例谈椭圆定义在解题中的应用
定义是揭示事物的本质属性，对于某些数学问题，若能灵活运用定义解题，往往事半功倍，本文举例说明椭圆定义在解题中的应用。
一、解方程
例1 x x x x 2222224-++++=
分析：常规方法是经过两次平方去根号求解，但运算繁杂，难免不出错。
如果联想到椭圆的第一定义，将方程配方后令12=y ，得()()x y x y -++++=1142222，则点M （x ，y ）的轨迹是以F 1（-1，0），F 2（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，从而原方程的解等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。
解：由原方程可得
y x y x y 222221114
=-++++=⎧⎨⎪⎩⎪()() ⇔+==⎧⎨⎪⎩
⎪x y y 22
24311 解得x =±263
二、判断方程表示的曲线
例2 已知x y R 、∈，且满足x x y x y 224412
2-++=+-||，试判断点M 的轨迹是怎样的曲线。
分析：若将原方程平方，化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线，注意式子结构的特点，左边可看成点M 到点（2，0）的距离，从而可联想右边可化为点M 到直线x y +-=20的距离，即有()||x y x y -++-=222
22
22，由此联想到椭圆的第二定义，就很简单地求出点M 的轨迹是椭圆。
三、求参数的取值范围
例3 （2004年高考·全国卷III ）设椭圆x m y 2
21
1++=的两个焦点是F 1（-c ，0）、F 2（c ，0）（c>0），且椭圆上存在点P ，使得直线PF 1与直线PF 2垂直，求m 的取值范围。
解：由题意知m>0，a m b =+=11，，c m =，且
||||||||||PF PF F F c PF PF a
122212221242+==+=⎧⎨⎪⎩⎪①②
②2－①得：
||||PF PF a c b 12222222⋅=-=
又||||(||||)PF PF PF PF a 1212222
⋅≤+= 所以222b a ≤，即21≤+m ，所以m ≥1
例4 （1997年全国联赛题）若方程m(x y y x y 2222123+++=-+)()表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围是（ ）
A. （0，1）
B. （1，+∞）
C. （0，5）
D. （5，+∞）
分析：由已知得m x y x y [()]()222123++=-+
即x y x y m 22
12555++-+=()||
依题意，此方程表示椭圆，根据椭圆的第二定义，得e m
=
∈501()，，解得m>5，选D 。
四、求最值 例5 （1）（1999年全国联赛题）给定A （-2，2），已知B 是椭圆x y 22
2516
1+=上动点，F 是左焦点，当||||AB BF +53
取最小值时，求B 点坐标。
（2）已知椭圆x y 2243
1+=内有一点P （1，-1），F 为椭圆右焦点，M 是椭圆上动点，求|MP|+|MF|的最小值。
分析：此题如果按一般求最值的方法先建立目标函数，再求最值，因含有两个根式的和，代入消元不易，难以求解，但如果我们注意数量特征，利用椭圆定义合理转化，则可得到如下简解。
解：（1）显然点A 在椭圆内部，由椭圆第二定义可得：B 到椭圆左准线l 的距离d BF =53
||，所以||||||AB BF AB d +=+53
，结合平面几何知识，可知，当AB ⊥l 时，||AB d +最小，此时易求B 点坐标为（-532
，2） （2）设椭圆的左焦点为F'，由平面几何知识，得|||'||'|MP MF PF ≥-，当且仅当M 为线段F'P 的延长线与椭圆交点时取等号。
所以|||||'||'||||'|MP MF MF PF MF PF +≥-+=-=-445
所以||||MP MF +的最小值为45-。
五、求轨迹方程
例6 （2002年春季高考题）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得||||PQ PF =2，那么动点Q 的轨迹是（ ）
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线一支
D. 抛物线
解：因为||||PQ PF =2，所以||||||||||QF PQ PF PF PF 1121=+=+ 由椭圆第一定义得||||PF PF a 122+=，故||QF a 12=，即Q 点轨迹是以F 1为圆心，以2a
为半径的圆，选A 。
六、求焦点三角形的面积
例7 已知点P 是椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()上的一点，F 1、F 2是两个焦点，且∠F 1PF 2＝α，求△F 1PF 2的面积S 。
解：△PF 1F 2中，由余弦定理，得
||||||||||cos (||||)||||(cos )F F PF PF PF PF PF PF PF PF 12212221212212221=+-=+-+αα
所以||||cos PF PF b 122
21=+α
故S PF PF b b PF F ∆121212
1222==+=||||sin sin cos tan αααα
七、求离心率
例8 已知P 是椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()上一点，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，求椭圆离心率。
解：△PF 1F 2中，由正弦定理有
||sin ||sin ||sin[()]
PF PF F F 1212βαπαβ==-+ ⇒++=+||||sin sin ||sin()
PF PF F F 1212αβαβ ⇒+=+22a c sin sin sin()
αβαβ ⇒==++e c a sin()sin sin αβαβ
八、求离心率取值范围
例9 （2001年“希望杯”赛题）F 1、F 2是椭圆x a y b
a b 222
210+=>>()的两个焦点，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°，求椭圆离心率的取值范围。
解：由同例8得
e =++=+-sin()sin sin cos cos αβαβαβαβ22
又αβ+=60 ，所以e =-=-∈cos cos cos [)302
322321 αβαβ，。