初三数学 图形的相似（三）
典例学习
例1 如图,把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置,它们重叠部分（即图中阴影部
分）的面积是△ABC 面积的一半,若BC=3,则△ABC 移动的距离是__________。
例2 某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园。
小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力。
他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量。
方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM 上的对应位置为点C ，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D 时，看到“望月阁”顶端点A 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D 点沿DM 方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG 的影长FH=2.5米，FG=1.65米。
如图，已知AB ⊥BM ，ED ⊥BM ，GF ⊥BM ，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB 的长度。
例3 已知,如图所示的一张三角形纸片ABC,边AB 的长为20cm,AB 边上的高为25cm,在三角形纸片
ABC 中从下往上依次裁剪去宽为4cm 的矩形纸条,若剪得的其中一张纸条是正方形,那么这张正
方形纸条是( ) A. 第4张 B. 第5张 C. 第6张 D. 第7张
例4 宽与长的比是2
15 (约0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的
美感。
我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD,分别取AD 、BC 的中点E. F,连接EF:以点F 为圆心,
以FD 为半径画弧,交BC 的延长线于点G;作GH ⊥AD,交AD 的延长线于
点H,则图中下列矩形是黄金矩形的是( )
A. 矩形ABFE
B. 矩形EFCD
C. 矩形EFGH
D. 矩形DCGH
例5 如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ．（1）试探究t 为何值时，BPQ ∆是等腰三角形；
（2）连接AQ ，CP ，若AQ ⊥CP ，求t 的值；
例6（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明。
如图①，矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H.求证AB
AD GH EF = （2）如图②，在满足（1）的条件下，又AM ⊥BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，若1511=GH EF ,则AM
BN 的值为____；
（3）如图③，四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求AM
DN
的值
自我检测
1、如图，已知DE ∥BC ，CD 与BE 相交于点O ，并且9:4:=∆∆COB DOE S S ，则AE ：EC 为______．
2、如图,在▱ABCD 中,AC,BD 相交于点O,点E 是OA 的中点,连接BE 并延长交AD 于点F,已知AEF S ∆=4,则下列结论：①
AF ：FD=1：2；②BCE S ∆=36；③ABE S ∆=12；④△AEF ∼△ACD,其中一定正确的是__________
3、如图，路灯距地面8m ，身高1.6m 的王山从距离路灯的底部（点O ）20m 的点A 处，沿OA 所在的直线行走14m 到达点B 处时，王山的影长的变化情况是（ ）
A.增加1.5m
B.减小1.5m
C.增加3.5m
D.减小3.5m
4、如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D 在边AC
上，AD=5，DE
⊥BC 于点E
，连结AE ，则△ABE 的面积等于___.
5、如图,线段CD 两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0),以原点为位似中心,将线段CD 放大得到
线段AB,若点B 坐标为(5,0),则点A 的坐标为（ ）
A. (2,5)
B. (2.5,5)
C. (3,5)
D. (3,6)
6、如下图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD 边落在AB 边上,折
痕为AE,再将△AED 沿DE 向右翻折,AE 与BC 的交点为F,则△CEF 的面积为________.
7、在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分别为A(2,−4),B(3,−2),
C(6,−3).
(1)画出△ABC 关于x 轴对称的111C B A ∆；
(2)以M 点为位似中心,在网格中画出111C B A ∆的位似图形222C B A ∆,使222C B A ∆
与111C B A ∆的相似比为2:1.
8、晚饭后,小聪和小军在社区广场散步,小聪问小军：“你有多高?”小军一时语塞,小聪思考片刻,提议用广场照明 灯 下的影长及地砖长来测量小军的身高。
于是,两人在灯下沿直线NQ 移动,如图,当小军正好站在广场的A 点(距N 点5块地砖长)时,其影长AD 恰好为1块地砖长;当小聪正好站在广场的B 点(距N 点9块地砖长)时,其影长BF 恰好为2块地砖长。
已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成,小聪的身高BE 为1.74米,MN ⊥NQ,AC ⊥NQ,BE ⊥NQ,请你根据以上信息,求出小军身高AC 的长(结果精确到0.01米)
2题
3题 1题 4题
附加题如图1，点M放在正方形ABCD的对角线AC（不与点A重合）上滑动，连结DM，做MN⊥DM交直线AB于N．
（1）求证：DM=MN；
（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且DC=2AD，求MD：MN；
（3）在（2）中，若CD=n AD，当M滑动到CA的延长线上时（如图3），求MD：MN的比值．。