的三视图如图8-33所示, 该四面体四个面的面积中最大的是( ).A. 8B. 62C. 10D. 82变式2 若几何体的三视图如图8-34所示, 其中正视图、侧视图为正方形， 俯视图是腰长为2的等腰直角三角形， 则该几何体的体积是（ ）。

A.8382343D.23 变式3 若几何体的三视图如图8-35所示, 则该几何体的体积是( ). A.13 B.12 C.23D.56例8.13 一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图8-36所示,则该几何体的侧面积为 cm 2.正视图侧视图俯视图图 8-34111 俯视图图 8-35正视图 侧视图分析 由三视图是2个三角形和1个矩形, 可知该几何体是正四棱锥.解析 先看俯视图定底面——正四棱锥的底面, 再结合正视图和俯视图, 将中心O “拔地而起” 得直观图, 如图8-37所示, 再由口诀知数据, 且可知斜高'5h = , 所以几何体的侧面积()2148580cm 2S =⨯⨯⨯=侧 .变式1 某四棱锥的三视图如图8-38所示, 该四棱锥的表面积是( ).A. 32B. 16162+C. 48D. 16322+变式2 一个棱锥的三视图如图8-39所示, 则这个棱锥的体积为 .变式 3 一个五面体的三视图, 其正视图与侧视图是等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形, 部分边长如图8-40所示, 则此五面体的体积为 .题型直视图⇒简单组合体的基本量的计算4 4 33 33正视图 侧视图俯视图图 8-39 2 1 正视图 侧视图1 12 2 2 2 俯视图 图 8-40思路提示先根据三视图想象出几何的构造部分, 一般考虑的是球、柱、锥、台体的组合体或其一部分.例8.14 如图8-41所示是一个几何体的三视图, 根据图中数据, 可得该几何体的表面积是( ). A. 9π B. 10π C. 11π D. 12π 分析 先看俯视图定底面.解析 先看俯视图为圆, 再结合正视图和侧视图有上、下两部分, 可知该几何体下面是圆柱, 上面是球, 如图8-42所示, 所以2222222422422342612222S R R Rh ππππππππππ⎛⎫⎛⎫=++=⨯+⨯⨯+⨯⨯=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭表故选D.评注 求几何体的表面积, 通常将所给几何体分成基本的球、柱、锥、台, 再将它们的表面积求和或作差,求体积也是同样的道理.变式1 一个几何体的三视图如图8-43所示(单位:m),则该几何体的体积为 m 3.变式2 一空间几何体的三视图如图8-44所示, 则该几何体的体积为( ).A.223π+B.423π+C.2323π+D.2343π+变式3 某几何体的三视图如图8-45所示, 则它的体积是( ).A.283π-B.83π-C.82π-D.23π 变式4 一个几何体的三视图如图8-46所示, 则该几何体的体积为 .例8.15 若某几何体的三视图(单位:cm)如图8-47所示,则此几何体的体积是 cm 3.分析 先看俯视图定底面——正四棱台的底面, 再看正视图和侧视图, 上面是矩形, 下面是等腰梯形, 属组合体.解析 先看俯视图定底面——正四棱台的底面, 再由正视图和俯视图知该几何体上半部分是正四棱柱, 下半部分是正四棱台, 如图8-49所示, 再结合 “正侧同高, 正俯同长, 俯侧同宽”知数据, 所以几何体的体积为()22231424488332112144cm 3V =⨯+⨯+⨯+⨯=+= .变式1 一个几何体的三视图(单位:cm)如图8-49所示, 侧该几何体的表面积是( ). A.280 B.292 C.360 D.372变式2 某几何体的三视图(单位:cm)如图8-50所示, 侧此几何体的体积是 cm 3.变式3 一个几何体的三视图如图8-51所示(单位:m), 则该几何体的体积为 m 3.例8.16 一个几何体的三视图及长度数据如图8-52所示，则该几何体的表面积与体积分别为（ ）.A. 2 3 B 2 C . 232D . 232分析 先看俯视图定底面，再结合正视图和侧视图.44 3 2211 1 1 1 正视图侧视图俯视图图 8-5121 1 11 1 正视图 侧视图俯视图图 8-52解析 解法一：先看俯视图知底面为正方形，再结合正视图和侧视图知该集合体如图8-53（a ）所示，所以表面积221=1+1+2++12+21=7+22S ⨯⨯⨯⨯⨯表（12）1，把侧面作底知其体积12311.22V +=⨯⨯= 故选C .解法二：先把侧视图分割，如图8-53（b ）所示，则结合俯视图和正视图知几何体下半部分是正方体，上半部分是三棱柱（平放）如图8-53（c ）所示，所以21=51+1+2+272,2S ⨯⨯=+表221311.22V =+⨯=故选C .变式1 （2012湖北理4）已知某几何体的三视图如图8-54所示，则该几何体的体积为（ ）. A .83π B .3π C . 103πD . 6π例8.17 如图8-55所示为由长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块的块数为（ ）.俯视图侧视图2 正视图图 8-5442 42A.3块B4块C.5块D.6块分析先看俯视图，从下往上“拔地而起”.解析先看俯视图定底，再结合正视图和侧视图，从下往上堆积可知其直观图，如图8-56所示. 故选B.变式1 用单位立方体搭一个几何体，使其主视图和俯视图如图8-57所示，则该几何体体积的最小值与最大值分别为（）.A.9与13B.7与10C.10与16D.10与15题型110 部分三视图 其余三视图思路提示有三视图还原几何体，画出直观图，再画其三视图.例8.18 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图如图8-58所示，则该集合体的俯视图为( ).解析因为该几何体是一个大长方体去掉一个小长方体，结合正视图及侧视图中线段均为实线，所以“缺口”就在前面的左上方，所以俯视图“缺口”必在左下方且为实线.故选D.，变式1 如图8-59所示，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12该几何体的俯视图可以是（）.变式2 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图8-60所示，则相应的侧视图可以为（）.变式3 （2012湖南理3）某几何体的正视图和侧视图均如图8-61所示，则该几何体的俯视图不可能是（）.最有效训练题32（限时45分钟）1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图8-62所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）.2.如图8-63所示是一个正方体被过棱中点M ,N ，顶点1,,A D C 的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（ ）.3.如图8-64所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形是( ).A.正方体B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形4.某几何体的三视图如图8-65所示，它的体积为( ).A.12πB.45πC.57πD. 81π5.某三棱锥的三视图如图8-66所示，该三棱锥的表面积是（）.A.28+65B.30+65C.56+125D.60+1256.一个四棱锥的底面为正方形，三视图如图8-67所示，这个四棱锥的体积是( ). A .1 B .2 C .3 D .47.若正三棱锥的主视图与俯视图如图8-68所示（单位:cm ）,则它的左视图的面积为 2.cm8.一多面体的三视图如图8-69所示，则其体积为 .3244正(主)视图 侧(左)视图俯视图图 8-661 主视图俯视图图 8-6839.已知某几何体的三视图如图8-70所示，则该几何体的体积为 .10.已知△ABC的平面直观图△'''A B C是边长为a的正三角形，则△ABC的面积为 .11.某高速公路收费站入口处的安全标示墩如图8-71（a）所示.墩的上半部分是正三棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH.图8-71（b）、图8-71（c）分别是该标示墩的正（主）视图和俯视图.（1）请画出该安全标示墩的侧（左）视图；（2）求安全标示墩的体积；（3）证明：直线BD⊥平面PEG.12.如图8-72所示是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图8-72所示.（1）求出该几何体的体积；（2）若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；（3）求证：平面BDE⊥平面BCD.。