例 11．已知棱长为 a 的正四面体，其内切球的半径为 r ，外接球的半径为 R ，则 r : R ________．
【答案】 1: 3
例 14．已知一个高为 16 的圆锥内接于一个体积为 972 的球，在圆锥内又有一个内切球． 求：
圆锥内切球的体积．
（ 2） V 256 3
立体几何中的计算问题
一、ห้องสมุดไป่ตู้视图
扇形的面积公式 S扇形
n R2 360
11 lr =
22
r 2 （其中 l 表示弧长， r 表示半径，
表示弧度）
空间几何体的体积
柱体的体积 ： V
S底
h ，锥体的体积 ： V
1 S底 h
3
1
台体的体积 ： V
（ 3
S上
S上 下S 下 S)
h，球体的体积： V 4 R3 3
点到平面的距离
(1)定义 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面 的距离 .
5．如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1 平面 ABC ，AA1 AB AC ，AB AC ，M 是 CC1
的中点， Q 是 BC 的中点，点 P 在 A1B1 上，则直线 PQ 与直线 AM 所成的角为（
）．
【答案】（1）证明见解析；（2） 6 . 3
9．已知二面角 l 为 60 ，动点 P, Q 分别在平面 ， 内，点 P 到 的距离为 3 ，
的余弦值为 ( )
（ 1）求证： DB 平面 B1BCC1 ； （ 2）求二面角 A1 BD C1 的正弦值．
A． 15 3
B． 5 3
C． 6 4
D． 10 4
【答案】 D 4．如图所示为一个正方体的展开图．对于原正方体，给出下列结论： ① AB 与 EF 所在直线平行； ② AB 与 CD 所在直线异面； ③ MN 与 BF 所在直线成 60 角； ④MN 与 CD 所在直线互相垂直． 其中正确结论的序号是 ________． 【答案】 ②④
（ 3）若三棱柱所有棱长都为 a，求二面角 A1 B1C C1 的平面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 7 7
4.空间几何体的表面积、体积 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和
圆柱的表面积 ： S 2 rl 2 r 2
圆锥的表面积： S
rl
r2
圆台的表面积： S rl
r2
Rl R2
3
点是不必作出垂线即可求点面距离 .难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算 .
例 8．在长、宽、高分别为 a，b， c 的长方体中，以它的各面的中心为顶点可得到一个八面 体，则该八面体的体积为 ________．
【答案】
1 abc
6
例 9．如图，在上、下底面对应边的比为 1: 2 的三棱台中，过上底面的一边作一个平行于棱
A． 30°
B． 45
C． 60
D．90
【答案】 D
三、二面角问题
二面角： 关键是找出二面角的平面角。方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；
二面角的平面角的范围： ____________；
又因为 PQ AQ2 AP 2 12 AP 2 2 3
当且仅当 AP 0 ，即点 A 与点 P 重合时取最小值。 故选 C
r2 = R2 –d2
★7-3 球与其他多面体的组合体的问题
球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：
⑴ 根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；
⑵ 找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图；
⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；
11．已知多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为平行四边形， AD 平面 AEC ，且 AC 2 , AE EC 1, AD 2EF , EF AD
（ 1）求证： 平面 FCE 平面 ADE ； （ 2）若 AD 2 ，求多面体 ABCDEF 的体积 .
P
C
D
B A
E F
A. 2
5 B.
12
⑴ 求证：平面 ABM ⊥平面 PCD；
（ 2）求点 O 到平面 ABM 的距离 .
【答案】（1）见解析（ 2） 2 2 （ 3） 2
例 12．已知棱长为 a 的正方体，甲球是正方体的内切球，乙球是正方体的外接球，丙球与
正方体的各棱都相切，则甲、乙、丙三球的表面积之比为（
）．
A ． 1:3: 9 4
A ． 60°
B．90°
C．120°
D． 150°
例 4．在四面体 ABCD 中， AC 与 BD 的夹角为 30°， AC 2 ， BD 2 3 ，M ，N 分别是 AB ， CD 的中点，则线段 MN 的长度为 ________．
【答案】 1 或 7
3.二面角 找 (或作 )二面角的平面角的主要方法 . (i) 定义法 (ii) 垂面法 (iii) 三垂线法 (Ⅳ)根据特殊图形的性质 (4)求二面角大小的常见方法 先找 (或作 )出二面角的平面角 θ，再通过解三角形求得 θ的值 .
(2)求点面距离常用的方法：
1)直接利用定义求
①找到 (或作出 )表示距离的线段；
②抓住线段 (所求距离 )所在三角形解之 .
2)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥
的体积 V 和所取三点构成三角形的面积
S；③由
1 V= S·h，求出
h 即为所求 .这种方法的优
1．将正方形（如图 1 所示）截去两个三棱锥，得到图 2 所示的几何体，则该几何体的左视 图为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 B 2．如图所示， A O B 表示水平放置的 AOB 的直观图， B 在 x 轴 上， A O 与 x 轴垂直，且 A O 2 ，则 AOB 的 OB 边上的高为 ______．
四、表面积与体积问题 10．如图 1，在梯形 ABCD 中， AD //BC ， AB BC 1 AD 1 ， E 为 AD 的中点， O 是 AC 与
2
【答案】（1）见解析；（2） 5 6
BE 的交点，将 ABE 沿 BE 翻折到图 2 中 A1BE 的位置，得到四棱锥 A1 BCDE ．
（ 1）求证： CD A1C ； （ 2）当 BE 2 ， A1C 1 时，求 D 到平面 A1OC 的距离． 【答案】（1）见解析；（2） 2 .
，它们确定的平面表示
2.在坐标系 x 'o ' y ' 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于
x
轴（或在 x 轴上）的线段保持长度不变，平行于 y 轴（或在 y 轴上）的线段长度减半。
结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的
2 倍. 4
例 1．下列命题： ①如果一个几何体的三视图是完全相同的，那么这个几何体是正方体； ②如果一个几何体的主视图和俯视图都是矩形，那么这个几何体是长方体； ③如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体是长方体； ④如果一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形， 那么这个几何体是圆台． 其中正确
的平面 A1B1EF ，则这个平面分三棱台成两部分的体积之比为（
）．
A ． 1: 2
B． 2:3
C． 3: 4
D． 4:5
【答案】 C
例 10．如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA⊥平面 ABCD ， PA=AD=4 ， AB=2 ，以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交 PD 于点 M.
C. 4
5 D.
6
15．已知一个正方体的各顶点都在同一球面上，现用一个平面去截这个球和正方体，得到 的截面图形恰好是一个圆及内接正三角形， 若此正三角形的边长为 a ，则这个球的表面积为
（ ）．
3 A．
a2
4
【答案】 D
B． 3 a2
C． 6 a2
3 D．
a2
2
16．已知三棱锥 D ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，若 DC 平面 ABC ， ACB 60 ，
10
【答案】 (1) V多面体
;(2)见解析 . 3
例 13．已知 S, A, B,C 是球 O 表面上的点 , SA 平面 ABC , AB BC , SA AB 1, BC O 的体积为 __________.
【答案】 5 5 6
3, 则球
5. 与球有关的组合体
7-2 球的结构特征
⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面； ⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：
立体几何中的计算问题 1.三视图 —— 是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形； 2.直观图 —— 是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。 直观图通常是在平行 投影下画出的空间图形。 3 斜二测法：
1.画直观图时， 把它画成对应的轴 o' x',o ' y ' ，取 x 'o 'y ' 45 ( or135 ) 水平平面；
例 2．在长方体 ABCD
的余弦值为（
）
A1B1C1D1 中， BC
CC1 1， AD1B
，则直线 AB1与 BC1 所成角 3
A． 3 3
B． 6 6
C． 7 7
D． 14 14
【答案】 D
例 3．直三棱柱 ABC ﹣ A1B1C1 中，若 ∠BAC=9°0 ，AB=AC=AA 1，则异面直线 BA 1 与 AC1 所成的角为（ ）
的是 ( ) A． ①② B．③ C．②③ D． ④ 2、异面直线所成的角