基础物理实验研究性报告非线性电路混沌现象的模拟、探究及费根鲍姆常数的测量Chaos in nonlinear circuit simulation, explorationandFeigenbaum ConstantsAuthor 作者姓名陈涵 ChenHanSchool number作者学号 39071210Institute所在院系机械工程及自动化学院SMEA Major攻读专业机械制造及自动化mechanical engineering2011年5月20日摘要 (3)Abstract (3)关键词 (3)一、引言——非线性科学介绍 (3)二、混沌电路简介及实验综述 (4)三、实验原理 (4)3.1 蔡氏电路及其动力学方程 (4)3.2通向混沌道路方式简述 (5)四、实验仪器 (6)4.1 有源非线性负阻元件： (6)4.2 NCE-1非线性混沌实验仪 (6)五、实验现象的观察及物理量测量 (7)5.1 倍周期分岔的观察 (7)5.2 非线性电阻 (8)六、实验数据的处理 (10)6.1 真实实验数据线性拟合 (10)6.2 matlab模拟分析： (12)七、混沌实验电路装置的另一种设想。
(18)八、费根鲍姆常数测量实验的设计 (19)九、结语 (20)9.1自学能力大大提升 (21)9.2培养实事求是的学风与态度 (21)9.3各项课程的互助提高 (21)十、参考文献 (21)2本文由传统非线性电路“蔡氏电路”的混沌现象着手，记录实验现象及数据，分析后用一元线性回归拟合了有源非线性负阻伏安特性曲线，同时使用matlab 进行四阶-库塔方法编程模拟混沌现象并得出一些拟合曲线。
而后提出了一种新的简单混沌电路的设想和实验方式，最终提出了以G和U为状态参数的费根鲍姆常数测量的方法，并推导了近似公式。
AbstractThis article from the traditional non-linear circuits, "Chua's circuit, "the chaos started, record experimental results and data analysis, linear regression with a nonlinear negative resistance of active volt-ampere characteristic curve, while the fourth order using matlab - Kutta methods programmed simulation of chaotic phenomena and draw some curve fitting. Then, a new vision of a simple chaotic circuit and experimental methods, and ultimately presented to G and U for the status parameters of the Feigenbaum constant measurement method, and deduced the approximate formula.关键词：混沌现象蔡氏电路四阶-库塔方法简单混沌电路费根鲍姆常数一、引言——非线性科学介绍非线性科学是一门新兴的科学,是研究和探索自然界和人类社会中种种复杂的非线性问题及其共同特征的一门综合性学科。
非线性系统的性能是复杂多变的。
长期以来, 人们在认识、描述运动时，总是将运动分成确定性运动和随机性运动两类。
早期的自然科学家曾一度认为，一个确定的系统在确定性的激励下其响应也是确定的, 而随机运动常常符合统计规律。
但是随着科学的发展, 人们对此有了新的认识。
1963 年，美国麻省理工学院著名的气象学家洛伦兹在研究一个气象学模型时，发现了异常的情况。
洛伦兹经过长时间反复地在计算机上试验，其结果都是一样与经典认识不同。
它的特点是响应一直出现类似随机的振荡，状态轨迹在一个区域内永不重复地运动着,这一现象后来被称之为混沌。
混沌是非线性动力系统在一定参数条件下产生的对初始条件具有敏感依赖性的随机运动。
混沌运动的根本原因是运动方程的非线性；混沌运动具有内在随机性，对初值非常敏感，若两次运动的初值有微小差别，长时间后两次运动会出现较大的、无法预3知的偏差。
混沌现象是自然界的普遍现象，也是非线性系统所特有的复杂状态。
二、混沌电路简介及实验综述非线性电路是指电路中至少包含一个非线性元件的电路。
事实上,一切由实际元件构成的电路都是非线性的。
因为给任何元件加上足够大的电压或电流之后都将破坏其线性。
因此，非线性电路具有普遍意义，而线性电路是其特殊形式。
实质上，即使确定系统受确定性激励，响应也可能是不确定的，这是由于运动对初始值的敏感性造成的。
本文中，实验所采用的是一个简单基本的非线性电路，它由等效的非线性电阻、L C 振荡电路、移相电路组成。
实验中，由于参数条件G 的改变将引起倍周期分岔及混沌现象。
三、实验原理3.1 蔡氏电路及其动力学方程如图1所示为本实验采用电路的拓扑结构，R为非线性电阻元件，这是该电路中唯一的非线性元件，是一个有源负阻元件。
电容C2与电感L组成一个损耗很小的振荡回路。
可变电阻RV=1/G和电容C1构成移相电路。
此电路又被称为“蔡氏电路”，它是一个三阶电路（即两个电容C1、C2，一个电感L，一个线性电阻RV，并含有一个非线性电阻元件R)。
它的伏安特性曲线如图2所示，它是一个段）呈现负电阻的特征，它可以用开关电源等电子分段线性函数，中间一段（m电路来实现。
本实验后期将会对该负阻进行拟合。
RV=1/G图1 实验电路原理图45图2 负阻曲线根据基尔霍夫定理可知图1电路的非线性动力学方程为[1]:C 1dU C1dt=G (U C2−U C1)−g ∙U C1C 2dU C2dt=G (U C1−U C2)+i LLdi L dt=−U C2式中, G 代表可变电阻RV 的导纳，U C1和U C2分别为表示加在电容器C 1和C 2 上的电压，i L 表示流过电感L 的电流，g 表示非线性电阻R 的导纳。
实验时将G 取最小，用示波器观察Uc1和Uc2的李萨如图形（相图），并可以用双踪观察两电压详细曲线。
3.2通向混沌道路方式简述Feiganbaum （费根鲍姆）经过分析和计算发现一条通向混沌的典型道路——振荡系统一旦发生倍周期分岔必将导致混沌。
混沌是一种运动状态，从确定性系统通往混沌主要有倍周期分岔、阵发性、准周期等道路。
对于一维映射：)1(1n n n x x x −=+µ当参数μ增加时出现周期分岔的过程，即周期1分岔出周期2，周期2又分岔出周期4……若周期倍分岔相邻3个分岔点的参数分别为：1n n 1n ,,+−µµµ，则当∞→n 时，比值：9,102,609,201,669.411lim=−−=+−∞→nn n n n µµµµδ这是一个无理常数，δ称为费根鲍姆常数。
四、实验仪器4.1 有源非线性负阻元件：有源非线性负阻元件的实现方法有多种，本实验采用两个运算放大器(一个双运放TL082)和六个配置电阻来实现，如图3它主要是一个负阻电路(元件) , 能输出电流维持振荡器不断振荡，而非线性元件的作用是使振荡周期产生分岔和混沌等一系列现象。
图3 有源非线性负阻元件4.2 NCE-1非线性混沌实验仪[2]这是本实验的核心装置，它由非线性电路混沌实验电路板、-15~0~15稳压电源和四位半数字电压表（0~20V，分辨率1mV）组成，装在一个仪器箱内。
非线性电路除电感外，全部焊接在一块电路板上。
实验还另配有电感测量盒（其内部元件和外部链接线见图4）、双踪示波器、信号发生器和电阻箱各一个，电缆（导线）6根（其中Q9—Q9线2根，Q9-鳄鱼夹2根，鳄鱼夹—焊片2根），三通1个。
6图4 非线性电路混沌实验线路混沌振荡电路板如图4所示，双运放TL082的前级和后级正负反馈同时存在, 正反馈的强弱与比值R3/RV，R6/RV 有关，负反馈的强弱与比值R2/R1, R5/R4有关。
当正反馈大于负反馈时, 振荡电路才能振荡。
若调节RV, 正反馈就发生变化, 因为运放TL082处于振荡状态, 所以是一种非线性应用, 混沌振荡电路实际上是一个可调的特殊振荡器。
图中电感L约为20mH，采用铁氧体做磁芯。
五、实验现象的观察及物理量测量5.1 倍周期分岔的观察按图1所示接好实验装置图后, 将示波器调至CH1-CH2波形合成挡，用以观察Uc1与Uc2相图，最初仪器刚打开时，电路中有一个短暂的稳态响应现象，这个稳态响应被称作系统的吸引子（attractor），这意味着系统的响应部分虽然初始条件各异，但仍会变化到一个稳态，在本实验中对于初始电路中的微小正负扰动，各对应于一个正负的稳态。
将RV=1/G值调节到某一较大值, 这时示波器出现李萨如图形, 逐步渐小RV （增大G值）, 原先一倍周期变为2倍周期, 继续减小1/ G 值, 出现4倍、8倍周期, 16倍周期与阵发混沌交替现象, 再减小1/ G 值, 出现3 倍周期。
图像十分清楚、稳定。
根据Yorke的著名论断, “周期3意味着混沌”（詹姆士·约克所著《周期3 意味着混沌》一书),说明电路即将出现混沌。
继续减小1/ G, 则出现单个吸引子, 及美丽的双吸引子(即蝴蝶效应)。
当调节微调电位器时, 吸引子的形状与尺寸发生激烈的变化, 这是因为对电路的初始值十分敏感的缘故。
78笔者在实验过程中，用相机详细记录了各个时期的相图，如图5所示：一倍周期两倍周期四倍周期阵发混沌单吸引子三倍周期双吸引子图5 实验相图记录5.2 非线性电阻如图2所示，非线性负阻元件满足蔡氏电路的特性曲线。
实验中, 将电路的LC 振荡部分与非线性电阻直接断开, 因为负阻部分是含源的,所以可用一个电阻箱作电阻,只要直接测出加在非线性负阻的电压，并记录相应R值，经过9R U I R R =即可计算出伏安特性曲线。
实验采用的电路图如图6所示本实验测得数据见表1。
图6 测量电路简图表一非线性负阻实验数据处理表注：R：电阻箱示数，单位Ω欧姆 V：电压读数，单位V伏特 I：算得电流，单位A安培-11.7 64111.00 0.00018 -5.7 1943.30 0.00293 -11.5 21011.00 0.00055 -5.5 1928.50 0.00285 -11.3 12311.00 0.00092 -5.3 1913.00 0.00277 -11.1 8661.00 0.00128 -5.1 1896.50 0.00269 -10.9 6635.00 0.00164 -4.9 1879.00 0.00261 -10.7 5345.00 0.00200 -4.7 1860.30 0.00253 -10.5 4451.00 0.00236 -4.5 1840.50 0.00244 -10.3 3794.00 0.00271 -4.3 1819.10 0.00236 -10.1 3295.00 0.00307 -4.1 1796.40 0.00228 -9.9 2902.00 0.00341 -3.9 1772.00 0.00220 -9.7 2587.00 0.00375 -3.7 1745.50 0.00212 -9.5 2332.00 0.00407 -3.5 1717.20 0.00204 -9.3 2143.00 0.00434 -3.3 1686.30 0.00196 -9.1 2110.30 0.00431 -3.1 1653.00 0.00188 -8.9 2103.10 0.00423 -2.9 1615.90 0.00179 -8.7 2095.80 0.00415 -2.7 1575.90 0.00171 -8.5 2088.20 0.00407 -2.5 1532.00 0.00163 -8.3 2080.40 0.00399 -2.3 1484.10 0.00155 -8.1 2072.30 0.00391 -2.1 1431.10 0.00147 -7.9 2064.00 0.00383 -1.9 1372.10 0.00138 -7.7 2055.40 0.00375 -1.7 1310.10 0.00130 -7.5 2046.40 0.00366 -1.5 1307.10 0.00115 -7.3 2037.00 0.00358 -1.3 1305.40 0.00100 -7.1 2027.10 0.00350 -1.1 1303.20 0.00084 -6.9 2016.90 0.00342 -0.9 1300.10 0.00069 -6.7 2006.00 0.00334 -0.7 1295.20 0.00054 -6.5 1994.80 0.00326 -0.5 1286.40 0.00039 -6.3 1982.90 0.00318 -0.3 1266.30 0.00024 -6.1 1970.30 0.00310 -0.1 1171.90 0.00009 -5.9 1957.20 0.00301 0.0 0.00 0.00000六、实验数据的处理6.1 真实实验数据线性拟合使用excel工具对表一中数据进行伏安特性曲线绘制，如图7所示：1011对所测得的数据分段进行一元线性回归分析，可知图中出现两个拐点，分别是电压（V ） 电流（A ）-9.317750.004404 -1.72909 0.001317故我们在V U V 3.97.11≤≤−、7V .1U 9.3V −≤<−、0V U 1.7V ≤<−这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U 直线方程为：≤≤≤≤+−≤≤+= 0U 1.7- 0.0007618U - -1.7U 9.3- 50.000614000.0004067U - 9.3U 11.7- 40.020747870.0017541U I这三段线性回归的相关系数r 均非常接近1，准确定得到证实。